7.2. Теорема Поклингтона и доказуемо простые числа общего вида на основании частичного разложения (n—1).

Теорема Сэлфриджа дает четкий критерий для проверки простоты числа n, однако требует знания полного разложения числа (n—1) на простые сомножители. Следующая теорема позволяет ограничиться частичной факторизацией (n—1).

Теорема Поклингтона.

Пусть n=RF+1, F=- каноническое разложение.

Если a: 1) a^n—1≡1(mod n);

2) 1(mod n) .

p≡1(mod F) для любого простого p\n.

■

Итак, если разложить n—1 на два сомножителя n—1=RF, где F>—1, то, если для некоторогоa будут выполнены условия Теоремы Поклингтона (1) и (2), то n – простое.

Таким образом, можно значительно сократить количество проверок по сравнению с тестом Миллера.

Замечание.

Если n=RF+1 – нечетное простое число, F>—1,F=, НОД(R,F)=1, то вероятность того, что случайно выбранное 1<a<n будет удовлетворять условиям (1), (2) теоремы Поклингтона, есть .

Замечание.

Если известно полное разложение n—1, то в качестве F следует брать число, составленное из наибольших делителей n—1 для того, чтобы:

1) сократить число проверок условия (2) для каждого a;

2) уменьшить степени, в которые возводится a на этапе проверки (2);

3) повысить вероятность того, что случайно выбранное a будет удовлетворять условию (2), а значит уменьшить количество перебираемых a.

Пример.

n=4021. —1<63.

n—1=4020=2²·3·5·67. F=67, R=2²·3·5=60.

Проверка условий:

a=2.

1) 2⁴⁰²⁰ mod 4021=1.

2)2⁶⁰—1 mod 4021=1451.

НОД(4021,1451)=1.

n=4021 – простое число.

(Заметим, что вероятность того, что наугад выбранное a будет удовлетворять условиям теоремы Поклингтона для данного примера, есть (1—1/67)≈0,985).

7.3. Числа Ферма. Теорема Пепина.

Теорема.

Если число вида p=aⁿ+1 – простое, то 1) a – четное;

2) n=2^k для некоторого k.

Доказательство:

Четность a очевидна, так как иначе p было бы четным, а значит не простым.

Предположим теперь m>2 - нечетное число : n= m·2^k. Тогда

=a^n—m—a^n—2m+…+a^3m—a^2m+a^m—a⁰ Z.

Тогда (a^m+1)\(aⁿ+1), значит p – составное число. Предположение неверно, следовательно верно обратное.

□

Числа F_k=+1 называютсячислами Ферма.

F₀=3, F₁=5, F₂=17, F₃=257, F₄=65739 – простые числа. Пьер Ферма выдвигал гипотезу о простоте всех чисел Ферма, но Леонардом Эйлером в 1732 г. была показана составность числа F₅.

В настоящее время существует следующий критерий проверки чисел Ферма на простоту:

Теорема Пепина

F_k – простое число .

Доказательство:

Пусть F_k – простое число. Тогда по критерию Эйлера для символа Лежандра,

.

В силу простоты, F_k не делится на 3.

Поэтому возможны два случая: F_kmod 3=1 или F_k mod 3=2.

Случай F_k mod 3=1 невозможен, так как это значило бы, что mod 3 = 0, а это не так. Поэтому F_k mod 3=2, и тогда

□

На основании теоремы Пепина построен тест Пепина, проверяющий верность сравнения . Тест Пепина детерминированный, состоит из одной итерации и дает точный ответ о простоте или составности числа Ферма.

7.4. Числа Мерсенна.

Теорема 1

Если число вида p=aⁿ—1 – простое 1)a – четное;

2) n – простое.

Доказательство:

Четность а очевидна, так как иначе р было бы четным, а значит, составным.

Допустим, что n – не простое n=mk. Тогда

=a^k(m—1)+a^k(m—2)+…+a^k+1Z.

Тогда (a^k—1)\(aⁿ—1), значит р – не простое число. Предположение неверно, значит верно обратное.

□

Простые числа вида M_p=2^p—1, где р – простое число, называются числами Мерсенна.

Теорема 2

Число вида M_p=2^p—1, где р>2 – простое число, является простым в последовательности, определенной равенствамиu₀=4, u_i+1=(u_i²—2) mod M_p, выполняется u_p—2≡0(mod M_p).

■

Из Теорем 1 и 2 следует

Тест Лукаса-Лемера для чисел Мерсенна

Вход: Число Мерсенна M_n=2ⁿ—1.

Ш.1. Пробными делениями проверить, имеет ли n делители между «2» и . Если имеет, идти на Выход с сообщением «M_n – составное число».

Ш.2. Задать u=4.

Ш.3. n—2 раза вычислить u=(u²—2) mod M_n.

Ш.4. Если u=0, то «M_n – простое число», иначе «M_n – составное число».

Выход.

В настоящее время особое внимание уделяется двойным числам Мерсенна MM_p=2^Mp –1, например 7=M₃=MM₂. Алгоритм построения таких чисел следующий: сначала строится сравнительно небольшое простое число Мерсенна M_p, а затем по нему – двойное число Мерсенна MM_p, которое проверяется на простоту тестом Лукаса-Лемера минуя первый шаг.

Аналогично строятся тройные и т.д. числа Мерсенна. Например, тройным числом Мерсенна является 127=M₇=MMM₂.

Не для всех чисел Мерсенна существуют двойные и тройные числа. Например, MM₁₃ не является простым.

Первыми простыми числами Мерсенна являются M₂=3, M₃=7, M₅=31, M₇=127, M₁₃=8191, M₁₇, M₁₉, M₃₁.

На данный момент (2007 г.) не доказана конечность или бесконечность количества простых чисел Мерсенна.