§5. Теория квадратичных вычетов
Рассмотрим сравнение xn≡a(mod m) *, (a,m)=1. Если * имеет решение, то а называется вычетом степени n по модулю m. Если n=2, то вычеты называются квадратичными, если n=3 – кубическими, n=4 – биквадратичными. Если * решений не имеет, то а называется невычетом степени n по модулю m.
Далее будем рассматривать случай n=2, т.е. сравнения вида x2≡a(mod m), (a,m)=1.
5.1. Квадратичные вычеты по простому модулю.
В этом пункте будем рассматривать сравнения вида x2≡a(mod p), p>2 – простое число.
Теорема 1.
Если а – квадратичный вычет по простому модулю р, то сравнение x2≡a(modp) имеет ровно 2 решения.
Доказательство:
Если а – квадратичный вычет по модулю p, то найдется хотя бы одно решение исходного сравнения: x≡x1(mod p).
Но, поскольку
(—x1)2=x12,
то решением также является x≡—x1(mod
p),
причем x1
—x1(mod
p),
т.к. р
– нечетное число.
Более двух решений данное сравнение иметь не может, так как является сравнением второй степени (§4, п.3, Теорема 2).
□
Теорема (о числе квадратичных вычетов)
Приведенная
система вычетов по модулю p
состоит из
квадратичных вычетов и
квадратичных невычетов.
Доказательство:
Среди вычетов приведенной системы по модулю p квадратичными вычетами являются только те, что сравнимы с квадратами чисел
…,
–2, –1, 1, 2,…,
,
т.е. с числами 1, 22,
32,…,
При этом квадраты
не сравнимы между собой по модулю p,
т.к. иначе из того, что k2
≡ l2
(mod
p),
0 < k
< l
следовало бы, что сравнениюx2≡l2(mod
p)
удовлетворяют 4 числа: –l,
l,
–k,
k,
что противоречит Теореме 1.
Таким образом,
квадратичных вычетов в приведенной
системе по модулю p
ровно
штук. Остальные элементы приведенной
системы являются квадратичными
невычетами. А поскольку всего в
приведенной системе по модулюp
содержится p—1
элементов, то квадратичными невычетами
являются также
элементов.
□
Множество квадратных
вычетов по модулю p
обозначается Q(p),
множество квадратичных невычетов –
.
5.2. Символ Лежандра. Символ Якоби.
Символом Лежандра
называется символ
(читается
«символ Лежандра а
по р»).
а называется
числителем,
р
– знаменателем
символа Лежандра. Символ Лежандра
отвечает на вопрос, является ли число
а квадратичным
вычетом по модулю р.
Вычислить символ Лежандра можно, пользуясь следующими свойствами.
Свойства символа Лежандра:
Критерий Эйлера:
a≡a1(mod p)
3акон взаимности: если p, q – нечетные простые числа
Докажем некоторые из этих свойств.
Теорема (Критерий Эйлера)
Если (p,
a)=1
Доказательство:
По теореме Ферма,
ap--1≡1(mod
p).
В этом сравнении перенесем единицу в
левую часть: ap—1—1≡0(mod
p).
Поскольку p
– простое, а значит нечетное число,
значит p—1
– число четное. Тогда можем разложить
левую часть сравнения на множители:
.
Из множителей в левой части один и только один делится на p, то есть либо
*, либо
**
Если а
– квадратичный вычет по модулю р,
то а
при некотором x
удовлетворяет сравнению a≡x2(mod
p)
, тогда
,
а учитывая (по теореме Ферма), чтоxp—1≡1(mod
p),
получаем сравнение (*).
При этом решения сравнения * исчерпываются квадратичными вычетами по модулю р. Следовательно, если а – квадратичный невычет по модулю р, то сравнение * не выполняется, а значит выполняется сравнение **.
□
Свойство 2:
Доказательство следует из того, что все числа одного класса вычетов по модулю р будут одновременно квадратичными вычетами или квадратичными невычетами.
□
Свойство 3:
Для любого p выполняется 1≡12(mod p), а значит «1» является квадратичным вычетом для любого модуля p.
□
Свойство 4:
Доказательство следует из критерия Эйлера при a=—1.
□
Свойство 5:
По критерию Эйлера,
.
□
Доказательства прочих свойств можно произвести самостоятельно или найти в [5].
Итак, символ Лежандра можно найти, пользуясь либо критерием Эйлера, либо используя свойства 2-8:
Пример:
a)
10 – квадратичный вычет по модулю 13.
б)
.
1350 не является квадратичным вычетом по модулю 1381.
Пусть n
– составное число, каноническое
разложение которого есть
.
Положим (a,n)=1.
Тогда символ
Якоби
определяется равенством: