Упражнения к Главе 2.

2.1. Вычислить сумму и произведение многочленов f(x) и g(x) на Z₂[x]:

a) f(x)=x⁷+x⁵+x+1, g(x)=x⁴+x+1; c) f(x)=x⁸+x², g(x)=x³+x²+1;

b) f(x)=x⁴+x, g(x)=x²+1; d) f(x)=x⁵; g(x)=x⁵+x.

2.2. Вычислить остаток от деления f(x) на g(x) на Z₂[x].

a) f(x)=x⁸+x⁴+x+1, g(x)=x³+x+1; c) f(x)=x¹⁰+x²+x+1, g(x)=x²+x+1;

b) f(x)=x⁴+x, g(x)=x²+x+1; d) f(x)=x⁵+x⁴+1; g(x)=x²+x.

2.3. Вычислить НОД(g(x),f(x)) на Z₂[x].

a) f(x)=x⁶+x⁵+x³+x²+1, g(x)= x⁵+x⁴+x+1;

b) f(x)=x⁶+x⁴, g(x)=x⁴+1;

c) f(x)=x⁴+x³+x²+x, g(x)=x⁵+x³;

d) f(x)=x⁹+x⁸+x; g(x)=x⁷+x⁴+x³+1.

Упражнения к Главе 3:

3.1. Осуществить 2-факторизацию следующих чисел, используя метод Ферма и метод квадратичного решета с решетами по модулям 4, 5, 7. Сравнить количество итераций для этих двух методов.

a) 12317; c) 7081; e) 551; g) 1679; i) 6111; k) 1221;

b) 851; d) 18161; f) 481; h) 7313; j) 1197; l) 609.

3.2. Осуществить 2-факторизацию следующих чисел, используя ро-метод Полларда.

a) 1183; b) 1881; c) 2597; d) 1057; e) 5461; f) 299.

3.3. Осуществить факторизацию следующих чисел, используя p—1 –метод Полларда.

a) 133; b) 209; c) 161; d) 527; e) 1393; f) 3277.

3.4. Вычислить следующие дискретные логарифмы, пользуясь алгоритмом «шаг младенца – шаг великана».

a) log₃ 14 mod φ(31); b) log₅ 42 mod φ(47); c) log₃ 30 mod φ(89).

3.5. При помощи алгоритма исчисления порядка вычислить следующие дискретные логарифмы.

a) log₃ 57 mod φ(89); b) log₃ 61 mod φ(79); c) log₃ 279 mod φ(587).

Ответы к упражнениям.

Упражнения к Главе 1:

1.1. a) 13, b) 2, c) 35, d) 6, e) 71, f) 43, g) 48, h) 160, i) 154.

1.2. a) 2²·3·41, b) 3·11·23·29, c) 3⁵·31, d) 2⁴·7·37, e) 7²·53, f) 2·3²·11·19·131, g)7·11³·67 h) 5³·31·109, i) 2·3⁴·71.

1.3. a) 24552, b) 6300, c) 10368, d) 1050, e) 7623, f) 219, g) 25048, h) 31189, i)43120.

1.4. a) 72, b) 54, c) 96, d) 294, e) 2, f) 12, g) 48, h) 2880, i) 16.

1.5. a) верно, b) верно, c) неверно, d) неверно, e) верно, f) неверно, g) верно, h)неверно, i) неверно.

1.7. a) —3; 12, b) 4; 4, c)—1; 80, d) 2; 2, e)—7; 8, f) 8; 8, g) 20; 20, h)—1; 2, i)0;0.

1.8. a) 5, b) 6, c) 11, d) 9, e) 7, f) не существует, g) 10, h) 21, i) 8.

1.9. a) 23, b) 4, c) 5, d) 43, e) 4, f) 18, g) 3, h) 8, i) 221.

1.10. a) x≡5(mod 11), b) x≡12(mod 13), c) x≡13(mod 17), d) x≡6, 15, 20(mod 21), e) x≡21, 52(mod 62); f) решений нет; g) x≡8(mod 16), h) x≡2+5t(mod 125), где t=, i)x≡20(mod 29).

1.11. a) x≡8(mod 35), b) x≡52(mod 105), c) x≡53(mod 77), d) x≡101(mod 180), e) решений нет, f) x≡206(mod 210).

1.12. a) -1, b) -1, c) 1, d) 1, e) 0, f) 1, g) 1, h) 1, i) -1, j) -1, k) -1, l) -1.

1.13. a) ±6(mod 19), b) ±9(mod 13), c) ±7(mod 41), d) ±3(mod 7), e) ±5(mod 11), f) ±4(mod 11), g) решений нет, h) ±6(mod 17), i) ±6(mod 31).

1.14. a) ±4(mod 9), b) ±7(mod 25), c) ±9(mod 49), d) ±1(mod 4), e) решений нет, f) ±3, ±5(mod 16), g) ±1, ±15(mod 32), h) ±38(mod 81), i) ±53(mod 125), j) ±2(mod 6), k) ±1,±4(mod 15), l) ±1,±5,±7,±11(mod 24), m) ±9,±16(mod 35), n) решений нет, o) ±3,±7(mod 20), p) решений нет, q) ±2,±23,±37,±47(mod 105), r) ±4,±29 (mod 75).

1.15. a) решений нет, b) 2, c) 4, d) 4, e) 8, f) решений нет, g) 4, h) 2, i) 1.

1.18. 1011011101.

1.19. a) не существует, b) 24 корня, c) 24 корня, d) 40 корней, e) нет существует, f) 8 корней.

1.20. a) 3, b) 2, c) 2, d) 2, e) 17, f) 11, g) 3, h) 3, i) 2, j) 3, k) 3, l) 6.

Упражнения к Главе 2:

2.1. a) x⁷+x⁵+x⁴; x¹¹+x⁹+x⁸+x⁷+x⁴+x²+1; b) x⁴+x²+x+1; x⁶+x⁴+x³+x; c) x⁸+x³+1; x¹¹+x¹⁰+x⁸+x⁵+x⁴+x²; d) x; x¹⁰+x⁶.

2.2. a) x²+x+1, b) 0, c) x, d) 1.

2.3. a) (x+1), b) x²+1, c) x³+x, d) x²+x+1.

Упражнения к Главе 3:

3.4. a) 18, b) 24, c) 87.

3.5. a) 36, b) 45, c) 15.

Приложение 1.

Таблица простых чисел < 2558 и их наименьших первообразных корней.

p	g	p	g	p	g	p	g	p	g	p	g	p	g	p	g
2	1	101	2	233	3	383	5	547	2	701	2	877	2	1049	3
3	2	103	5	239	7	389	2	557	2	709	2	881	3	1051	7
5	2	107	2	241	7	397	5	563	2	719	11	883	2	1061	2
7	3	109	6	251	6	401	3	569	3	727	5	887	5	1063	3
11	2	113	3	257	3	409	21	571	3	733	6	907	2	1069	6
13	2	127	3	263	5	419	2	577	5	739	3	911	17	1087	3
17	3	131	2	269	2	421	2	587	2	743	5	919	7	1091	2
19	2	137	3	271	6	431	7	593	3	751	3	929	3	1093	5
23	5	139	2	277	5	433	5	599	7	757	2	937	5	1097	3
29	2	149	2	281	3	439	15	601	7	761	6	941	2	1103	5
31	3	151	6	283	3	443	2	607	3	769	11	947	2	1109	2
37	2	157	5	293	2	449	3	613	2	773	2	953	3	1117	2
41	6	163	2	307	5	457	13	617	3	787	2	967	5	1123	2
43	3	167	5	311	17	461	2	619	2	797	2	971	6	1129	11
47	5	173	2	313	10	463	3	631	3	809	3	977	3	1151	17
53	2	179	2	317	2	467	2	641	3	811	3	983	5	1153	5
59	2	181	2	331	3	479	13	643	11	821	2	991	6	1163	5
61	2	191	19	337	10	487	3	647	5	823	3	997	7	1171	2
67	2	193	5	347	2	491	2	653	2	827	2	1009	11	1181	7
71	7	197	2	349	2	499	7	659	2	829	2	1013	3	1187	2
73	5	199	3	353	3	503	5	661	2	839	11	1019	2	1193	3
79	3	211	2	359	7	509	2	673	5	853	2	1021	10	1201	11
83	2	223	3	367	6	521	3	677	2	857	3	1031	14	1213	2
89	3	227	2	373	2	523	2	683	5	859	2	1033	5	1217	3
97	5	229	6	379	2	541	2	691	3	863	5	1039	3	1223	5

p	g	p	g	p	g	p	g	p	g	p	g	p	g
1229	2	1429	6	1597	11	1783	10	1993	5	2161	23	2371	2
1231	3	1433	3	1601	3	1787	2	1997	2	2179	7	2377	5
1237	2	1439	7	1607	5	1789	6	1999	3	2203	5	2381	3
1249	7	1447	3	1609	7	1801	11	2003	5	2207	5	2383	5
1259	2	1451	2	1613	3	1811	6	2011	3	2213	2	2389	2
1277	2	1453	2	1619	2	1823	5	2017	5	2221	2	2393	3
1279	3	1459	5	1621	2	1831	3	2027	2	2237	2	2399	11
1283	2	1471	6	1627	3	1847	5	2029	2	2239	3	2411	6
1289	6	1481	3	1637	2	1861	2	2039	7	2243	2	2417	3
1291	2	1483	2	1657	11	1867	2	2053	2	2251	7	2423	5
1297	10	1487	5	1663	3	1871	14	2063	5	2267	2	2437	2
1301	2	1489	14	1667	2	1873	10	2069	2	2269	2	2441	6
1303	6	1493	2	1669	2	1877	2	2081	3	2273	3	2447	5
1307	2	1499	2	1693	2	1879	6	2083	2	2281	7	2459	2
1319	13	1511	11	1697	3	1889	3	2087	5	2287	19	2467	2
1321	13	1523	2	1699	3	1901	2	2089	7	2293	2	2473	5
1327	3	1531	2	1709	3	1907	2	2099	2	2297	5	2477	2
1361	3	1543	5	1721	3	1913	3	2111	7	2309	2	2503	3
1367	5	1549	2	1723	3	1931	2	2113	5	2311	3	2521	17
1373	2	1553	3	1733	2	1933	5	2129	3	2333	2	2531	2
1381	2	1559	19	1741	2	1949	2	2131	2	2339	2	2539	2
1399	13	1567	3	1747	2	1951	3	2137	10	2341	7	2543	5
1409	3	1571	2	1753	7	1973	2	2141	2	2347	3	2549	2
1423	3	1579	3	1759	6	1979	2	2143	3	2351	13	2551	6
1427	2	1583	5	1777	5	1987	2	2153	3	2357	2	2557	2

Приложение 2.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

.

ТЕОРЕТИКО - ЧИСЛОВЫЕ МЕТОДЫ В КРИПТОГРАФИИ

Рабочая программа для специальности

075200 – Компьютерная безопасность

Тюмень 2007