- •Теоретико-числовые методы в криптографии
- •Аннотация.
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Основы теории чисел. §1. Теория делимости.
- •1.1. Основные понятия и теоремы.
- •1.2. Наибольший общий делитель.
- •1.3 Нок (наименьшее общее кратное)
- •1.4. Простые числа
- •Решето Эратосфена
- •1.5. Единственность разложения на простые сомножители.
- •1.6. Асимптотический закон распределения простых чисел.
- •§2. Функция Эйлера.
- •2.1. Мультипликативные функции.
- •2.2. Функция Эйлера.
- •§3. Теория сравнений
- •3.1. Свойства сравнений:
- •3.2. Полная система вычетов.
- •3.3. Приведенная система вычетов
- •3.4. Обратный элемент.
- •3.5. Алгебраические структуры на целых числах.
- •3.6. Теоремы Эйлера и Ферма. Тест Ферма на простоту.
- •Тест Ферма на простоту
- •3.7. Применение теоремы Эйлера в rsa:
- •§4. Сравнения с одним неизвестным
- •4.1. Сравнения первой степени.
- •4.2. Система сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках.
- •4.3. Применения китайской теоремы об остатках.
- •4.4. Сравнения любой степени по простому модулю.
- •4.5. Сравнения любой степени по составному модулю.
- •§5. Теория квадратичных вычетов
- •5.1. Квадратичные вычеты по простому модулю.
- •5.2. Символ Лежандра. Символ Якоби.
- •Свойства символа Лежандра:
- •Свойства символа Якоби:
- •5.3. Тест на простоту Соловея-Штрассена.
- •Тест Соловея-Штрассена:
- •5.4. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
- •5.5. Квадратичные сравнения по составному модулю.
- •5.6. Тест на простоту Миллера-Рабина.
- •5.7. Связь задач извлечения квадратных корней и факторизации по модулю rsa. Криптосистема Рабина.
- •5.8. Квадраты и псевдоквадраты.
- •5.9. Числа Блюма.
- •§6. Первообразные корни и индексы. Порождающий элемент и дискретный логарифм.
- •6.1. Основные понятия и теоремы.
- •6.2. Существование первообразных корней по модулю p.
- •6.3. Первообразные корни по модулям pα, 2pα.
- •6.4. Нахождение первообразных корней по простому модулю.
- •6.5. Существование и количество первообразных корней.
- •6.6. Дискретные логарифмы.
- •6.7. Проблема Диффи-Хеллмана.
- •6.8. Условная стойкость шифра Эль Гамаля.
- •§7. Построение доказуемо простых чисел общего и специального вида.
- •7.1. Теорема Сэлфриджа и доказуемо простые числа общего вида на основании полного разложения (n—1).
- •7.2. Теорема Поклингтона и доказуемо простые числа общего вида на основании частичного разложения (n—1).
- •7.3. Числа Ферма. Теорема Пепина.
- •7.4. Числа Мерсенна.
- •7.5. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел заданной длины гост р 34.10-94.
- •Глава 2. Алгебраические основы теории чисел.
- •§1. Основные понятия алгебры.
- •1.1. Начальные понятия.
- •1.2. Делимость в кольцах.
- •1.3. Деление с остатком.
- •1.4. Основная теорема арифметики.
- •§2. Конечные поля и неприводимые многочлены.
- •§3. Кольца многочленов.
- •3.1. Кольца многочленов.
- •3.2. Кольцо многочленов Zp[X].
- •3.3. Конечные поля многочленов.
- •Глава 3. Алгоритмы в криптографии и криптоанализе. §1. Элементы теории сложности.
- •§2. Алгоритмы факторизации.
- •2.1. Метод пробных делений.
- •2.2. Метод Ферма.
- •2.3. Метод квадратичного решета.
- •2.6. Методы случайных квадратов.
- •§3. Алгоритмы дискретного логарифмирования.
- •3.1. Метод прямого поиска.
- •3.2. Шаг младенца – шаг великана.
- •3.4. Алгоритм Полига-Хеллмана.
- •3.5. Алгоритм исчисления порядка (index-calculus algorithm).
- •Задачи и упражнения.
- •Упражнения к Главе 2.
- •Ответы к упражнениям.
- •1. Пояснительная записка
- •1.1. Цели и задачи дисциплины
- •1.2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •2. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •3. Тематический план изучения дисциплины
- •4. Содержание разделов дисциплины
- •6. Вопросы к экзаменам
- •7.Литература основная:
- •Дополнительная:
- •Оглавление
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Теоретико – числовые методы в криптографии» обеспечивает приобретение знаний по математическим основам криптографической защиты информации. Целью преподавания дисциплины «Теоретико – числовые методы в криптографии» является изложение базовых принципов построения и математического обоснования криптографических систем.
Задачи изложить:
теоретико-числвые, алгебраические, аналитические и вероятностные подходы к построению и анализу криптосистем;
математические основы криптографии;
математические методы, используемые в криптоанализе
1.2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны
иметь представление:
об основных задачах и понятиях криптографии;
о теоретико-числовых основах двухключевой криптографии;
об основных алгоритмических проблемах криптографии и способах их решения;
о специальных математических структурах, применяемых в криптографии.
знать:
основы дискретной алгебры и теории чисел;
применение конечных автоматов в криптографии;
характеристики языков, распознаваемых конечными автоматами ( P, NP, BPP и т.д.)
применение теории вероятности в криптографии и криптоанализе;
применение теоретико-числового аппарата для решения задач криптографии;
основные двухключевые криптосистемы и доказательство их стойкости.
уметь:
формализовать поставленную задачу;
выполнить постановку задач криптоанализа и указать подходы к их решению;
использовать основные математические методы, применяемые в синтезе и анализе типовых криптографических алгоритмов.
применять полученные знания к различным предметным областям.
иметь навыки:
владения криптографической терминологией;
применения алгоритмов, основанных на теоретико-числовых принципах, к вопросам построения криптосистем и их анализу;
использования современной научно-технической литературы в области криптографической защиты.
2. Объем дисциплины и виды учебной работы
|
Вид занятий |
Всего часов |
Семестры |
|
8 | ||
|
Общая трудоемкость |
90 |
90 |
|
Аудиторные занятия |
51 |
51 |
|
Лекции |
34 |
34 |
|
Практические занятия |
17 |
17 |
|
Индивидуальная работа |
6 |
6 |
|
Самостоятельная работа |
33 |
33 |
|
Контрольные работы + |
+ | |
|
Вид итогового контроля экзамен |
экзамен | |
3. Тематический план изучения дисциплины
|
№ п/п |
Наименование темы |
Лекции |
Практические занятия |
Самост. работа |
Формы контроля | |
|
1 |
Введение в математические проблемы криптографии. |
2 |
1 |
2 |
к/р | |
|
2 |
Основы теории чисел. Делимость, простые числа, наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида. Цепные дроби. Асимптотический закон распределения простых чисел. |
3 |
1 |
4 | ||
|
3 |
Мультипликативные функции. Функция Эйлера. |
1 |
1 |
| ||
|
4 |
Теория сравнений. Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Zn, Zp. |
2 |
1 |
| ||
|
5 |
Обратный элемент в Zn Алгебраические структуры на целых числах - Zn, Zp. |
2 |
1 |
| ||
|
6 |
Теорема Эйлера, теорема Ферма, тест Ферма на простоту. Криптосистема RSA. |
2 |
1 |
| ||
|
7 |
Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках и ее применения в криптографии (схема разделения секрета на ее основе и ее применение в RSA). |
2 |
2 |
3 | ||
|
8 |
Квадратичные сравнения. Символ Лежандра. Закон взаимности. Решение квадратичных сравнений по простому модулю. |
2 |
1 |
|
к/р | |
|
9 |
Символ Якоби и его свойства. Тест Соловея-Штрассена на простоту. Решение квадратичных сравнений по составному модулю. |
2 |
1 |
4 | ||
|
10 |
Квадраты и псевдоквадраты. Числа Блюма. BBS-генератор. Криптосистемы Блюма-Гольдвассер, Гольдвассер-Микали. |
2 |
1 |
| ||
|
11 |
Циклическая группа Z*p (Up). Порождающий элемент и дискретный логарифм. |
2 |
1 |
|
к/р | |
|
12 |
Теоремы Сэлфриджа и Поклингтона. Доказуемо простые числа общего вида. |
2 |
1 |
2 | ||
|
13 |
Числа Ферма и тест Пепина. Числа Мерсенна и тест Лукаса-Лемера. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел ГОСТ Р34.10-94 |
2 |
1 |
3 | ||
|
14 |
Конечные поля многочленов. |
2 |
1 |
10 |
Домашняя к/р | |
|
15 |
Элементы теории сложности. Теоретико-числовые проблемы, лежащие в основе двухключевых криптосистем. |
2 |
|
1 |
Расчетная работа | |
|
16 |
Алгоритмы факторизации |
2 |
1 |
2 | ||
|
17 |
Алгоритмы дискретного логарифмирования. |
2 |
1 |
2 | ||