79) Является ли линейным пространством множество всех квадратичных форм с обычными операциями сложения и умножения на вещественные числа?

Решение

Да, являются, поскольку квадратичная форма представляет собой симметричную билинейную форму, т.е. может быть записана в матричной форме, как симметричная матрица. Для этих матриц выполнены свойства 1-8 из определения линейного (векторного) пространства14. Таким образом, относительно операций сложений и умножения на действительный числа множество всех симметричных матриц (а, следовательно, и множество квадратичных форм) образует линейное пространство.

(Можно сослаться на пункт 1 теоремы 4.1, где приведено подробное доказательство для случая всех матриц, указав на то, что добавление условия симметричности матриц не оказывает искажающего влияния, или же аналогично расписать по 8 пунктам, обозначив диагональные элементы одинаковыми знаками).

14 Страница 35

92

различных собственных значений перпендикулярны (это общее свойство симметричных матриц).

Решение

Аналогично номеру 76).

93

81) Укажите какой-нибудь базис пространства всех симметричных матриц второго порядка.

Решение

В качестве базиса пространства всех симметричных матриц второго порядка, можно указать следующий набор матриц (который существует в соответствии с теоремой 3.4):

По следствию 3.2 теоремы 3.6 данную систему векторов действительно можно считать

94

95

83) Линейное подпространство R3 в некотором ортонормированном базисе задано

подпространства.

Решение

Подробный пример решения с необходимыми требованиями к оформлению номера и ссылками на используемые теоремы и определения, приведен к задаче № 62.

96

84) Определите размерность и найдите какой-нибудь базис линейной оболочки системы

Решение

Запишем координаты многочленов относительно базиса 1,t, t 2 , представленные как

столбцы, в виде одной матрицы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

(по определениям ранга ненулевой матрицы и ранга системы векторов15).

По теореме 5.3 в качетстве базиса можно взять столбцы 1, 2 и 3, т.е. первые три многочлена.

15 Страница 61-62

97

По теореме 7.8 система векторов является независимой как собственные векторы оператора дифференцирования с различными собственными значениями.

98