
- •9)Вычислите .
- •10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения
- •12) Определите ранг матрицы
- •13) Найдите матрицу X из уравнения
- •14) Является ли система векторов a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,3,4), a3=(5,6,7,8), a4=(4,3,2,1), a5=(1,1,-1,-1) линейно зависимой?
- •15) Запишите квадратичную форму, имеющую данную матрицу
- •16) С помощью правила Крамера решите систему уравнений
- •17) Найдите матрицу перехода от базиса e1=(3, 2), e2=(2, 1) к базису e1’=(2, −2), e2’=(−1, 6)
- •20) Найдите размерность и базис линейной оболочки системы столбцов
- •23) Найдите общее решение системы линейных уравнений
- •24) Выясните, являются ли векторы a1=(2, −3, 1), a 2=(3, −1,5), a3=(1, −4, 3) линейно зависимыми.
- •27) Найдите фундаментальную систему решений системы линейных уравнений
- •30) Найдите размерность пространства решений уравнения
- •42) Найдите какие-нибудь матрицы A и В второго порядка, для которых rang (AB)≠rang(BA), или докажите, что таких матриц не существует.
- •43) Является ли линейным пространством множество всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждого из которых линейно зависимые строки?
- •59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
- •79) Является ли линейным пространством множество всех квадратичных форм с обычными операциями сложения и умножения на вещественные числа?
- •81) Укажите какой-нибудь базис пространства всех симметричных матриц второго порядка.
- •86) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
- •91) Запишите в матричном виде квадратичную форму
- •93) Образует ли линейное пространство множество всех невырожденных матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на вещественные числа?
- •95) Найдите матрицу линейного функционала, который каждой строке чисел из R3 ставит в соответствие сумму этих чисел.
- •101) Всегда ли произведение симметричных матриц является симметричной матрицей?
- •102) Решите матричное уравнение
- •103) Приведите пример матрицы A размера 3х3, у которой все элементы разные и rang(A)=1, или докажите, что такой матрицы не существует.
- •118) Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C(2, 2) и D(1, 5) разделён на три равные части.
- •121) Отрезок с концами в точках А(3, −2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
- •122) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найдите две другие вершины.
- •123) Разложите вектор v(3,−2) по векторам e1(1, 3), e2(2, −1).
- •124) Даны вершины треугольника: А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найдите косинусы углов треугольника.
- •125) Найдите все значения параметра a, при которых точки А(1, а), В(3, 2−а), С(а, −5) лежат на одной прямой.
- •130) Вычислите площадь треугольника ABC с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).
- •131) Вычислите объём тетраэдра с вершинами А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3).
- •135) При каком значении параметра a точки А(1, 2, 3), В(2, -1,5) и С(-1, а, -1) расположены на одной прямой?
- •По следствию 9.10 теоремы 9.19 эти плоскости не являются параллельными. Следовательно, они пересекаются не под прямым углом, поскольку также 1*1+2*0+3*3 отлично от нуля.
- •144) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •145) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •152) Начало координат перенесено в точку (2, 1), а оси координат повернуты на угол 60 градусов. Как в такой системе координат будут записываться координаты прежнего начала координат?
- •165) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех векторов их R3, перпендикулярных вектору {1,2,3}.
- •166) При параллельном переносе точка А(1, 2, 3) переходит в точку А’(3,1,2). В какую точку переходит точка В(2, 3, 1)?
- •189) Укажите какой-нибудь базис в пространства всех квадратичных матриц на R2 (с обычными операциями).
- •194) Образует ли линейное пространство множество всех ступенчатых матриц третьего порядка с обычными операциями?
59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
Решение
Подробное решение задачи представлено на странице 84 (пример 7.7)
72

60) Являются ли элементы пространства непрерывных на отрезке [−π,
cos(x) ортогональными относительно скалярного произведения |
f , g |
Решение
Найдём значение определенного интеграла:
π] функций sin(x) и
|
|
|
|
|
f (x)g(x)dx ? |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
cos(x) |
|
1 |
|
|
|
f (x)g(x)dx sin(x) cos(x)dx |
sin(x)dx |
|
(cos( ) cos( )) 0 |
|||||
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Поскольку скалярное произведение (заданное, как определенный интеграл) равно 0, то функции ортогональны (следствие 9.6 теоремы 9.10)
73

61) Найдите ортонормированный базис, в котором квадратичная форма
2 |
4x1 x2 |
4x2 |
2 |
|
Q x1 |
|
имеет канонический вид. |
Решение
Найдем корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы
1 |
2 |
0 |
|
0 |
||||
det |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
Для собственных значений соответствующие собственные векторы:
|
0 |
1 |
|
|
5 |
1 |
|
1
2
4 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
||
|
|
~ |
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
2 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
2
0
2 0
x |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
2x |
x |
2 |
1 |
|
Y1
Y2
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
Заметим, что векторы Y1 и Y2 ортогональны: |
Y1 |
|
Таким образом, ортонормированный базис: |
P1 |
|
(В соответствием с теоремами 8.8 и 11.4) |
|
|
Y |
||
|
2 |
|
Y |
|
|
1 |
||
|
||
Y |
|
|
1 |
|
2
1 5
1 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2
;
0 Y |
||
|
1 |
|
P |
Y |
|
2 |
||
|
||
2 |
Y |
|
|
||
|
2 |
Y |
||
|
2 |
|
|
1 |
|
5 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
.
74

62) Линейное подпространство R3 в некотором ортонормированном базисе задано
уравнением x1 x2 |
x3 |
0 |
. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис этого |
подпространства. |
|
|
|
Решение
При решении номера предполагаем выполнение теоремы 10.5
Имеем уравнение: x1 x2 x3
В векторной форме общее решение уранения может быть записано в виде:
x |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
C |
|
1 |
|
C |
2 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
Y |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
C |
, C |
2 |
R |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
C |
|
2 |
|
||
|
2 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
0
, где Y1,Y2 - базис.
Заметим, что базис не является ортогональным: Y1Y2
1 0 (следствие 9.6 теоремы 9.10)
Проведём ортогонализацию базиса. Разложим его на ортогональную составляющую и
ортогональную проекцию: Y Y |
Y |
, где Y Y |
2 |
. (По теореме 10.4). |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Потребуем выполнения условия ортогональности: |
|
Y1 |
|
Подставляя значение ортогональной проекции: Y1 |
Y2 |
По свойствам скалярного произведения (теорема 9.10):
Y |
0 |
2 |
|
Y |
|
2 |
|
.
0
Y1 |
Y2 Y2 |
Y2 |
, откуда |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Y1 Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|||||
Таким образом, Y1 |
1 |
2 |
0 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Удалив множитель, получаем ненормированную ортогональную проекцию:
Нормируя базис, то есть сводя его длину к единице, получаем требуемый ортонормированный базис пространства.
Y |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
||
|
.
Ответ: P1
1 1 2 6 1
P2
1 2
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
.
В дальнейшем, номера, посвященные теме «ортонормирование базиса» будут сопровождаться лишь короткими комментариями и ссылками на данную задачу для ознакомления с оформлением и перечнем необходимых теорем и определений.
75

63) Найдите ортогональную проекцию xM |
|
и ортогональную составляющую xM |
|
вектора |
|
|
|
||||
x (0, 1, 0) на подпространство М, порожденное вектором |
a (10, 20, 10) . Координаты |
заданы в ортонормированном базисе.
Решение
Подробный пример решения с необходимыми требованиями к оформлению номера и ссылками на используемые теоремы и определения, приведен к задаче № 62.
Раскладывая вектор на составляющие, имеем:
x x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Причём |
xM |
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Потребуем: |
xM |
|
|
a |
||||||||||||
|
|
x, a |
|
20 |
|
1 |
||||||||||
|
a, a |
600 |
30 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
1 |
, |
|
2 |
, |
|
|
1 |
|
|||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
1 |
, |
|
|
1 |
, |
|
1 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76

64) Найдите ортогональную проекцию
x |
|
|
M |
||
|
и ортогональную составляющую
x |
|
|
M |
||
|
вектора
x (7, 3, 1) |
на подпространство М, порожденное векторами a1 |
(1, 1, 1) |
и |
a1 |
(4, 0, 5) |
Решение
Рекомендуется изучить подробный пример решения похожего номера с необходимыми требованиями к оформлению и ссылками на используемые теоремы и определения, приведенный к задаче № 62.
.
Потребуем выполнение перпендикулярности вектора x к базисным векторам:
|
x |
|
|
, a |
|
M |
|
||||
|
|
|
1 |
||
|
xM |
|
, a2 |
||
|
|||||
|
|||||
|
|
|
|
|
Поскольку
x a |
|
||
|
1 |
|
|
x a |
|
||
|
|||
1 |
|
0
0
a |
2 |
|
|
a |
2 |
|
x x |
|
, а |
|
,a1 0
,a2 0
x |
|
|
a1
a |
2 |
|
, имеем:
По свойствам скалярного произведения, имеем:
x, a1
a1 , a1
a2 , a1
x, a2
a1 , a2
a2 , a2
Подставляя соответствующие значения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 3 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 9 41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
||
Таким образом, |
x a |
a |
2 |
2 1 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда, x x x |
3 |
|
2 |
|
|
1 |
. |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
77
65) Пусть x (x1 , |
x2 , x3 ) , y ( y1 , y2 , y3 ) . Может ли функция |
||
F (x, y) x1 y1 2x1 y2 |
2x2 y1 5x2 y2 |
2x1 y3 2x3 y1 7x3 y3 служить скалярным |
|
произведением? |
|
|
|
Решение
Запишем функцию в матричном виде:
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
F x |
x |
2 |
x |
3 |
|
2 |
5 |
0 |
|
y |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
7 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Заметим, что матрица |
|
||
|
2 |
||
|
|||
|
|
||
|
|
|
|
определенной, поскольку |
|
||
|
|
|
1 2 3
2 |
2 |
|
5 |
0 |
|
|
||
0 |
7 |
|
|
||
1 0 |
||
1 0 |
||
13 |
симметричная, однако она не является положительно
(в соответствии с теоремой 8.6).
0
Следовательно, это не матрица скалярного произведения. (В соответствии с определением, стр. 139)
78

66)???Пусть скалярное произведение векторов относительно некоторого базиса задано
формулой |
x |
y |
x1 y1 x2 y2 |
. Найдите формулу для скалярного произведения |
относительно нового базиса
e |
' (1, 2) |
1 |
|
e |
' (2, 1) |
2 |
|
.
Решение
B(x, y) x |
x |
|
|
1 |
3 y |
|
|
4x y |
|
4x |
|
y |
5x |
|
y |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
5x y |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
1 1 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
(1, 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
(2, 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79

67) Найдите длину вектора
x
(1, 1)
относительно скалярного произведения
x
y |
x y |
x y |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
x y |
|
2 |
1 |
3x2
y |
2 |
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
Запишем скалярное произведение в матричной форме: |
|
||||||||
B(x, y) x1 |
x2 |
1 |
1 y1 |
|
|
1 1 |
- матрица скалярного произведения. |
||
|
|
|
, где |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 y2 |
|
|
1 3 |
|
|
|
Таким образом, длина вектора |
x |
x, x 1 1 1 3 |
6 |
(в соответствии с определением нормы вектора12 и свойством 4 скалярного произведения согласно теореме 9.10).
12 Страница 140
80

68) Постройте ортонормированный базис в подпространстве R3, порожденном векторами a1 1, 3, 1 , a2 4, 5, 3 .
Решение
Рекомендуется изучить подробный пример решения похожего номера с необходимыми требованиями к оформлению и ссылками на используемые теоремы и определения, приведенный к задаче № 62.
Заметим, что |
a1a2 |
0 |
|
|
|
|
|
Разложение выглядит следующим образом: |
a1 a1 |
|
a1 |
|
|||
|
|
||||||
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
Причём a1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a2 0 |
|
|
|
|
Потребуем: |
|
a1 |
|
|
|
|
|
Или a1 a2 |
a2 |
0 |
|
|
|
|
|
В соответствии со свойствами скалярного произведения |
a1 |
||||||
Откуда: |
22 |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
411
Получаем: a1 25 5
3
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
19 |
||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Наконец, a1 |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
20 |
|
||
25 |
25 |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Удаляя сомножитель и нормируя базис, приходим к ответу.
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Ответ: |
P |
|
|
1 |
|
|
|
|
20 |
|
, P |
1 |
|
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
19 |
2 |
20 |
2 |
18 |
2 |
|
|
|
2 |
50 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
|
|
|
81
69) Является ли самосопряженным оператор с матрицей
1 |
1 |
? |
||
произведения |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Решение
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 1
, если матрица скалярного
По теореме 11.1 (и следствию 11.1) оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
выполнено условие: |
A |
* |
A |
A A |
, где матрица оператора A |
|
0 |
1 |
A |
, а матрица |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
скалярного произведения: A |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 1 |
1 |
1 |
2 |
|||||
Перемножая эти матрицы, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Заметим, что их перемножение в обратном порядке даёт противоположный результат
1 |
1 0 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
.
Следовательно, оператор не является самосопряженным
82

70) Найдите матрицу оператора, переводящего векторы плоскости в их проекции на
прямую с уравнением |
x y 0 |
, относительно базиса из единичных векторов |
координатных осей. |
|
|
Решение
|
|
|
|
|
|
|
e |
( |
1 |
, |
1 |
) |
||||
|
|
e1 (1, 0) |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем базис: |
e2 |
(0, 1) |
и векторы, полученные под действием оператора: |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
(e |
|
) ( |
, |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где : x x |
|
- оператор перевода веторов в их проекции на биссектрису первого |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
координатного угла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме 7.1 матрица оператора выглядит следующим образом A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
A a a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
83
71) Найдите ядро линейного оператора с матрицей
Решение
Путём элементарных преобразований, приходим к
1 |
2 |
3 |
||
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|||
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
матрице:
.
1 |
2 |
|
|
4 |
5 |
|
||
|
7 |
8 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
9 |
|
|
1 |
|
|
4 |
~ |
|
|
8 |
|
2 5 10
3 |
|
6 |
|
|
|
12 |
|
|
1 |
|
|
4 |
~ |
|
|
0 |
|
2 |
3 |
1 |
2 |
||
5 |
6 |
|
|
2 |
3 |
|
~ |
||||
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
~ |
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
||
0 |
0 |
|
|
Откуда ядро оператора -
x |
2 |
2x |
|
||
ker : |
|
1 |
|
||
x |
|
x |
|||
|
2 |
|
|||
|
1 |
(в соответствии с теоремой 7.3)
84

72) Найдите образ единичного квадрата при линейном отображении с формулой
y |
|
|
1 |
|
|
y2 |
x |
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
2x2
x2
3
1
.
Решение
Единичный квадрат задан точками: A(0,0), B(0,1), C(1,0), D(1,1).
B D
A C
Под действием оператора он переходит в прямоугольник, вершины которого заданы точками: A’(-3,1), B’(-1,2), C’(-2,0), D’(0,1). Данные точки получены поочередной подстановкой изначальных точек в систему уравнений из условия , представляющую линейное отображений.
85
73) Найдите координаты многочлена
относительно базиса 1, |
x, x |
2 |
, x |
3 |
x |
2 |
. |
|
|
|
p(x) x |
3 |
3x |
2 |
|
|
Решение
1
относительно базиса
1, x, x |
2 |
, x |
3 |
|
|
и
Запишем базисы и выразим через них многочлен (в нашем примере координаты очевидны, но их также можно было получить с помощью решения матрицы, состоящей из столбцов координат базиса и многочлена).
Отметим, что координаты следует записывать не в виде столбца чисел, а в виде многочлена!
e |
|
1 |
1 |
|
|
e2 |
x |
|
e |
3 |
x |
|
|
|
e |
4 |
x |
|
|
2 3
P(x) e |
4 |
3e |
e |
|
3 |
1 |
h |
1 |
1 |
|
h |
x |
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
x |
|
h |
3 |
2 |
||
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
P(x) h |
2h |
h |
4 |
3 |
1 |
86

74) Найдите координаты
e |
|
' |
1 |
|
|
Имеем: |
|
|
e |
2 |
' |
|
|
координаты вектора х относительно базиса e1’ , e2’, если известны его {1;4} относительно базиса e1 , e2, причём e1’ =е1+е2, e2’=2е1−е2.
Решение
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
Решая расширенную матрицу, состоящую из координат вектора относительно старого базиса и координат перехода от старого базиса к новому, получаем столбец координат вектора относительно нового базиса:
1 |
2 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|
~ |
|
|
1 |
4 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
Ответ: {3;-1}.
23
3
1 |
|
~ |
|
|
0 |
|
21
1 1
1 |
|
~ |
|
|
0 |
|
0 |
3 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
87

75) Найдите угол между векторами координатами a 4, 0, 2, 0, 4 и b
с заданными в1, 3, 1, 3, 4
Решение
ортонормированном базисе
.
В соответствии со следствием 9.7 теоремы 9.10 имеем:
cos( )
=
a,b
a
b
=
18 6 6
=
1 2
угол равен 60º
88
76) Найдите базис, в котором линейный оператор с матрицей
диагональную форму.
Решение
5 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
будет иметь
Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора как корни характеристического многочлена квадратной матрицы (по теореме 7.7):
|
5 |
2 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
det |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Собственное значение 1 |
|
|
9 |
|
4 |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В виде системы 2x1 |
x2 |
|
|
Соответственно, собственный вектор: Y1 |
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Собственное значение 1 |
|
|
4 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
0 |
|
0 |
|
|
2 |
||
В виде системы x 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
Соответственно, собственный ветор: Y2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, переходя к базису Y1 и Y2, получаем новую матрицу того же оператора |
||||||||||||||||||||||
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (По теореме 7.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Матрица перехода T |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
77) Является ли квадратичная форма формой?
Q 25 x |
2 |
14 x x |
|
|
2 |
||
1 |
|
1 |
Решение
2x |
2 |
|
2 |
||
|
положительно определенной
Для того, чтобы понять является ли квадратичная форма положительно определенной, необходимо определить знак определителей миноров первого и второго порядка этой матрицы. Для этого, прежде всего, запишем матрицу квадратичной формы (на основании теорем 8.2 и 8.5) и вычислим определители ее главных миноров.
25 |
7 |
|
50 49 1 |
|
det |
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
25 0 |
|
|
|
|
2 |
1 0 |
|
|
да, является
(в соответствии с критерием Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, то есть теоремы 8.6).
90

|
1 |
2 |
3 |
|
, B 7 |
|
9 . Найдите |
* |
|
|
78) Пусть |
A |
|
|
|
|
8 |
B, |
|||
|
|
|
AB, A |
|||||||
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тех случаях, когда умножение определено.
Решение
* |
* |
, |
A |
B |
BA,
B |
* |
A, |
|
B |
* |
|
A |
* |
|
,
AB |
|
, BA |
|
|
|
в
Заметим, что заданные матрицы и матрицы, полученные путём транспонирования исконных, имеют следующие размеры:
A:[2x3] A*:[3x2]
B:[1x3] B*:[3x1]
В соответствии с определением произведения матриц13 умножение определено для следующих пар матриц:
: AB |
|
, BA |
|
|
|
Рассчитаем:
|
7 |
8 |
BA |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
50 |
|
|
8 |
|
||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
132 |
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
50 |
132 |
9 |
2 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
В то же время все остальные комбинации не имеют произведения:
: AB, A B, A B |
, BA, B |
A, B A |
|
|
* |
* * |
* |
* |
* |
13 Страница 48
91