Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Линал_Reshebnik.pdf
Скачиваний:
486
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
1.51 Mб
Скачать

59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

Решение

Подробное решение задачи представлено на странице 84 (пример 7.7)

72

60) Являются ли элементы пространства непрерывных на отрезке [−π,

cos(x) ортогональными относительно скалярного произведения

f , g

Решение

Найдём значение определенного интеграла:

π] функций sin(x) и

 

 

 

 

 

f (x)g(x)dx ?

 

 

 

 

 

 

1

 

1

cos(x)

 

1

 

 

f (x)g(x)dx sin(x) cos(x)dx

sin(x)dx

 

(cos( ) cos( )) 0

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку скалярное произведение (заданное, как определенный интеграл) равно 0, то функции ортогональны (следствие 9.6 теоремы 9.10)

73

61) Найдите ортонормированный базис, в котором квадратичная форма

2

4x1 x2

4x2

2

 

Q x1

 

имеет канонический вид.

Решение

Найдем корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы

1

2

0

 

0

det

 

 

 

 

 

1

 

 

2

4

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Для собственных значений соответствующие собственные векторы:

 

0

1

 

 

5

1

 

1

2

4

 

 

 

2

 

2

1

 

 

 

~

 

 

4

 

 

0

 

 

 

 

 

2

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

0

2 0

x

 

1

1

 

 

 

0

 

 

2x

2

 

 

 

2x

x

2

1

 

Y1

Y2

 

2

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

2

Заметим, что векторы Y1 и Y2 ортогональны:

Y1

Таким образом, ортонормированный базис:

P1

 

(В соответствием с теоремами 8.8 и 11.4)

 

 

Y

 

2

Y

 

1

 

Y

 

1

 

2

1 5

1 1

 

2

 

 

 

 

 

1

 

2

;

0 Y

 

1

P

Y

2

 

2

Y

 

 

2

Y

 

2

 

1

5

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

.

74

62) Линейное подпространство R3 в некотором ортонормированном базисе задано

уравнением x1 x2

x3

0

. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис этого

подпространства.

 

 

 

Решение

При решении номера предполагаем выполнение теоремы 10.5

Имеем уравнение: x1 x2 x3

В векторной форме общее решение уранения может быть записано в виде:

x

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

C

 

1

 

C

2

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

C

, C

2

R

1

 

 

 

 

 

 

C

2

C

 

2

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

0

, где Y1,Y2 - базис.

Заметим, что базис не является ортогональным: Y1Y2 1 0 (следствие 9.6 теоремы 9.10)

Проведём ортогонализацию базиса. Разложим его на ортогональную составляющую и

ортогональную проекцию: Y Y

Y

, где Y Y

2

. (По теореме 10.4).

1

1

1

1

 

Потребуем выполнения условия ортогональности:

 

Y1

Подставляя значение ортогональной проекции: Y1

Y2

По свойствам скалярного произведения (теорема 9.10):

Y

0

2

 

Y

 

2

 

.

0

Y1

Y2 Y2

Y2

, откуда

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Y1 Y2

 

 

 

 

 

 

 

2 .

Таким образом, Y1

1

2

0

2

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Удалив множитель, получаем ненормированную ортогональную проекцию:

Нормируя базис, то есть сводя его длину к единице, получаем требуемый ортонормированный базис пространства.

Y

 

 

1

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

.

Ответ: P1

1 1 2 6 1

P2

1 2

 

1

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

.

В дальнейшем, номера, посвященные теме «ортонормирование базиса» будут сопровождаться лишь короткими комментариями и ссылками на данную задачу для ознакомления с оформлением и перечнем необходимых теорем и определений.

75

63) Найдите ортогональную проекцию xM

 

и ортогональную составляющую xM

 

вектора

 

 

x (0, 1, 0) на подпространство М, порожденное вектором

a (10, 20, 10) . Координаты

заданы в ортонормированном базисе.

Решение

Подробный пример решения с необходимыми требованиями к оформлению номера и ссылками на используемые теоремы и определения, приведен к задаче № 62.

Раскладывая вектор на составляющие, имеем:

x x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Причём

xM

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

Потребуем:

xM

 

 

a

 

 

x, a

 

20

 

1

 

a, a

600

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

,

 

2

,

 

 

1

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

,

 

 

1

,

 

1

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

76

64) Найдите ортогональную проекцию

x

 

M

 

и ортогональную составляющую

x

 

M

 

вектора

x (7, 3, 1)

на подпространство М, порожденное векторами a1

(1, 1, 1)

и

a1

(4, 0, 5)

Решение

Рекомендуется изучить подробный пример решения похожего номера с необходимыми требованиями к оформлению и ссылками на используемые теоремы и определения, приведенный к задаче № 62.

.

Потребуем выполнение перпендикулярности вектора x к базисным векторам:

 

x

 

 

, a

M

 

 

 

 

1

 

xM

 

, a2

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

x a

 

 

1

 

x a

 

 

1

 

0

0

a

2

 

a

2

 

x x

 

, а

 

,a1 0

,a2 0

x

 

 

a1

a

2

 

, имеем:

По свойствам скалярного произведения, имеем:

x, a1 a1 , a1 a2 , a1

x, a2 a1 , a2 a2 , a2

Подставляя соответствующие значения:

 

 

 

 

 

 

 

3 3 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23 9 41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

 

 

2

 

Таким образом,

x a

a

2

2 1

 

 

0

 

 

 

2

.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

7

 

2

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда, x x x

3

 

2

 

 

1

.

 

1

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

77

65) Пусть x (x1 ,

x2 , x3 ) , y ( y1 , y2 , y3 ) . Может ли функция

F (x, y) x1 y1 2x1 y2

2x2 y1 5x2 y2

2x1 y3 2x3 y1 7x3 y3 служить скалярным

произведением?

 

 

 

Решение

Запишем функцию в матричном виде:

 

 

 

 

 

 

1

2

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

F x

x

2

x

3

 

2

5

0

 

y

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

7

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

Заметим, что матрица

 

 

2

 

 

 

 

 

 

определенной, поскольку

 

 

 

 

1 2 3

2

2

5

0

 

 

0

7

 

 

1 0

1 0

13

симметричная, однако она не является положительно

(в соответствии с теоремой 8.6).

0

Следовательно, это не матрица скалярного произведения. (В соответствии с определением, стр. 139)

78

66)???Пусть скалярное произведение векторов относительно некоторого базиса задано

формулой

x

y

x1 y1 x2 y2

. Найдите формулу для скалярного произведения

относительно нового базиса

e

' (1, 2)

1

 

e

' (2, 1)

2

 

.

Решение

B(x, y) x

x

 

 

1

3 y

 

 

4x y

 

4x

 

y

5x

 

y

 

 

 

 

 

 

1

5x y

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

3

 

 

 

1 1

1

2

 

2

1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

(1, 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2

(2, 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

67) Найдите длину вектора

x

(1, 1)

относительно скалярного произведения

x

y

x y

x y

2

 

1

1

1

x y

2

1

3x2

y

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

Запишем скалярное произведение в матричной форме:

 

B(x, y) x1

x2

1

1 y1

 

 

1 1

- матрица скалярного произведения.

 

 

 

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3 y2

 

 

1 3

 

 

Таким образом, длина вектора

x

x, x 1 1 1 3

6

(в соответствии с определением нормы вектора12 и свойством 4 скалярного произведения согласно теореме 9.10).

12 Страница 140

80

68) Постройте ортонормированный базис в подпространстве R3, порожденном векторами a1 1, 3, 1 , a2 4, 5, 3 .

Решение

Рекомендуется изучить подробный пример решения похожего номера с необходимыми требованиями к оформлению и ссылками на используемые теоремы и определения, приведенный к задаче № 62.

Заметим, что

a1a2

0

 

 

 

 

Разложение выглядит следующим образом:

a1 a1

 

a1

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

Причём a1

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 0

 

 

 

 

Потребуем:

 

a1

 

 

 

 

Или a1 a2

a2

0

 

 

 

 

В соответствии со свойствами скалярного произведения

a1

Откуда:

22

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

411

Получаем: a1 25 5

3

 

 

1

 

 

 

 

4

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

1

 

 

 

Наконец, a1

 

3

 

 

 

5

 

 

 

 

20

 

25

25

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Удаляя сомножитель и нормируя базис, приходим к ответу.

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

4

 

 

Ответ:

P

 

 

1

 

 

 

 

20

 

, P

1

 

 

5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

19

2

20

2

18

2

 

 

 

2

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

3

 

 

a

2

a

2

a

2

 

 

 

81

69) Является ли самосопряженным оператор с матрицей

1

1

?

произведения

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

Решение

0

 

 

 

1

 

1 1

, если матрица скалярного

По теореме 11.1 (и следствию 11.1) оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

выполнено условие:

A

*

A

A A

, где матрица оператора A

 

0

1

A

, а матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

скалярного произведения: A

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1 1

1

1

2

Перемножая эти матрицы, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

0

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что их перемножение в обратном порядке даёт противоположный результат

1

1 0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

.

Следовательно, оператор не является самосопряженным

82

70) Найдите матрицу оператора, переводящего векторы плоскости в их проекции на

прямую с уравнением

x y 0

, относительно базиса из единичных векторов

координатных осей.

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

e

(

1

,

1

)

 

 

e1 (1, 0)

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем базис:

e2

(0, 1)

и векторы, полученные под действием оператора:

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

(e

 

) (

,

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где : x x

 

- оператор перевода веторов в их проекции на биссектрису первого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координатного угла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По теореме 7.1 матрица оператора выглядит следующим образом A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

A a a

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

83

71) Найдите ядро линейного оператора с матрицей

Решение

Путём элементарных преобразований, приходим к

1

2

3

 

4

5

6

 

 

 

 

7

8

9

 

 

 

матрице:

.

1

2

 

4

5

 

 

7

8

 

3

6

 

 

9

 

 

1

 

4

~

 

8

 

2 5 10

3

 

6

 

 

12

 

 

1

 

4

~

 

0

 

2

3

1

2

5

6

 

 

2

3

 

~

0

0

 

 

0

0

 

 

3

0

 

 

0

 

 

1

 

2

~

 

0

 

0

1

1

0

 

 

0

0

 

 

Откуда ядро оператора -

x

2

2x

 

ker :

 

1

 

x

 

x

 

2

 

 

1

(в соответствии с теоремой 7.3)

84

72) Найдите образ единичного квадрата при линейном отображении с формулой

y

 

1

 

y2

x

 

1

 

x

 

1

2x2

x2

3

1

.

Решение

Единичный квадрат задан точками: A(0,0), B(0,1), C(1,0), D(1,1).

B D

A C

Под действием оператора он переходит в прямоугольник, вершины которого заданы точками: A’(-3,1), B’(-1,2), C’(-2,0), D’(0,1). Данные точки получены поочередной подстановкой изначальных точек в систему уравнений из условия , представляющую линейное отображений.

85

73) Найдите координаты многочлена

относительно базиса 1,

x, x

2

, x

3

x

2

.

 

 

 

p(x) x

3

3x

2

 

 

Решение

1

относительно базиса

1, x, x

2

, x

3

 

 

и

Запишем базисы и выразим через них многочлен (в нашем примере координаты очевидны, но их также можно было получить с помощью решения матрицы, состоящей из столбцов координат базиса и многочлена).

Отметим, что координаты следует записывать не в виде столбца чисел, а в виде многочлена!

e

 

1

1

 

e2

x

e

3

x

 

 

e

4

x

 

 

2 3

P(x) e

4

3e

e

 

3

1

h

1

1

 

h

x

 

 

 

2

x

 

 

 

h

2

 

 

 

 

 

 

3

x

 

x

 

h

3

2

 

 

 

4

 

 

 

 

P(x) h

2h

h

4

3

1

86

74) Найдите координаты

e

 

'

1

 

Имеем:

 

 

e

2

'

 

 

координаты вектора х относительно базиса e1, e2, если известны его {1;4} относительно базиса e1 , e2, причём e112, e2=2е1−е2.

Решение

1

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

1

Решая расширенную матрицу, состоящую из координат вектора относительно старого базиса и координат перехода от старого базиса к новому, получаем столбец координат вектора относительно нового базиса:

1

2

1

1

 

 

 

 

~

 

 

1

4

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

Ответ: {3;-1}.

23

3

1

~

 

 

0

 

21

1 1

1

~

 

 

0

 

0

3

 

 

1

 

1

 

 

87

75) Найдите угол между векторами координатами a 4, 0, 2, 0, 4 и b

с заданными в1, 3, 1, 3, 4

Решение

ортонормированном базисе

.

В соответствии со следствием 9.7 теоремы 9.10 имеем:

cos( )

=

a,bab

=

18 6 6

=

1 2

угол равен 60º

88

76) Найдите базис, в котором линейный оператор с матрицей

диагональную форму.

Решение

5

 

 

 

2

 

2

 

 

8

 

 

будет иметь

Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора как корни характеристического многочлена квадратной матрицы (по теореме 7.7):

 

5

2

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственное значение 1

 

 

9

 

4

 

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В виде системы 2x1

x2

 

 

Соответственно, собственный вектор: Y1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Собственное значение 1

 

 

4

 

1

2

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

0

 

0

 

 

2

В виде системы x 2x

 

 

 

 

 

 

2

Соответственно, собственный ветор: Y2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, переходя к базису Y1 и Y2, получаем новую матрицу того же оператора

9

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (По теореме 7.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица перехода T

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89

77) Является ли квадратичная форма формой?

Q 25 x

2

14 x x

 

 

2

1

 

1

Решение

2x

2

2

 

положительно определенной

Для того, чтобы понять является ли квадратичная форма положительно определенной, необходимо определить знак определителей миноров первого и второго порядка этой матрицы. Для этого, прежде всего, запишем матрицу квадратичной формы (на основании теорем 8.2 и 8.5) и вычислим определители ее главных миноров.

25

7

 

50 49 1

det

 

 

 

 

7

2

 

 

 

 

 

 

1

25 0

 

 

 

2

1 0

 

 

да, является

(в соответствии с критерием Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, то есть теоремы 8.6).

90

 

1

2

3

 

, B 7

 

9 . Найдите

*

 

78) Пусть

A

 

 

 

 

8

B,

 

 

 

AB, A

 

 

4

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тех случаях, когда умножение определено.

Решение

*

*

,

A

B

BA,

B

*

A,

 

B

*

 

A

*

 

,

AB

 

, BA

 

 

 

в

Заметим, что заданные матрицы и матрицы, полученные путём транспонирования исконных, имеют следующие размеры:

A:[2x3] A*:[3x2]

B:[1x3] B*:[3x1]

В соответствии с определением произведения матриц13 умножение определено для следующих пар матриц:

: AB

 

, BA

 

 

 

Рассчитаем:

 

7

8

BA

 

 

 

 

7

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

50

 

8

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

6

 

 

 

 

 

 

 

132

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

50

132

9

2

5

 

 

 

 

 

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

 

В то же время все остальные комбинации не имеют произведения:

: AB, A B, A B

, BA, B

A, B A

 

*

* *

*

*

*

13 Страница 48

91