27) Найдите фундаментальную систему решений системы линейных уравнений
x |
2x |
2 |
x |
3 |
0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|||
x |
x |
|
x |
0 |
||||
|
2 |
|||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
|||
Решение
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
||
Выполним преобразование Гаусса: |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
3 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Тогда общее решение ОСЛУ выглядит следующим образом:
|
1 |
|
|
|
2 |
||
2x |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x |
2 |
||
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
3 |
2 |
0 |
|
||
|
|
|
|||||||
x |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фундаментальная система решений:
x |
|
|
1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x3 |
|
|
|
||
C
R
.
40
28) Решите матричное уравнение |
|
X |
1 |
2 |
|
||||
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Найдём матрицу, обратную |
|
|
: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
2 1 0 |
1 2 1 0 |
|
1 |
0 3 2 |
||||
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
3 0 |
|
|
1 1 1 |
|
|
0 |
1 1 1 |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
Тогда матрица X находится из произведения матриц:
5 .
Получаем: |
3 |
2 |
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
X 3 |
3 |
2 |
|
4 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
41
29) Найдите размерность пространства решений матричного уравнения
X − матрица размера 2 Х 2.
Решение
X
2
1
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
, где
2x |
|
Запишем матричное уравнение в виде системы |
1 |
|
|
2x3 |
|
Ранг матрицы этой однородной системы уравнений
нулю): rang 1, поскольку она содержит ненулевой
6.2: dim ker 2 1 1
x2 0
x4 0
2 |
1 |
(определитель которой равен |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
минор первого порядка. По теореме
42
30) Найдите размерность пространства решений уравнения
Решение
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
X |
|
0 |
|
|
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0 |
|
||
|
|||||||||
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
|
|
Выполним элементарные преобразования: |
|
|
~ |
||||||
|
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
По свойству 5 теоремы 2.1 определитель этой матрицы равен нулю.
|
1 |
|
Первые две строки содержат ненулевой минор второго порядка: |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
поэтому rang 2 . По теореме 6.2: |
dim ker 5 2 3 |
|
1 4 4
2 6
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
8 |
10 |
12 |
|
6 |
8 |
10 |
12 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
.
43
31) Как зависит ранг матрицы
|
1 |
|
|
|
|
А |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
||
1 |
|
|
1 |
|
от числа λ? |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
По определению ранга матрицы, он зависит от порядка ненулевого минора, содержащегося в матрице A. Для этого рассчитаем ее определитель:
det A |
3 |
1 1 |
3 |
3 2 ( 1)( |
2 |
2) ( 1) |
2 |
( 2) |
|
|
|
|
|
Рассмотрим корни характеристического уравнения:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
При 1 |
1 |
А |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
вырожденными. |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
А |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 0 0
12 1
1 |
|
|
||
0 |
|
|
||
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|||
|
||||
|
|
|
||
rang 1,
rang
т.к. миноры 2 и 3 порядка являются
2
При остальных λ определитель матрицы отличен от нуля, следовательно, rang = 3.
44
32) Вычислите ранг матрицы AB, если
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, B 4 |
|
A |
2 |
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение
6
.
Произведение матриц A и В даёт матрицу:
4 |
5 |
6 |
||
|
|
|
|
|
AB |
8 |
10 |
12 |
|
|
|
15 |
18 |
|
12 |
|
|||
Поскольку вторая и третья строка матрицы кратны первой, т.е. могут быть получены и нее путем элементарных преобразований, определители миноров 2 и 3 порядка равны нулю, а, значит, rang 1.
45
33) Какова размерность ядра и области значений линейного оператора с характеристическим многочленом ( ) ( 1)( 2)
Решение
По определению характеристического многочлена и теореме 7.7 определитель матрицы линейного оператора равен нулю при следующих значениях:
0 |
|
dim ker 3 2 1 |
|
||
|
1 |
rang 2 |
|
||
|
dim Im rang 2 |
|
|||
|
|
|
|||
2 |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
При других значениях лямбда, матрица невырождена, т.е. rang = 3 |
dim ker 3 3 |
||||
dim Im rang |
|||||
|
|
|
|
||
(По теореме 7.3)
Заметим, что, поскольку характеристический многочлен не имеет кратных корней, матрицы линейного оператора не может быть меньше 2.
0
3
ранг
46
34) Оператор дифференцирования переводит пространство с базисом
e2 |
sin x в себя. Найдите матрицу этого оператора. |
|
Решение |
Найдём векторы, в которые переходит базис под действием оператора дифференцирования и запишем их координаты относительно базиса:
(e ) (cos x) sin x e |
2 |
1 |
(e2 ) (sin x) cos x e1
e1
cos x
,
Тогда по теореме 7.1 матрица оператора может быть записана следующим образом:
A |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
.
47
35) Найдите симметричную билинейную форму В, о которой известно, что
B(x, x) x |
2 |
|
|
1 |
|
B(x, x) x1
6x x |
2 |
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3
x2 |
2 |
при всех |
x |
|
3 x |
|
(по |
||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
||
R3
Решение
теореме 8.2)
48
36) Пусть
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
− одна из матриц линейного оператора. Есть ли среди матриц этого
оператора диагональная?
Решение
Найдём характеристический многочлен матрицы линейного оператора
1 |
2 |
|
0 (1 )(4 ) 6 0 |
2 |
5 10 |
0 |
|
|
det |
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
привести
невозможно, поскольку у характеристического многочлена нет собственных значений (по теореме 7.5).
49
1 |
2 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
37) Проверьте, что формула Q( X ) det x1 |
x2 |
x3 |
|
||||
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
3 |
2 |
|
||||
|
|
1 |
|||||
квадратичную форму, и найдите ее матрицу.
определяет на пространстве R3
Решение
Рассчитаем формулу Q(X), т.е. найдём определитель соответствующей матрицы:
Q x x |
|
3x x |
|
2x |
2 |
3x x |
x x |
2x |
2 |
4x x |
|
2x |
2 |
4x x |
2x |
2 |
|||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
1 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
|
1 |
3 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|||
Полученное значение определяет квадратичную форму на пространстве R3 по определению квадратичной формы7. Ее матрица имеет следующий вид:
2 |
2 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
А |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
7 Страница 96
50
38) Проверьте, определяется ли формула
x |
y |
|
x |
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
det |
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
y |
x |
|
y |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
||||
1 |
|
|
|||||
на пространстве R3 билинейную
форму, и в случае положительного ответа найдите ее матрицу.
Решение Рассчитаем данную по условию формулу:
det 2x y |
3 |
x |
x |
3 |
3y y |
2 |
2 y x |
3 |
3x x |
y |
2 |
y |
3 |
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
||||||
линейной по каждому аргументу, т.е. нарушает
не определяет, поскольку не является определение билинейной формы8.
8 Страница 93
51
39) Найдите какую-нибудь систему линейных уравнений с множеством решений |
|||||||||||
C,2C,3C : C . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
2x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Например, |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
x |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
То есть |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
3x |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В векторной форме приходим к тому, что задано в условии: x2 |
|
C |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
||
52
40) Найдите какую-нибудь систему линейных однородных уравнений, для которой строки (1, 2, 3) и (4, 5, 6) являются фундаментальной системой решений (т.е. базис в пространстве решений этой системы уравнений), или докажите, что такой системы не существует.
Решение
Если строки (1, 2, 3) и (4, 5, 6) являются фундаментальной системой решений,
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
пространство решений может быть записано в векторной форме как x2 |
|
c1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x |
c |
4c |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
а в матричной форме, соответственно: |
|
|
2c1 5c2 . |
|
|
|
||||
x2 |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
3c |
6c |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
то
1 |
|
|
4 |
||
2 |
|
c2 |
|
5 |
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
С помощью элементарных преобразований (можно также записать в матричной форме) приходим к системе линейных однородных уравнений6
x1 |
c1 4c2 |
x |
|
2x |
3c |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
2c 5c |
|
|
|
x |
|
2x |
|
x |
|||||
2 |
2 |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
3 |
2 |
||||||
|
1 |
|
|
x |
|
3x |
6c |
|
|
|
1 |
||||
x |
|
3c |
6c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x1 |
2x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
,
53
41) Совпадают ли линейные оболочки
a1 |
1, 2, 3 , a2 |
4, 5, 6 , b1 |
3, 2, 1 , b2 |
lin(a16,
, a |
2 |
) |
5, 4 |
||
и
?
lin(b |
,b |
) |
1 |
2 |
|
, где
Решение
Запишем векторы в виде матрицы и найдём ее ранг:
|
1 4 3 6 |
|
|
|
|||||
rang |
|
2 5 2 5 |
|
2 |
|
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 6 1 4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
a |
b b |
2 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
||
Теперь, поскольку:
dim lin(a |
, a |
2 |
,b |
,b |
) 2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
по определению ранга системы векторов
a |
|
(1,2,3) |
|
|
|
1 |
|
|
Линейно независимы |
||
a |
|
(4,5,6) |
|||
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
dim lin(a1 , a2 ,b1 ,b2 ) 2 |
(следствие 3.2 |
||||
3.2) |
lin(a1 , a2 ) lin(b1 ,b2 ) |
a1, a2 - базис, поскольку теоремы 3.5) a1 , a2 lin(b1
,b |
) |
2 |
|
(теорема
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
||
b1 |
(3,2,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейно независимы b1, b2 |
|||||||
b2 |
(6,5,4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
b ,b |
lin(a , a |
2 |
) lin(b |
,b |
) lin(a |
, a |
2 |
) |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
||
- базис, поскольку
Получаем, что:
lin(a |
, a |
2 |
) lin(b |
,b |
) |
||
1 |
|
1 |
|
2 |
|
||
lin(b |
,b |
|
) lin(a |
, a |
2 |
) |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
||
lin(b |
,b |
) |
1 |
2 |
|
lin(a |
, a |
2 |
) |
1 |
|
|
, то есть линейные оболочки совпадают.
54