|
x |
2x |
2 |
x |
3 |
1 |
|
23) Найдите общее решение системы линейных уравнений |
|
1 |
|
|
|
||
x |
2x |
|
x |
|
1 |
||
|
|
2 |
3 |
||||
|
1 |
|
|
|
|||
Решение
Запишем в матричной форме и выполним элементарные преобразования:
1 |
2 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение выглядит следующим образом:
x |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В векторной форме: x2 |
|
|
0 |
C1 |
|
1 |
. |
|||
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
x |
1 |
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
x |
|
2x |
|
||
|
3 |
2 |
|||
|
|
||||
36
24) Выясните, являются ли векторы a1=(2, −3, 1), a 2=(3, −1,5), a3=(1, −4, 3) линейно зависимыми.
Решение
Запишем векторы в виде матрицы и рассчитаем ее определитель:
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
35 0 лин ейн о н езависима |
det |
|
||||
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
(следствие 5.2 теоремы 5.3)
37
|
|
x |
2x |
2 |
x |
3 |
|
25) Получите решение системы уравнений |
1 |
|
|
||||
x |
2x |
|
x |
|
|||
|
|
|
2 |
3 |
|||
|
|
1 |
|
|
|||
X A |
1 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение
1
1
в матричной форме
Запишем системы уравнений в матричной форме:
1 |
1 |
x |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
x2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
A
С помощью элементарных преобразований получаем матрицу, обратную А:
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
||
|
|
|
1 |
|
~ |
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
~ |
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||
2 |
|
X |
|
|
1 |
|
|
1 |
3 |
||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
.
38
26) Найдите ранг матрицы
1 |
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|||
|
3 |
1 |
3 |
|
|||
. Сколько независимых строк содержит эта
матрица? Сколько независимых столбцов содержит эта матрица?
Решение
Приведем матрицу к ступенчатому виду:
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
21
32
13
1 |
|
|
0 |
~ |
|
|
0 |
|
|
21
1 0
5 0
1
5
1 |
|
|
0 |
~ |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
|
|
|||
Поскольку эта матрица содержит невырожденный минор второго порядка, rang матрицы равен 2 (по определению ранга матрицы). Согласно теореме 5.3, матрица содержит 2 независимых строки(2 независимых столбца).
39