17) Найдите матрицу перехода от базиса e1=(3, 2), e2=(2, 1) к базису e1’=(2, −2), e2’=(−1, 6)
Решение
Согласно теореме 4.6 координаты любого вектора X относительно старого и нового базиса связаны следующим образом:
X T X |
||
|
1 |
|
X T X |
||
|
2 |
|
X |
T |
1 |
T X |
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
T |
T T T |
||
1 |
|
2 |
Тогда, матрицу перехода от старого базиса к новому можно получить путём элементарных преобразований:
|
3 |
|
|
|
2 |
|
Ответ:
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
6 |
|
T |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
1 |
1 |
||
|
|
~ |
|
6 |
|
|
2 |
|
|
||
20
06
12
13 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
~ |
|
|
0 |
|
0 |
6 |
13 |
|
|
|
1 |
10 |
|
20 |
30
18) Вычислите A-1, если
3 |
|
A |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
9 |
|
|
|
.
Решение
По теореме 4.5 (можно сказать, с помощью элементарных преобразований) получаем:
3 |
5 |
1 |
|
0 |
|
|
3 |
5 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
||
|
9 |
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
9 |
5 |
|||
Ответ: |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
3
6 |
|
~ |
|
|
0 |
|
|
0 |
27 |
15 |
|
|
|
10 |
25 |
|
15 |
31
19) Заданы матрица линейного оператора в некотором базисе |
0 |
2 |
|
и матрица |
|
A |
|
|
|
||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
1 |
. Найдите матрицу оператора в новом базисе. |
|
перехода к другому базису T |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение
Согласно следствию 7.2 теоремы 7.4 запишем:
T 1 |
AT |
Рассчитаем промежуточную матрицу: |
A |
|
|
|
C |
|
Путём элементарных преобразований, получаем:
2 |
1 |
2 |
2 |
~ |
1 |
0 |
3 |
2 |
1 |
0 |
3 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
5 |
4 |
|
|
|
1 |
5 |
4 |
|
|
0 |
1 |
8 |
6 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
2 2 |
1 |
2 |
2 |
|||||
C AT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
5 |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
32
20) Найдите размерность и базис линейной оболочки системы столбцов
|
1 |
||
|
|
|
|
A |
1 |
||
|
|
|
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Решение
Запишем столбцы в виде матрицы и проведем элементарные преобразования:
1 2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
3 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
. Rang матрицы равен 2 по определению ранга, а, значит, |
||
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
~ |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||||
размерность линейной оболочки системы столбцов также равна 2 по определению ранга системы векторов6. Следовательно базисом является любая линейно независимая комбинация двух столбцов (следствие 3.2 теоремы 3.6). Например, можно взять в качестве базисы столбцы 1 и 4, поскольку они содержат минор второго порядка.
6 Страница 62
33
21) Могут ли матрицы базисах?
1 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
и |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
быть матрицами одного оператора в различных
Решение
1 |
2 |
|
2 |
, а |
1 |
1 |
|
1 |
, то матрицы не могут быть матрицами |
||
Поскольку rang |
|
|
|
rang |
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
одного оператора в различных базисах по следствию 7.1 теоремы 7.3.
34
22) Решите матричное уравнение размера 2 Х 2.
3 |
2 |
|
|
Обозначим T X |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
||
2 |
1 |
2 |
4 |
|||
Тогда : |
|
|
|
T |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
||||
Решение
41
, где X − матрица
Выполняя преобразования Гаусса, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
1 |
2 |
4 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
|
0 |
1 |
12 |
14 |
1 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
0 |
7 |
|
9 |
|
|
1 |
0 |
7 |
|
9 |
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку |
|
|
3 |
|
2 |
7 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
7 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Можно записать: |
|
|
|
X * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С помощью элементарных преобразований получаем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 5 |
7 12 |
|
0 |
1 |
|
13 |
18 |
|
0 |
1 |
13 |
|
18 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
9 |
14 |
|
|
0 |
48 |
|
|
|
|
|
||
|
|
9 14 |
|
|
|
2 |
|
68 |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
24 |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда: X * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Транспонируем матрицу: |
X |
|
24 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
9 |
|
|
|
|
12 |
|
|
14 |
||
0 |
24 |
34 |
|
|
|
|
|
1 |
13 |
18 |
|
|
|||
35