- •9)Вычислите .
- •10) Найдите размерность и какой-нибудь базис пространства решений уравнения
- •12) Определите ранг матрицы
- •13) Найдите матрицу X из уравнения
- •14) Является ли система векторов a1=(1,1,1,1), a2=(1,2,3,4), a3=(5,6,7,8), a4=(4,3,2,1), a5=(1,1,-1,-1) линейно зависимой?
- •15) Запишите квадратичную форму, имеющую данную матрицу
- •16) С помощью правила Крамера решите систему уравнений
- •17) Найдите матрицу перехода от базиса e1=(3, 2), e2=(2, 1) к базису e1’=(2, −2), e2’=(−1, 6)
- •20) Найдите размерность и базис линейной оболочки системы столбцов
- •23) Найдите общее решение системы линейных уравнений
- •24) Выясните, являются ли векторы a1=(2, −3, 1), a 2=(3, −1,5), a3=(1, −4, 3) линейно зависимыми.
- •27) Найдите фундаментальную систему решений системы линейных уравнений
- •30) Найдите размерность пространства решений уравнения
- •42) Найдите какие-нибудь матрицы A и В второго порядка, для которых rang (AB)≠rang(BA), или докажите, что таких матриц не существует.
- •43) Является ли линейным пространством множество всех матриц второго порядка (с обычными операциями), у каждого из которых линейно зависимые строки?
- •59) Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве бесконечно дифференцируемых функций.
- •79) Является ли линейным пространством множество всех квадратичных форм с обычными операциями сложения и умножения на вещественные числа?
- •81) Укажите какой-нибудь базис пространства всех симметричных матриц второго порядка.
- •86) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
- •91) Запишите в матричном виде квадратичную форму
- •93) Образует ли линейное пространство множество всех невырожденных матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на вещественные числа?
- •95) Найдите матрицу линейного функционала, который каждой строке чисел из R3 ставит в соответствие сумму этих чисел.
- •101) Всегда ли произведение симметричных матриц является симметричной матрицей?
- •102) Решите матричное уравнение
- •103) Приведите пример матрицы A размера 3х3, у которой все элементы разные и rang(A)=1, или докажите, что такой матрицы не существует.
- •118) Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C(2, 2) и D(1, 5) разделён на три равные части.
- •121) Отрезок с концами в точках А(3, −2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
- •122) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найдите две другие вершины.
- •123) Разложите вектор v(3,−2) по векторам e1(1, 3), e2(2, −1).
- •124) Даны вершины треугольника: А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найдите косинусы углов треугольника.
- •125) Найдите все значения параметра a, при которых точки А(1, а), В(3, 2−а), С(а, −5) лежат на одной прямой.
- •130) Вычислите площадь треугольника ABC с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).
- •131) Вычислите объём тетраэдра с вершинами А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3).
- •135) При каком значении параметра a точки А(1, 2, 3), В(2, -1,5) и С(-1, а, -1) расположены на одной прямой?
- •По следствию 9.10 теоремы 9.19 эти плоскости не являются параллельными. Следовательно, они пересекаются не под прямым углом, поскольку также 1*1+2*0+3*3 отлично от нуля.
- •144) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •145) Нарисуйте параллелепипед и укажите те его диагонали, которые соответствуют векторам a+b-c и a-b+c, если векторы a, b, c соответствуют ребрам этого параллелепипеда.
- •152) Начало координат перенесено в точку (2, 1), а оси координат повернуты на угол 60 градусов. Как в такой системе координат будут записываться координаты прежнего начала координат?
- •165) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех векторов их R3, перпендикулярных вектору {1,2,3}.
- •166) При параллельном переносе точка А(1, 2, 3) переходит в точку А’(3,1,2). В какую точку переходит точка В(2, 3, 1)?
- •189) Укажите какой-нибудь базис в пространства всех квадратичных матриц на R2 (с обычными операциями).
- •194) Образует ли линейное пространство множество всех ступенчатых матриц третьего порядка с обычными операциями?
194) Образует ли линейное пространство множество всех ступенчатых матриц третьего порядка с обычными операциями?
Решение
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
Нет, не образуют. В качетсве примера рассмотрим матрицы |
|
и |
|||||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
.
Данные матрицы являются ступенчатыми по определению ступенчатых матриц (страница
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
16). Однако их сумма - матрица |
|
- не является ступенчатой, поскольку после |
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
первой нулевой строки не следуют нулевые строки. Таким образом, операция суммы элементов пространства не определена на этом пространстве, а, значит, оно не является линейным.
192
195) Найдите все векторы, которые оператор с матрицей
координатами |
4, 8 . |
Решение
1 |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
||
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
переводят в вектор с
По теореме 7.1: |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
8 |
|
|
0 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение выглядит следующим образом:
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
0 |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: x2 |
|
0 |
C |
2 |
|
, C R . |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
~ |
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8 |
|
|
|
0 |
3 |
6 |
8 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
2 |
2x |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
8 |
|
|
|
|
|||
3x |
2 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~
193
196) Среди решений системы линейных уравнений
x |
|
2x |
2 |
2x |
3 |
1 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2x |
|
2x |
|
x |
|
1 |
|||
|
|
2 |
3 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||
найдите те,
которые перпендикулярны вектору (1, 2, 3) относительно обычного скалярного произведения.
Найдём решения СЛУ:
x |
|
2x |
2 |
2x |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
2x |
|
x |
|||
|
|
2 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|||
3 3
Решение
1 |
. Общее решение этой системы выглядит |
|
1 |
||
|
следующим образом:
x |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
2 |
C |
2 |
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
2x
C
|
x |
x |
3 |
|
|
1 |
|
||
2 |
3x |
3 |
||
|
|
|
||
. |
|
|
||
1
.
В матричном виде его можно представить, как
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю по следствию 9.6, то есть векторы-решения СЛУ, перпендикулярные вектору (1, 2, 3) заданы формулой:
1*1 2 * ( |
1 3C |
) 3*1 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
0
, откуда
C
1
. То есть это вектор
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
.
194
197) Найдите базис, в котором линейный оператор с матрицей
диагональную форму.
Решение
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
будет иметь
Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора как корни характеристического многочлена квадратной матрицы (по теореме 7.7):
1 |
2 |
|
0 |
|
0 |
|||
det |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
||||
Собственное значение
В виде системы x1 2
Собственное значение
В виде системы 2x1
|
|
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
0 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
Соответственно, собственный вектор: Y1 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||
|
Соответственно, собственный ветор: Y2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов равно нулю, то есть они перпендикулярны.
195
198) Вычислите обратную матрицу для матрицы |
3 |
|
A |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
основанную на определении обратной матрицы.
Решение
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
. Сделайте проверку,
По определению обратной матрицы (Теорема 4.3), она существует только в том случае, когда определитель обратной матрицы. Проверим для наших значений:
3 4
det 18 20 2 . Следовательно, обратная матрица существует.
5 6
Найдемее. Для этого воспользуемся теоремой 4.5. Запишем:
элементарных гауссовых преобразований приходим к матрице
образом, обратная матрица равна |
1 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|||
3 |
4 |
|
|
1 |
|
||||
5 |
6 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
2 |
|
. С помощью
2 |
|
|
||
|
3 |
|
. Таким |
|
|
||||
|
||||
2 |
|
|||
|
|
|
||
196
199) При каких значениях параметра
вектор
a(5, 3, )
принадлежит линейной оболочке
векторов
b(2,
3, 1)
и
c(3, 4,
2)
?
Решение
Поскольку линейная оболочка, по определению, - множество линейных комбинаций векторов, то вектор а будет принадлежать ей тогда и только тогда, когда сможет стать линейной комбинацией данных векторов, иными словами, когда система этих трех векторов будет линейно зависима. По следствию 5.2 это аналогично условию того, что матрица, строки/столбцы которой образованы векторами, имеет нулевой определитель:
Таким образом, имеем:
5 |
3 |
|
|
|
|
det |
2 |
3 |
|
3 |
4 |
|
||
2
0
. «Раскрыв» определитель, получаем равенство:
30 8 9 9 20 12 0 . Корнем этого уравнения является значение лямбда, равное семи.
197
200) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного
матрицей
1 |
1 |
||
|
|
|
|
A |
0 |
2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
||
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
.
Решение
Найдём корни характеристического многочлена матрицы A (по теореме 7.7):
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
0 |
det |
0 |
|
|||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
Для собственного значения 3
Находим собственный вектор:
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Y1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
~ |
0 |
1 |
1 |
||||
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
x |
|
x |
|
|||
|
2 |
3 |
||||
|
|
|
||||
Аналогично для 2,3 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
~ |
0 |
|
0 |
0 |
|
||
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
0 |
|
|
Y2
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Y3
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
198