135) При каком значении параметра a точки А(1, 2, 3), В(2, -1,5) и С(-1, а, -1) расположены на одной прямой?
Решение
|
|
1 |
2 |
1 |
Три данные точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда: det 2 |
1 |
1 0 . |
||
|
|
1 |
a |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
Раскрывая этот определитель, получаем, что det 2 |
1 |
1 a 8 . Иными словами, точки |
||
1 |
a |
1 |
|
|
будут лежать на одной прямой при а равном 8.
148
136) Найдите косинус угла между плоскостями |
x 3y z 1 0 |
Решение
и
x
z
1
0
.
Поскольку наши плоскости не являются параллельными по следствию 9.10 теоремы 9.19, то угол между ними существует. Известно что, угол между плоскостями вычисляется как угол между перпендикулярами, проведенными к прямой пересечения плоскостями. По следствию 9.9 теоремы 9.15 угол между прямыми может быть найдет как косинус угла
между нормалями cos L1 , L2 cos n1 , n2 n1 , n2 . Таким образом, нам необязательно
n1 
n2 
искать прямую пересечения плоскостей и строить к ней перпендикуляры, а достаточно найти угол между векторами-нормалями. Он будет равен
cos |
n |
, n |
|
|
|
1*1 3* 0 1*1 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
n |
2 |
|
|
1 9 1 |
1 1 |
|
22 |
|
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149
137) Найдите уравнение прямой, проходящей через точки
A(2, 1,
2)
и
B( 3,
2, 1)
.
Решение
Вектор AB имеет координаты (-5, 3, -1). Возьмём вектор, ему параллельный, например (-10, 6, -2). Тогда параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку А, по
x 2 10t
теореме 9.21 будет выглядеть следующим образом: y 1 6t . Заметим, что при t=0,5z 2 2t
мы получаем координаты точки В.
150
138) Запишите уравнение прямой
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
|
2 |
1 |
1 |
|||
|
|
Решение
в параметрическом виде.
|
|
x 1 2y 4 |
, преобразуем: |
|||
Выпишем тройное равенства как два в виде системы: |
2 y z 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2y 5 |
|
|
x 7 2t |
||
|
|
|
|
|
||
|
y 1 z |
. Отсюда можно получить параметрическое уравнение прямой: y 1 t |
||||
|
|
|
|
z 2 |
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
.
151