130) Вычислите площадь треугольника ABC с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).
Решение
Координаты вектора АВ - (1, 2, 3), а ВС - (2, 0, -2). Поскольку треугольник можно рассматривать как половину параллелограмма, образованного его основаниями, то поскольку площадь параллелограмма со сторонами AB и BC по теореме 9.13 и определению векторного произведения равна:
i |
j |
k |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
2 |
4i 6 j 4k 2 j |
8 j 4i 4k |
|
64 16 16 |
96 |
4 |
6 |
, то площадь
треугольника, соответственно, −
2 |
6 |
.
143
131) Вычислите объём тетраэдра с вершинами А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,−3).
Решение
По следствию 9.8 и определению смешанного произведения18 объем треугольной
пирамиды равен: V |
1 |
(a,b, c) . Однако для начала нужно найти векторы-грани тетраэдра, |
|
6 |
|||
|
|
выходящие из одной точки. Координаторы векторов AB, AC и AD соответственно равны
(1, -1, 1), (1, 1, 1), (2, 3, -4). Поскольку
равен 2.
1 |
1 |
(a, b, c) 1 |
1 |
2 |
3 |
1 14
-12, то объем тетраэдра
18 Страница 120
144
132) Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки |
M1 (2, 3, 1) |
, |
M 2 (3, 1, |
M 3 (2, 1, 5) . |
|
|
|
Решение
По теореме 9.20 уравнение плоскости, проходящей через данные точки, задается
4)
,
|
x 2 |
y 3 |
z 1 |
|
формулой |
3 2 |
1 3 |
4 1 |
0 , |
|
2 2 |
1 3 |
5 1 |
|
получаем искомое уравнение: |
x |
|||
то есть
2y z
1
0
9
2
0
y3
2
2
.
z1 3 4
0
. Расписав определитель,
145
133) Пересекаются ли прямые
|
x 3 t |
|
|
|
|
y 1 2t |
||
|
z 4 |
|
|
||
|
||
и
x 2 y z 0
2x y 2z 0
?
Решение
Для того чтобы воспользоваться теоремой 9.23 и понять, пересекаются ли прямые, нужно вторую прямую, заданную в виде системы, привести к каноническому или параметрическому виду. Для этого выразим две переменные, например x и z, через
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
t |
|||||||
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
третью, то есть y. |
|
|
|
или в параметрическом виде: |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
t |
|||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z |
y |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
3 |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для первой прямой: l1 |
2; |
, а для второй - l2 |
|
|
; |
|
|
|
Следовательно, эти |
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
прямые не являются параллельными. Поскольку
3 |
1 |
12
0,75 1,25
4 0 1
6 5 6 1 18
0
, то эти прямые даже не лежат в одной
плоскости, то есть, скрещиваются, а не пересекаются.
146
134) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (3, 5, 1) параллельно прямой
x 2 4t
y 3t
z 3
.
Решение Уравнение множества прямых, проходящих параллельно данной в общем виде задано как
x x |
0 |
4t |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3t |
(по теореме 9.23). |
||
y y |
0 |
|||||
|
z z |
|
|
|||
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
выглядит следующим образом:
Следовательно прямая, проходящая через точку (3, 5, 1)
x 3 4t
y 5 3t
z 1
147