122) Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2, 6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найдите две другие вершины.
Решение
Как известно, диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. То есть координаты точки М соответственно равны полусуммам координат концов диагонали.
|
|
2 cx |
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 c y |
|
||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
Таким образом, по следствию 9.1 теоремы 9.3, можем записать: |
|
|
|
. |
|
|
|
2 d x |
|||
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
8 d y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Откуда координаты точек: С(6; -2), D(2; -4).
135
123) Разложите вектор v(3,−2) по векторам e1(1, 3), e2(2, −1).
|
|
|
|
|
Решение |
Пусть v e1 e2 |
. Тогда в матричном виде система уравнений будет выглядеть |
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
. Путем элементарных преобразований приведем |
|
|
||||
следующим образом: |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
|
, то есть |
1 |
. |
|
матрицу к ступенчатому виду и найдём корни: |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
136
124) Даны вершины треугольника: А(1,1), В(4,1), С(4,5). Найдите косинусы углов треугольника.
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
Для начала найдем стороны-векторы треугольника. |
AB (3, 0) BC (0, 4) AC (3, |
||||||
По следствию 9.7 теоремы 9.10 угол между векторами находится по формуле: |
|||||||
cos a , b |
a, b |
. |
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда: cos A |
3 * 3 0 * 4 |
|
3 |
|
|||
9 |
9 16 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
||||
cos B 0 |
|
|
|
|
|
||
cos C |
0 * 3 4 * 4 |
|
4 |
|
|||
16 |
9 16 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
4)
.
137
125) Найдите все значения параметра a, при которых точки А(1, а), В(3, 2−а), С(а, −5) лежат на одной прямой.
Решение
По следствию 9.9 (пункт 6) три данные точки лежат на одной прямой тогда и только
тогда, когда:
1 |
a |
det 3 |
2 a |
a |
5 |
1 |
|
1 2a |
2 |
|
|
1 |
|
6a 8
0
. То есть при а равном
4 или -1.
138
126) Найдите длину высоты BD в
ABC
, где А(-3, 0), В(2, 5), С(3, 2).
Решение
Поскольку высота перпендикулярна основанию АС, то ее длину можно найти как расстояние от точки В до прямой АС. Но для начала, найдём саму прямую. Пункт 5 следствия 9.9 предлагает следующую формулу для нахождения уравнения нашей прямой:
x |
y |
1 |
det 3 |
0 |
1 6 3y 2x 3y 0 , то есть |
x 3y 3
0
.
3 2 1
По теореме 9.17 длина высоты будет равна
|
ax |
0 |
by |
0 |
c |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
b |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
||
1* 2 3* 5 3 
1 9
|
10 |
.
139
127) Оси координат повернуты на угол 60 |
|
. Координаты точки |
A( |
3, 1) |
определены в |
|
|
|
|
|
новой системе. Вычислите координаты это же точки в старой системе координат.
Решение
По теореме 9.18 старые координаты точки можно найти из следующего матричного
уравнения:
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
||
|
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
y |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
2 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
.
140
128) Найдите точку, симметричную точке А(1, 2) относительно прямой
Решение
3x
y 9
0
.
Для того, чтобы найти точку параллельную точке А (назовём ее В) можно найти уравнение прямой, перпендикулярной данной, и признать точку их пересечения серединой отрезка AB. Тогда вычислить координаты точки В можно по теореме 9.3.
Множество прямых, перпендикулярных данной, задается уравнением x 3y c 0 по
следствию 9.9 теоремы 9.15. Прямая, проходящая через точку А - |
x 3y 7 0 . Точка |
|||||||||
пересечения этой прямой с данной по условию - C( 2, 3) |
. Таким образом, координаты |
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
B |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||
точки, симметричной А, можно найти из системы: |
|
|
|
|
|
, откуда: B( 5; 4) . |
||||
|
|
|
|
B |
|
|||||
|
y |
|
2 |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
141
129) Найдите центр и радиус круга, описанного около треугольника ABC с вершинами
A(2,
2)
,
B( 5, 1)
,
C(3, 5)
.
Решение
Пусть D(х,у) - центр описанной окружности. Тогда эта точка равноудалена от A, В и С, то есть DC=DB=DA. Откуда: DA2=DB2, DA2=DB2. Запишем в виде системы:
(x 2) |
2 |
( y 2) |
2 |
(x 5) |
2 |
( y 1) |
|
|
|
||||
|
2 |
( y 2)2 |
(x 3)2 |
( y 5) |
||
(x 2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 2
.
Отсюда находим координаты центра окружности: (-1; -2).
142