118) Определите координаты концов A и B отрезка, который точками C(2, 2) и D(1, 5) разделён на три равные части.
Решение
При решении (ах, ау), а точки
|
|
|
2 |
a |
|
|
1 |
b |
|
||
|
|
|
3 |
x |
3 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
|
|
1 |
b |
|
||
|
|
|
3 |
y |
3 |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
||
|
|
|
x |
|
x |
||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|||
|
|
|
y |
|
y |
||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
задачи воспользуемся теоремой 9.3. Пусть координаты точки А равны В - (bx, by). Тогда можем записать систему:
6 2a |
x |
b |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
2a y |
by |
|
||||||
|
. Таким образом, координаты точек: А(3;-1), В(0;8). |
||||||||
|
3 |
a |
|
|
2b |
|
|
||
|
x |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
|
2b |
|
|
||
15 |
y |
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
131
|
x y z 1 0 |
|
119) Составьте каноническое уравнение прямой |
5y 2z 11 |
|
x |
||
Решение |
|
|
x y 3 0 |
. |
|
Выразим икс через две другие переменные: |
z 0 |
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, каноническое уравнение прямой (по определению,
выглядит так: |
x |
|
z 2 |
|
y 3 |
. |
|
1 |
2 |
1 |
|||||
|
|
|
|
. 0
страница 127)
132
120) Найдите угол между прямыми
L |
: |
|
x 3t |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
y 1 2t |
|
и |
L2 |
:
x 1 2t |
|
|
3t |
y 5 |
|
.
Решение
Пункт 3 следствия 9.9 теоремы 9.15 говорит о том, что угол между прямыми может быть
рассчитан как
cos L |
|
cos n |
|
|
|
n |
, n |
2 |
||
, L |
, n |
|
1 |
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
1 |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, то есть как угол между нормалями
прямых. Однако в нашем случае неудобно переходить к углу между перпендикулярами, гораздо проще найти угол между векторами, параллельными данным прямым. По теореме
9.16 эти вектора |
P1 (3; 2) |
и |
P2 |
нулю, то угол между ними, а,
( 2; 3) . Поскольку скалярное произведение векторов равно |
соответственно, и угол между прямыми L1 и L2 равен нулю. |
133
121) Отрезок с концами в точках А(3, −2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.
Решение
По аналогии с задачей 118 составляем систему, обозначив координаты концов отрезка, точек С и D, соответствующими маленькими буквами с индексами x и y:
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||
|
cx |
|
|
|
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
( 1) |
1 |
4 |
|||
|
|
|
|
3 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
c |
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
2 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
d |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
x |
|
2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
( 2) |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
d |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
y |
|
|
2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. Таким образом, координаты точек: C(4; 0), В(5; 2).
134