101) Всегда ли произведение симметричных матриц является симметричной матрицей?
Решение
Нет. Пример:
0 |
1 3 |
4 |
4 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
5 |
|
|
14 |
|
|
|
|
11 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
114
102) Решите матричное уравнение
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
4 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||
Решение Подробное решение похожего номера можно посмотреть к задаче №22.
Для начала с помощью элементарных преобразований необходимо найти обратную
матрицу к матрице |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдя обратную матрицу, получаем: |
|
|||||||||||
3 |
1 1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
1 |
|
5 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
115
103) Приведите пример матрицы A размера 3х3, у которой все элементы разные и rang(A)=1, или докажите, что такой матрицы не существует.
Решение
Существует:
1 |
2 |
3 |
||
|
4 |
8 |
12 |
|
|
|
|||
|
5 |
10 |
15 |
|
|
|
|||
Как видим, все элементы этой матрицы разные. В то же время, поскольку вторая и третья строки матрицы кратны первой, то есть могут быть получены из нее с помощью
|
1 |
2 |
3 |
||
преобразований Гаусса, то можем записать, что |
|
4 |
8 |
12 |
|
|
|
||||
|
|
5 |
10 |
15 |
|
|
|
|
|||
Ранг этой матрицы равен единице по определению ранга.
1 |
|
|
0 |
~ |
|
|
0 |
|
|
2 |
3 |
|
0 |
0 |
|
|
||
0 |
0 |
|
|
||
116
104) Найдите какой-нибудь базис в пространстве всех симметричных матриц второго
порядка (с обычными операциями) и вычислите координаты A=
этого базиса.
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
относительно
Решение
Базис в пространстве всех симметричных матриц второго порядка может быть, например,
таким : h1
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
, h2
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
, h3
0 |
|
|
0 |
|
|
. Очевидно, что матрицу А можно представить
как следующую линейную комбинацию базиса: A=h1+2h2+3h3. (К аналогичному выводу можно прийти, записав матрицы базиса в виде столбцов и решив матричное уравнение).
117
105) Составьте уравнение высоты треугольника ABC, проведенной из вершины С, где
A(0,1) , B(6,5) , C(12, 1) .
Решение
Высота треугольника перпендикулярна его основанию, поэтому необходимо найти прямую, проходящую перпендикулярно прямой AB через вершину C.
Для начала найдём уравнение прямой, проходящей через точки A и B, которая задается
формулой:
x |
y |
0 |
1 |
6 |
5 |
1 1 1
0
(По следствию 9.9 теоремы 9.15 - пункт 5).
Найдя определитель матрицы, получаем уравнение прямой: |
2x |
Множество прямых, перпендикулярных ей, задается уравнением:
3y 3 0 3x 2 y c 0
(По следствию 9.9 теоремы 9.15 - пункт 1). В частности, необходимая нам прямая - та, что проходит через точку С задается уравнением 3x 2y 34 0 .
118
106) Найдите длину вершинами A(3, 1,5) ,
медианы, проведенной из вершины А, в треугольнике ABC с B(4,2, 5) , C( 4,0,3)
Решение
Найдем координаты точки пересечения медианы с основанием BC. Поскольку, по свойствам медианы (следствие 9.2), она делит сторону в отношении 1:1, то есть пополам, точка пересечения будет серединой отрезка BC, то есть ее координаты вычисляются
следующим образом:
( |
4 4 |
, |
2 0 |
, |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
5
2
3 |
) |
|
, то есть равны (0, 1, 1) .
Таким образом, длина медианы равна теоремы 9.5).
(3 0) |
2 |
(1 1) |
2 |
(5 1) |
2 |
|
|
|
5
(следствие 9.3
119
107) В какой точке
плоскость |
x 2y |
прямая, проходящая через точки z 8 0 ?
A( 1, 3,1)
,
B(2,1, 4)
пересекает
Решение
В точке В, поскольку она принадлежит плоскости!
120
108) Напишите уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые
x 3 |
|
y |
|
z 1 |
|
2 |
1 |
2 |
|||
|
|
и
x 1 |
|
|
2 |
||
|
y 1 |
|
|
1 |
||
|
z 2
.
Решение
Для того, чтобы построить плоскость, содержащую 2 параллельные прямые, можно взять две точки одной и прямой и точку другой прямой и они образуют искомую плоскость, поскольку не лежат на одной прямой. Возьмем точки А(3,0,1) и B(5,1,3), которые принадлежат первой прямой, но не лежат на второй, и точку С(-1,1,0), не лежащую на
первой прямой, но принадлежащей второй. По теореме 9.20 имеем:
|
x 3 |
y |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда: |
4 |
1 |
1 |
|
|
0 . |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
y |
z 1 |
|
1 3 |
1 |
1 |
0 |
5 3 |
1 |
3 1 |
|
Раскладывая определитель, получаем уравнение плоскости:
3x 6z 6 y 3 0
121
109) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
x 2 y z 4 |
. |
|
|
2x y z 0 |
|
A( 4,3,0)
параллельно прямой
Решение
Выразим переменные из системы таким образом, чтобы получить уравнение прямой в
|
y 3x 4 |
. Отсюда получаем: |
y 4 |
|
z 4 |
|
x |
- уравнение |
каноническом виде. Имеем: |
z 5x 4 |
3 |
5 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой, записанное в каноническом виде.
По теореме 9.23 параллельная ей прямая в общем виде выглядит следующим образом:
y y |
0 |
|
z z |
0 |
|
x x |
0 |
. Поскольку эта прямая проходит через точку С, просто подставим |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
5 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ее в координаты в уравнение и получим ответ: |
y 3 |
|
z |
|
x 4 |
. |
|||||||||
3 |
5 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
122
110) Определите взаимное расположение прямой
3x 3y 2z 5 0 .
Решение
Прямая и плоскость параллельны по теореме 9.22,
x 1 |
|
y 3 |
|
2 |
4 |
||
|
поскольку 3
*
z |
и плоскости |
|
3 |
||
|
2 3* 4 2*3
0
.
123
111) Найдите проекцию точки
A(3, 5,7)
на плоскость
x y z 0
Решение
Проекцией точки на плоскость является точка пересечения плоскости с перпендикуляром, опущенным на нее из точки. Таким образом, прежде всего, необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости. А затем - координаты точки пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.
Итак, по теореме 9.22 уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей
через точку А, выглядит следующим образом: |
x 3 |
|
y 5 |
|
z |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
нулевых координат взяты координаты точки А. Таким образом,
плоскости y 2 x и z 4 x , получаем, что |
x x 2 x 4 |
координаты проекции точки А равны: ( 2, 0, 2) . |
|
7 |
, где в качестве |
|
1 |
|
|
|
|
|
подставляя в уравнение |
||
0 |
, то есть x 2 |
, откуда |
124
112) Найдите проекцию точки
A(1,2)
на прямую
3x y 9 0
Решение
По рассуждениям, аналогичным предыдущей задаче, находим прямую, перпендикулярную данной. Множество перпендикулярных прямых задано уравнением
x 3y c 0 (по следствию 9.9 теоремы 9.15). Поскольку прямая проходит через точку |
|||
А, то, подставляя ее координаты в уравнение, находим c 5 . |
|||
Координаты точки пересечения двух |
прямых, то есть проекция точки находятся из |
||
x 3y 5 0 |
x 11/ 4 |
|
|
уравнения |
и равны |
|
. |
3x y 9 0 |
|
y 3 / 4 |
|
125
113) Докажите, что четырехугольник с вершинами
D(4,7, 2) |
является квадратом. |
Решение
A( 3,5,6)
,
B(1, 5,7)
,
C(8, 3, 1)
,
Координаты вектора (по определению со стр.111) равны: |
AB |
Таким образом, по теореме 9.5 эти векторы равны. параллелограмм по замечанию 9.2.
(4, 10,1) , CD (4, 10,1) .
Более того, они задают
Координаты
вектора AD равны:
AD
(7,
2,
8)
. Его длина по следствию 9.3 равна
16 100
смежные
1 |
117 |
. Аналогично, длина AB равна |
стороны параллелограмма равны, это ромб.
49 4 64
|
117 |
. Поскольку
Наконец, векторное произведение 
AB, AD
28 20 8 0 , то есть эти векторы
перпендикулярны по следствию 9.6 теоремы 9.10. Таки образом, имеем квадрат ABCD, что и требовалось доказать.
126
114) Найдите координаты точки пересечения плоскостей 2x y 3z 9 0 |
, |
|||
x 2 y 2z 3 0 , |
3x y 4z 6 0 . |
|
||
|
|
|
Решение |
|
2x y 3z 9 0 |
|
|
||
|
2 y 2z 3 |
0 |
. В матричном виде она выглядит следующим |
|
Решим систему: x |
||||
|
|
0 |
|
|
3x y 4z 6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
образом:
2 |
1 |
3 |
||
|
1 |
2 |
2 |
|
|
||||
|
3 |
1 |
4 |
|
|
||||
|
|
|
||
9 |
|
|
3 |
|
|
|
||
6 |
|
|
|
||
|
. Путём элементарных преобразований приводим ее к
диагональному виду:
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
|||
1
, то есть координаты точки пересечения:
x 1
y 1
z 2
.
127
115) Приведите прямую к каноническому виду:
2x 3y 3z 9 0 |
||
|
4x 2y z 8 |
0 |
|
||
.
Для того чтобы привести прямую к переменные через третью, то есть:
|
Решение |
|
каноническому виду, достаточно выразить две |
||
4y 5z 10 0 |
. Отсюда выражаем z и получаем |
|
|
8x 3z 6 0 |
|
|
|
|
каноническое уравнение прямой:
8x 6 |
|
10 4 y |
|
3 |
5 |
||
|
z
.
128
116) Даны три последовательные вершины параллелограмма Определите координаты четвёртой вершины.
A(11,
4)
,
B( 1, 1)
,
C(5,
7)
.
Решение
Координаты вектора AB координаты вектора CD
(12, 5)
должны
. В соответствии с замечанием 9.2 и теоремой 9.5 быть такими же. Таким образом, точка D: (17, 12).
129
117) Найдите расстояние между параллельными плоскостями
6x 3y 2z 9 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
Расстояние между параллельными плоскостями |
ax by cz |
|||||||||
равно: |
|
d |
1 |
d |
2 |
, то есть |
14 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
b |
|
c |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6x 3
d |
1 |
0 |
|
|
y
и
2z 5
ax by
0
cz
и
d |
2 |
0 |
|
|
130