95) Найдите матрицу линейного функционала, который каждой строке чисел из R3 ставит в соответствие сумму этих чисел.
Решение
Матрица линейного функционала будет выглядеть так:
A |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
А сам
(x)
линейный функционал будет переводить строки чисел по следующей формуле:
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
A x2 |
|
(по теореме 8.1) |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
108
2 |
4x2 |
2 |
и 4x1 |
2 |
x2 |
2 |
|
96) Могут ли формулы x1 |
|
|
|
квадратичной формы для разных базисов?
быть формулами одной и той же
Решение
Нет, поскольку, согласно теореме 8.8, количество положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в записи квадратичной формы не зависит от выбора базиса. А в нашем случае, количество положительных и отрицательных знаков в первом случае − по одному, а во втором, соответственно, 2 и 0.
109
97) Может ли матрица
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
быть матрицей перехода от одного ортонормированного
базиса к другому ортонормированному базису?
Решение
Нет, поскольку матрица не является ортогональной, то согласно теореме 10.6 она не может служить матрицей перехода к ортонормированному базису.
110
1 |
2 |
1 |
|||
98) Могут ли матрицы |
|
|
|
и |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
элементарных преобразований?
быть получены одна из другой в результате
Решение
Нет, поскольку ранг первой матрицы равен двум, а второй матрицы - единице, то по теореме 5.1 одна матрица не может быть получена из другой в результате элементарных преобразований.
111
99) Определите размерность множества значений линейного оператора с матрицей
1 |
2 |
|
|
4 |
5 |
|
||
|
7 |
8 |
|
||
3 |
|
6 |
|
|
|
9 |
|
|
|
.
Решение
Поскольку определитель матрицы равен 0, но можно выделить невырожденный минор второго порядка, то ранг матрицы равен двум. Следовательно, dim Im A rangA 2 (по теореме 7.3)
112
100) Найдите какую-нибудь матрицу линейного функционала, который
|
1 |
многочлену р(х) не выше второй степени ставит в соответствие число |
|
|
|
|
0 |
Решение
каждому p(x)dx .
Возьмём в качестве базиса линейного функционала пространства многочленов не выше второй степени многочлены: 1, x, x2
Их отображение будет выглядеть следующим образом:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx x |
1 |
1 |
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xdx |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда матрица линейного функционала в соответствии с теоремой 7.1:
A |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
113