91) Запишите в матричном виде квадратичную форму
Q(X ) 6x |
2 |
4x x |
|
4x x |
5x |
2 |
7x |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
1 |
|
1 |
1 |
3 |
2 |
|
3 |
|
|
Решение
В соответствии с определением матрицы квадратичной формы:
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
2 |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Q(x) x |
x |
2 |
x |
3 |
|
2 |
5 |
0 |
|
x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||||
104
92) Является ли положительно определенной билинейная форма
B( X ,Y ) 25x y |
7x y |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
7x |
2 |
y |
|
1 |
2x |
2 |
y |
2 |
|
|
?
Решение
Запишем билинейную форму в матричном виде и найдём определитель ее матрицы:
25 |
7 |
|
50 49 1 |
|
det |
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
||
Таким образом, определители миноров первого и второго порядков матрицы билинейной
формы положительны: |
|
1 |
25 0 |
да, является |
|
|
|||
|
|
1 0 |
||
|
2 |
|
||
|
|
|
|
(по критерию Сильвестра положительно определенности симметричной билинейной формы)
105
93) Образует ли линейное пространство множество всех невырожденных матриц второго порядка с обычными операциями сложения матриц и умножения матриц на вещественные числа?
Решение
Нет, поскольку нарушается определение линейного пространства16: операция сложения не определена на пространстве невырожденных матриц.
Проиллюстрируем на примере:
А их сумма
A
1 A 0
0 B 1
1B 1
1 1
det(A) ≠0
det(B) ≠0
det(A+B) =0 − вырожденная матрица.
16 Страница 35.
106
94) Останется ли множество Rnb1 , . . . ,bn считать строку a1b1 ,
линейным пространством, если суммой строк
. . . , an bn ?
Решение
a |
, . . . , a |
n |
|
1 |
|
|
и
Нет. Множество можно считать линейным пространством, только если выполнены 8
условий, ему присущих17. В нашем случае эти |
условия нарушаются. Например, это |
наглядно иллюстрируется на примере условия 3: |
сумма строки a1 , . . . , an и нулевой |
строки даст нулевую строку, а не a1 , . . . , an |
если результатом сложения считать |
a1b1 , . . . , an bn . |
|
17 Страница 35
107