2.3.3 Использование критериев согласия при идентификации формы распределения результатов измерения

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения обычно рекомендуется использование так называемых критериев согласия.

Критерии согласия позволяют оценить вероятность того, что полученная выборка не противоречит сделанному предположению о виде закона распределения рассматриваемой случайной величины. Для этого выбирается некоторая величина u, являющаяся мерой расхождения статистического и теоретического законов распределения, и определяется такое ее значение u_, чтобы P(uu_) =, где  - достаточно малая величина (уровень значимости), значение которой устанавливается в соответствии с существом задачи. Если значение меры расхождения u_q полученное на опыте, больше u_, то отклонение от теоретического закона распределения считается значимым и предположение о виде закона распределения должно быть отвергнуто. Если значение u_q u_, то отклонение считается не значимым, то есть данные опыта не противоречат сделанному предположению о виде закона распределения.

В различных критериях согласия в качестве меры расхождения статистического и теоретического законов распределения принимаются различные величины.

В критерии согласия К. Пирсона (критерий ²) за меру расхождения принимается величина ², опытное (расчетное) значение ²_q, которое определяется оп формуле 2.18:

(2.18)

где m – число сравниваемых частот;

N_i – частота (количество отсчетов, попавших в i-ый интервал);

n – количество отсчетов в исходном массиве результатов измерений;

Р_i – вероятность попадания случайной величины х в i-ый интервал.

При n закон распределения ²_q независимо от вида закона распределения случайной величины х стремится к закону ² – распределения с k=m-r-1 степеней свободы, где r - число параметров теоретического закона распределения, вычисляемых по данной выборке (r=2 для нормального и равномерного распределения).

Проверим гипотезу о принадлежности результатов измерения к равномерному распределения по критерию К. Пирсона.

Так как рассматриваемый первый вид распределения трапецеидальный, то формулa для подсчета критерия P_i будет равно рассчитанной ранее величине Р_теор(х)*Δх. В таблице 2.6 приведены некоторые необходимые расчеты.

Таблица 2.6 – Данные для расчета критерия К. Пирсона (трапецеидальный ЗРВ)

№ ин-тервала	Частота, Ni	Pi= Ртеор(х)*Δх	(Ni - nPi)2/ nPi
1.	3	0,08	0,32
2.	1	0,25	5,22
3.	9	0,33	0,03
Продолжение таблицы 2.6
4.	11	0,33	0,21
5.	11	0,33	0,21
6.	8	0,25	0,12
7.	5	0,08	3,69

Теперь полученные значения в пятом столбце таблицы 2.6 суммируем

(2.19)

Полученное рассчитанное значение ²_q сравниваем с табличным при k=5 и P=0,95, которое равно ²=11,07. ²_q <², значит принимается гипотеза о том, что результат измерения подчиняется трапецеидальному закону распределения.

Аналогично проверяется гипотеза о треугольном законе распределении величин.

Таблица 2.7 – Данные для расчета критерия К. Пирсона (треугольный ЗРВ)

№ ин-тервала	Частота, Ni	Pi= Ртеор(х)*Δх	(Ni - nPi)2/ nPi
1	2	0,08	0,17
1.	2	0,25	1,43
2.	3	0,33	2,80
3.	14	0,33	0,33
4.	8	0,33	0,50
5.	7	0,25	0,01
6.	7	0,08	1,94
7.	5	0,08	13,83

Теперь полученные значения в пятом столбце таблицы 2.7 суммируем.

(2.19)

Полученное рассчитанное значение ²_q сравниваем с табличным при k=6 и P=0,95, которое равно ²=12,59. ²_q >², значит принимается гипотеза о том, что результат измерения не подчиняется треугольному закону распределения.

Таким образом, определившись с трапецеидальным законом распределения величин и построив аппроксимирующей функции плотности, мы имеем возможность пересчитать среднеквадратическое отклонение (СКО) :

, (2.20)

S_x=