2.3.2 Аппроксимация гистограммы и полигона распределения аналитической функцией плотности вероятности

Случайная величина не имеет более полного описания, чем аналитическая кривая плотности распределения. Поэтому идентификация формы распределения сводится к выбору аналитической модели, которая не противоречит данной выборке экспериментальных данных.

В первом случае предполагаем, что функция плотности распределения вероятности близка к трапецеидальному закону распределения. Значение экспериментальной плотности вероятности Р_экс(х) попадания отсчетов в m интервал в зависимости от х определяются величиной. Полученные результаты относят к середине интервала.

Значения теоретической плотности распределения вероятности Р_теор(х) получаются по теоретической зависимости ,которая должна быть близка по форме к экспериментально полученному полигону и описывается аппроксимирующим аналитическим выражением. Представим аналитическое выражение аппроксимирующей функции по трапецеидальному ЗРВ в виде, представленном в функции 2.16.

(2.16)

Параметр а определим как среднее арифметическое экспериментального полигона распределения вероятности в серединах интервалов. Эта величина приблизительно равна а=2,1.

Параметр b определим как половину суммарной ширины трёх центральных интервалов, составляющих вершину трапеции. Эта величина приблизительно равна а=0,91.

Параметр W_ц определим как среднее значение трёх центральных интервалов, составляющих вершину трапеции. Эта величина приблизительно равна W_ц =75,43.

Проверку правильности расчетов целесообразно провести исходя их двух условий:

1. среднее арифметическое значение экспериментальной и аппроксимирующей кривых должны быть равны.

2. площадь под аппроксимирующей кривой должна быть близка к единице.

Значение теоретической и экспериментальной плотности распределения вероятности записаны в таблице 2.4 и представлены на рисунке 2.5.

Таблица 2.4 - Значение теоретической и экспериментальной плотности распределения вероятности

№ ин-тервала	Середина интервала хi	Экспериментальная плотность распределения вероятности Рэкс(х)	Теоретическая плотность распределения вероятности Ртеор(х)		Ртеор(х)*Δх
1.	73,6	0,10	0,08		0,05
2.	74,21	0,03	0,25		0,15
3.	74,82	0,31	0,33		0,20
4.	75,43	0,38	0,33		0,20
5.	76,04	0,38	0,33		0,20
6.	76,65	0,28	0,25		0,15
7.	77,26	0,17	0,08		0,05
Площадь под аппроксимирующей кривой.				Σ		0,98

Рисунок 2.5 - Значение теоретической и экспериментальной плотности распределения вероятности

Таким образом, первое и второе условие выполняются, следовательно, в качестве аппроксимирующей функции можно принять рассмотренное аналитическое выражение.

Во втором случае предполагаем, что функция плотности распределения вероятности близка к треугольному закону распределения. Значение экспериментальной плотности вероятности Р_экс(х) попадания отсчетов в m интервал в зависимости от х определяются величиной. Полученные результаты относят к середине интервала.

Значения теоретической плотности распределения вероятности Р_теор(х) получаются по теоретической зависимости ,которая должна быть близка по форме к экспериментально полученному полигону и описывается аппроксимирующим аналитическим выражением. Представим аналитическое выражение аппроксимирующей функции по трапецеидальному ЗРВ в следующем виде:

(2.17)

Параметр а определим как минимальное значение массива эксперементальных данных, а=73,3.

Параметр b определим как максимальное значение. Эта величина равна b=77,5.

Значение теоретической и экспериментальной плотности распределения вероятности записаны в таблице 4 и представлены на рисунке 2.6.

Таблица 2.5 - Значение теоретической и экспериментальной плотности распределения вероятности

№ ин-тервала		Середина интервала хi	Экспериментальная плотность распределения вероятности Рэкс(х)	Теор. плотность распределения вероятности Ртеор(х)		Ртеор(х)*Δх
1.		73,56	0,08	0,06		0,03
2.		74,10	0,08	0,18		0,09
3.		74,63	0,12	0,30		0,16
4.		75,17	0,56	0,48		0,25
5.		75,70	0,32	0,41		0,21
6.		76,24	0,28	0,29		0,15
7.		76,77	0,28	0,16		0,09
8.	77,31		0,20	0,04		0,02
Площадь под аппроксимирующей кривой.					Σ		1,01

Рисунок 2.6 - Значение теоретической и экспериментальной плотности распределения вероятности

Таким образом, первое и второе условие выполняются, следовательно, в качестве аппроксимирующей функции можно принять рассмотренное аналитическое выражение.