Лабораторная работа 2

Лабораторная работа № 2. Принцип максимума Понтрягина

Цель работы: изучение свойств оптимальной по быстродействию системы, синтезированной на основе принципа максимума методом

Понтрягина.

2.1. Теоретические сведения

Во многих прикладных задачах на управление накладывается ограничение типа неравенства. Часто оптимальное управление в таких задачах имеет разрыв. Метод множителей Лагранжа не позволяет определить число и местоположения точек разрыва, и поэтому в этих случаях он не эффективен. Такие задачи легче решаются с помощью принципа максимума Понтрягина.

Задача с закрепленными концами и фиксированным временем.

При отсутствии фазового ограничения задачу оптимального управления с закрепленными концами и фиксированным временем в общем виде можно сформулировать как следующую задачу Лагранжа:

Функции fi (i = 0, 1, …, n) непрерывны по совокупности переменных xi,…,xn, u1,...,ui, t и непрерывно дифференцируемы по xi,…,xn t. Эта задача отличается от задачи оптимального управления классического типа тем, что

1

ограничение задается на управление в виде включения u U , где U –

допустимое множество значений управления. Кроме того, здесь не требуется гладкость (непрерывная дифференцируемость) функций fi (i = 0, 1, …, n) по u.

В данной задаче допустимыми управлениями считаются управления u(t), принадлежащие к классу кусочно-непрерывных функций и принимающие значения из допустимого множества U. Фазовая траектория x(t) называется допустимой, если она является кусочно-гладкой. При допустимом управлении фазовая траектория задачи (2.1) является кусочно-

гладкой: координаты xi(t) (t = 1, 2, ..., n) непрерывны всюду на интервале

[t0,tf], их производные могут иметь разрывы 1-го рода в точках разрыва

~ удовлетворяет уравнениям объекта и краевым условиям этой задачи. u u (t)

Рассмотрим функцию

i 0

которую также называют функцией Гамильтона или гамильтонианом. Но она отличается от одноименной функции классического вариационного исчисления тем, что в них не входит ограничение на управление, имеющее в данном случае вид включения u U . В конкретных задачах ограничение на управление может быть задано в виде неравенства или равенства.

Гамильтониан (2.2), который не включает ограничение на управление, в

отличие от гамильтониана, включающего ограничение на управление,

называют также функцией Понтрягина.

Уравнения

H , i = 1, 2, …, n (2.3а)

называются сопряженной системой.

Принцип максимума при закрепленных концах и фиксированном

времени. Для того чтобы допустимая для задачи (2.1) пара (x*(t), u*(t)) была ее решением, необходимо, чтобы существовали такие не обращающиеся

Задача с подвижными концами и нефиксированным временем.

Рассмотрим задачу Больца

Принцип максимума при подвижных концах и нефиксированном времени.

Для того чтобы допустимая для задачи (2.4) пара (x*(t), u*(t) была ее решением, необходимо:

1.существование таких не обращающиеся одновременно в нуль

выполняется соотношение (2.3б);

3

2. выполнение условия трансверсальности

Решение. Запишем функцию Понтрягина и сопряженные уравнения.

Решив сопряженные уравнения и учитывая условия трансверсальности,

находим

принимает граничные значения и его знак совпадает со знаком функции 2 .

т.е. при u a sign 2 Так как знак линейной функции может измениться

4

только один раз, то оптимальным может быть управление

где t1 – момент изменения знака функции 2 . В частности, если t1 = 10, то это значит, что функция 2 на интервале [0,10] не меняет знак и управление не переключается. Выбор из двух управлений можно сделать исходя из того,

какое из этих управлений обеспечивает выполнение граничных условий. Но в данном примере этот выбор можно сделать на основании физических соображений. По условию задачи нужно повернуть вал двигателя на максимальный угол и остановить за заданное время. Поэтому оптимальным может быть только первое из двух приведенных управлений. Остается определить только момент t1 переключения управления.

Проинтегрируем уравнения объекта при первом управлении с учетом начальных условий:

x2 (10) a(2t1 10) 0 . Откуда для момента переключения находим t1 = 5.

Таким образом, оптимальное управление имеет вид

Задача максимального быстродействия. Теорема об n интервалах.

Рассмотрим задачу максимального быстродействия, когда объект является линейным:

Эта задача называется линейной задачей максимального быстродействия. В векторной форме уравнения объекта принимают вид

x Ax Bu.

Предполагается, что эти уравнения являются уравнениями в отклонениях, и

поэтому конечное состояние, в которое нужно перевести объект, есть начало координат (х(tf) = 0).

Функция Понтрягина имеет вид

где T ( 1 2 ... n ) подчиняется сопряженному уравнению

T H .x

Согласно принципу максимума, оптимальное управление определяется из

условия

6

или

где

U {u : j u j j , j 1,2,...,r}.

n

Если выполняется так называемое условие нормальности, то сумма bij i

i 1

обращается в нуль только в изолированных точках. В этом случае из

последнего тождества следует, что координаты u*j ( j 1,2,...,r) оптимального управления u*(t) кусочно-постоянны и принимают крайние значения j , или

j :

i 1

Для линейных задач максимального быстродействия при выполнении так называемого условия нормальности принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Для определения этого понятия введем в рассмотрение ( n n) - матрицы

7

N[ j] [B j ( AB) j ...(An 1B) j ],

выполнено условие нормальности или условие общности положения, если матрицы N[j] не вырождены: det N[ j] 0 (j = 1,2,..,r).

Очевидно, в случае скалярного управления условие нормальности совпадает с условием управляемости. Объект, для которой выполнено условие нормальности, называют нормальным объектом или нормальной управляемой системой.

Пример 2.2. Определить, выполнено ли условие нормальности для

объекта

x1 x2 u1, x2 u1 u2 .

Решение. В данном примере имеем

и обе они не вырождены. Следовательно, условие нормальности выполняется.

Необходимое и достаточное условие оптимальности. Если в линейной задаче максимального быстродействия объект является нормальным, то для того чтобы пара (u*(t), х*(t)) была ее решением,

необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла принципу максимума.

8

В оптимальном по быстродействию управлении линейным объектом функции u*j (t) принимают только граничные значения при любых собственных значениях матрицы А, если объект является нормальным. В

общем случае эти функции имеют произвольное число переключений – точек перехода из одного граничного значения на другое. В частном случае справедлива следующая теорема.

Теорема об n интервалах. Если в линейной задаче максимального быстродействия объект является нормальным и характеристическое уравнение

det(A Is) 0

имеет только действительные корни, то компоненты оптимального управления u*j (t) (j = 1,2, ..., r) кусочно-постоянны, принимают только граничные значения и имеют не более n интервалов постоянства, или не более n – 1 переключений.

2.2. Порядок выполнения работы

2.2.1Определить оптимальное программное управление и оптимальные траектории в задачах максимального быстродействия в соответствии с вариантом. В ходе решения задачи определить:

выполнение условия нормальности для объекта управления,

количество интервалов постоянства.

2.2.2Собрать схему оптимальной системы программного

управления.

2.2.3Построить графики переходных процессов по переменным состояния и управляющему воздействию и фазовый портрет системы.

2.2.4По графику x1(t) определить время переходного процесса.

9

2.3. Содержание отчета

2.3.1Цель работы.

2.3.2Исходные данные для выполнения работы, модель системы,

структурная схема.

2.3.3Расчет оптимального программного управления и оптимальных программных траекторий движения системы.

2.3.4Фазовый портрет и временные характеристики.

2.3.5Выводы по работе.

10