Лабораторная работа№1. Метод множителей Лагранжа

(методы классическоговариационногоисчисления)

Цель работы: изучение свойств оптимальной системы, синтезированной методом множителей Лагранжа.

1.1. Теоретические сведения

Правило множителей Лагранжа для задач оптимального управления с закрепленными концами и фиксированным временем. Если концы закреплены и время фиксировано, то задачу оптимального управления классического типа можно сформулировать как следующую задачу Лагранжа классического вариационного исчисления:

(k = 1, 2, …, l) являются непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам, управление u(t) принадлежит классу кусочно-непрерывных функций, а траектории x(t) — классу кусочно-гладких функций.

Функция u(t) называется кусочно-непрерывной на интервале [t0, tf], если она (т.е. каждая его координата) непрерывна всюду на интервале [t0, tf], за исключением конечного числа точек, где она имеет разрыв первого рода (существуют конечные пределы слева и справа). Функция x(t) называется кусочно-гладкой на интервале [t0, tf] если на [t0, tf] она сама непрерывна, а ее производная кусочно-непрерывна.

1

Управление u(t) из класса кусочно-непрерывных функций называют допустимым управлением, а траекторию x(t) из класса кусочно-гладких

функций ‒ допустимой траекторией. Пару (u(t), x(t)) называют допустимой,

если допустимыми являются u(t) и x(t). В каждой конкретной задаче на допустимые управления и траектории могут быть наложены дополнительные ограничения. Поэтому при рассмотрении определенного класса задач эти понятия могут уточняться.

Функция

называются уравнением Эйлера-Лагранжа. Уравнения (1.2а) представляют собой условие экстремума гамильтониана при каждом фиксированном t [t0 ,t j ], и их называют условием стационарности.

Правило множителей Лагранжа закрепленными концами и фиксированным временем. Если допустимая пара (u(t), x(t)) является решением задачи оптимального управления (1.1), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (1.2).

В соответствии с этим правилом, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (1.1а), (1.1б), и (1.2) при краевых условиях (1.1в).

Если оптимальное управление u(t) имеет разрыв первого рода в какихлибо точках, то оно само и соответствующая ему траектория x(t) должны

2

удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках непрерывности управления. В точках разрыва управления, которые называются угловыми, должны выполняться условия

где индексы « – » и «+» обозначают левый и правый пределы соответствующих функций.

Эти условия называются условиями Вейерштрасса-Эрдмана.

Множители Лагранжа определяются с точностью до постоянного множителя. Действительно, они входят в уравнения Эйлера-Лагранжа линейно и однородно, и эти уравнения не изменятся, если все множители умножить на одно и то же постоянное число. Поэтому в случае, когда ψ0 ≠ 0, (этот случай называют неособым), не нарушая общности, будем принимать ψ0 = −1.Дальше, если особо не оговаривается, будет подразумеваться, что имеет место неособый случай.

Как отмечалось, уравнения Эйлер-Лагранжа является необходимым условием, т.е. любое решение задачи оптимального управления (1.1) является экстремалью, т.е. удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, но не любая экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, является решением задачи (1.1). Но если решение задачи существует и экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, единственна, то, очевидно, эта экстремаль и будет решением.

Пример 1.1. Определить оптимальное программное управление для поворота вала двигателя на угол 1 радиан с последующей остановкой за 10 сек при минимальном расходе энергии без учета момента сопротивления (uс = 0):

x1 = x2 , x2 =u ; x1(0) = x2 (0) = 0,

10

x1(10) =1, x2 (10) = 0; J = ∫u2dt → min.

0

Так как задача имеет физический смысл, т.е. имеет место неособый случай, то полагаем ψ0 = −1. Составим гамильтониан:

3

H = −u2 +ψ1x2 +ψ2u.

Уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид

Эта система имеет решение

Подставив полученное выражение для управления в уравнения объекта и решив их, получим

Из краевых условий имеем:

x2 (0) =C3 = 0, x1(0) =C4 = 0, x2 (10) = −25C1 +5C2 = 0, x1(10) = −2503 C1 +25C2 =1.

Отсюда находим С1 = 3/125, C2 = 3/25, C3 = 0, C4 = 0. Оптимальное программное управление и оптимальные траектории имеют вид

оптимальным программным управлением будет иметь вид:

Правило множителей Лагранжа для задач оптимального управления с подвижными концами. Задача оптимального управления классического типа

4

Здесь

G= ∑q vi gi ,

i=0

где vi (i = 0,1,.., q) – постоянные неопределенные множители, при этом v0 =ψ0 (ψ0 – множитель Лагранжа, который входит в гамильтониан). Функция G

называется терминантом.

Отдельные координаты граничных точек могут быть фиксированы. Соотношения, определяющие эти координаты, в выражение для терминанта G не включаются, и так как при определении необходимых условий они не варьируются, в условия трансверсальности не нужно включать соотношения, содержащие частные производные по этим координатам. В частности, если начальная точка закреплена, т.е. заданы все координаты точки x(t0), то в условии (1.4а) все первые соотношения с частными производными по xi(t0) должны быть исключены; если время фиксировано, то отпадают условия (1.4б).

Правило множителей Лагранжа с подвижными концами. Если допустимая пара (u(t), x(t)) является решением задачи оптимального управления (1.3), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (1.2) и условиям трансверсальности (1.4).

Если управление терпит разрыв, то решение (u(t), x(t)) должно удовлетворять уравнениям Эйлера-Лагранжа в точках непрерывности управления. В угловых точках (в точках разрыва управления) должны выполнятся условия Вейерштрасса-Эрдмана.

Чтобы получить решение задачи (1.3), нужно решить уравнения (1.3а), (1.3б) совместно с уравнениями Эйлера-Лагранжа (1.2) при краевых условиях (1.3в) и условиях трансверсальности (1.4).

Пример 1.2. Определить оптимальное программное управление для поворота вала двигателя на угол 1 радиан без последующей остановки за 10 сек при минимальном расходе энергии без учета момента сопротивления (uс = 0):

x1 = x2 , x2 =u ; x1(0) = x2 (0) = 0,

6

10

x1(10) =1, J = ∫u2dt → min.

0

Составим гамильтониан и уравнения Эйлера-Лагранжа принимают:

H = −u2 +ψ1x2 +ψ2u.

и строим структурную схему оптимальной системы реального времени:

7

1.2. Порядок выполнения работы

2.1.Определить оптимальное программное управление и оптимальные траектории движения системы в соответствии с вариантом задания.

2.2.Собрать схему оптимальной системы программного управления.

2.3.Построить графики переходных процессов по переменным состояния и управляющему воздействию и фазовый портрет системы.

2.4.По графику x1(t) определить время переходного процесса.

1.3. Содержание отчета

3.1.Цель работы.

3.2.Исходные данные для выполнения работы, модель системы, структурная схема.

3.3.Расчет оптимального программного управления и оптимальных программных траекторий движения системы.

3.4.Фазовый портрет и временные характеристики.

3.5.Выводы по работе.

8

1.4. Варианты заданий

9