Лабораторная 4 ТОАУ

Лабораторная работа №4

По курсу «Теоретические основы автоматизированного управления»

на тему «Структурный анализ систем»

Цель: используя полученные знания, студент сможет проводить структурный анализ систем

Выполнив данную лабораторную работу, студент изучит:

1. Основы структурного анализа

2. Возможности прикладного программного пакета MATLAB при структурном анализе систем

Постановка задачи: студент должен построить модель системы в виде графа используя результаты полученные в лабораторной работе №1, и затем провести структурный анализ системы с помощь описанного ниже инструментария.

Теоретическое введение

Одной из важнейших характеристик системы является ее структура, т.е. устойчивая упорядоченность в пространстве и времени элементов и связей, определяющая целостность, строение и основы организации системы.

Целью структурного моделирования является построение структурной модели, т.е. объекта, структура которого в требуемой мере сходна со структурой оригинала, и исследование этой модели для определения характеристик структуры оригинала, влияния структуры на функционирование оригинала и выявление наилучших с заданной точки зрения структур.

В основе структурного моделирования лежит сходство, подобие структур модели и исследуемой системы.

К основным задачам структурного моделирования относятся:

• Установление структуры исследуемой системы;

• Определение степени влияния структуры и параметров исследуемой системы на ее поведение (функционирование);

• Оценивание качества структуры;

• Определение наилучшей по заданному критерию структуры и совокупности параметров системы.

При структурном моделировании систем обычно используют три уровня описания связей между элементами.

На первом уровне, когда исходят лишь из наличия или отсутствия связей между элементами, моделями структур систем обычно служат неориентированные графы.

На втором уровне, когда дополнительно учитываются направления связей, в качестве структурных моделей применяются ориентированные графы.

На третьем уровне, когда, кроме того, учитывается вид и направление сигналов, в качестве моделей чаще всего используют ориентированные взвешенные графы.

Структурные характеристики системы

При исследовании структуры системы наибольший интерес представляют те свойства структуры, которые оказывают существенное влияние на эффективность функционирования и качества системы. Эти свойства описываются структурно-топологическими характеристиками системы, среди которых основными являются:

• наличие изолированных, висячих и тупиковых вершин;

• наличие петель и контуров;

• центральные и периферийные вершины

• значимость элементов в структуре

Перечисленные характеристики позволяют количественно оценить свойства структуры, выявить наличие непредусмотренных обрывов и тупиков, нежелательных связей в системе, распределение элементов в структуре, их значимость, а также ответить на вопрос, как удаление тех или иных элементов нарушает структуру системы.

В основе вычисления указанных характеристик лежит матричное представление графа структуры в виде матрицы смежности вершин.

При проведении структурно-топологического анализа в первую очередь определяют наличие в структуре изолированных, висячих и тупиковых вершин.

Определение 1: Вершина графа называется изолированной, если в графе не существует дуг, инцидентных этой вершине.

Определение 2: Вершина графа называется висячей, если для всех дуг графа, инцидентной данной вершине, она является начальной.

Определение 3: Вершина графа называется тупиковой, если для всех дуг графа, инцидентных данной вершине, она является конечной.

Далее определяют наличие петель и контуров.

Петля в графе свидетельствует о наличие связи между входом и выходом одного и того же элемента системы, а контур – о наличие связи между входом и выходом некоторой совокупности последовательно связанных элементов. Существуют системы, в которых такие связи не допускаются. В таком случае наличие петель и контуров свидетельствует об ошибках в описании системы или построении графа ее структуры. В то же время некоторые системы по своей сути должны иметь петли и контуры, поэтому их отсутствие или невозможность правильной их интерпретации говорит о допущенных ошибках при моделировании.

Далее определяют центральные и периферийные вершины графа. Для этого определяются промежуточные характеристики, такие как:

• Эксцентриситет вершины графа − это максимальное расстояние от неё до других вершин (по количеству рёбер или их весу).

• Диаметр графа − это максимальный из эксцентриситетов вершин.

• Радиус − минимальный из эксцентриситетов.

Центральные вершины графа − это такие, эксцентриситет которых равен радиусу графа, а периферийные − такие, эксцентриситет которых равен диаметру графа.

Смысл этих параметров заключается в том, что центральные вершины представляют собой наиболее нагруженные вершины, а периферийные наоборот.

Методы теории графов позволяют определять и такую структурную характеристику системы, как значимость элемента в ее структуре. Естественно предположить, что чем больше связей имеет элемент с другими элементами системы, тем большую роль при прочих равных условиях он может играть в системе. Количественно значимость элемента в структуре оценивают с помощью ранга элемента. Чем выше ранг элемента, тем более значим этот элемент в системе.

Ранг элемента определяется из матрицы смежности:

, где - матрица смежности

С помощью библиотеки GrTheory также можно посчитать такую характеристику как максимальное взвешенное паросочетание.

Максимальным взвешенным паросочетанием в графе G(V,E), где V − множество вершин, а E − множество рёбер, называется подмножество рёбер E1 максимальной мощности (максимального веса), среди которых нет инцидентных. Эта характеристика покажет самые нагруженные связи.

Вывод: Таким образом, рассчитав все перечисленные параметры

Выполнение:

Лабораторная работа состоит из 2-х частей:

• подготовка к лабораторной работе

• работа в аудитории

Дано:

1. Подготовка к лабораторной работе

Эту часть лабораторной работы необходимо выполнить дома.

2. Работа в лаборатории

Запустив MATLAB, откроется основное окно (рис. 1)

Рис. 1 Основное окно MATLAB

Для построения и анализа графов в пакете Matlab используется библиотека GrTheory, которая располагается в папке \Program Files\MATLAB\R2007b\toolbox. При отсутствии ее необходимо положить туда и прописать путь поиска библиотечных функции. Для этого кликните: File->Set Path.

Откроется окно со списком всех путей библиотечных функций (рис. 2).

Рис. 2 Окно библиотечных путей

Кликните по кнопке – Add Folder, укажите путь до папки GrTheory, и затем кликните по кнопке – Save. Теперь можно работать.

Для этого создадим М-файл, в котором будем писать программу. Для этого кликните: File->New->M-File (рис. 3)

Рис. 3 Создание М-файла

Появится окно пустого М-файла (рис. 4)

Рис. 4 Окно пустого М-файла

Используя функции библиотеки GrTheory, которые приведены в приложении, проведем расчет характеристик графа:

1. Наличие изолированных, висячих и тупиковых вершин

2. Наличие петель и контуров

3. Эксцентриситет, радиус, диаметр вершин графа, центральные и периферийные вершины

4. Ранги элементов

5. Максимальное взвешенное паросочетание

Анализ полученных данных:

Приложение

Функции библиотеки GrTheory

grPlot – функция для рисования графов и орграфов средствами MATLAB.

Данная функция предназначена для рисования графов и орграфов средствами MATLAB. Синтаксис вызова:

h=grPlot(V,E,kind,vkind,ekind) − создаёт новую фигуру и рисует на ней граф или орграф.

Входной параметр V(x,y) − множество вершин. Где x и y – координаты вершин.

Входной параметр E(i,k,m) – множество дуг. Где i – вершина из которой исходит дуга; k – вершина, в которую приходит дуга; m – вес дуги;

По умолчанию возле каждой вершины ставится метка в виде номера вершины.

В необязательном входном параметре kind задаётся вид рисуемого графа. Если kind='g' (по умолчанию), то рисуется граф, а если kind='d', то орграф. Можно использовать как строчную, так и прописную буквы.

В необязательном входном параметре vkind задаётся вид метки для вершин. Можно использовать любой формат функции FPRINTF, например, '%8.3f', '%14.10f' и т.д. По умолчанию используется формат '%d'. Если задать пустую строку: vkind='', то метка не будет рисоваться.

В необязательном входном параметре ekind задаётся вид метки для рёбер (дуг). Он задаётся так же, как и метка для вершин vkind.

В необязательном выходном параметре h возвращается дескриптор созданной фигуры.

grMSmej – вычисляет матрицу смежности.

Синтаксис вызова:

A=grMSmej(V,E) - для графа (V,E) находит матрицу смежности

grVerType – определяет наличие висячих, тупиковых и изолированных вершин.

Синтаксис вызова:

r=grVerType(A) – возвращает вектор, содержащий 4 типа значений:

• 1 – Изолированная вершина

• 2 – Висячая вершина

• 3 – Тупиковая вершина

• 0 – вершина не относится, к какому либо типу

Входной параметр А – матрица смежности.

grCycleVer – определяет наличие петлевых вершин

Синтаксис вызова:

p=grCycleVer(A) – возвращает вектор, содержащий 2 типа значений:

• 1 – петлевая вершина

• 0 – вершина не петлевая

Входной параметр А – матрица смежности.

grKonturVer – определяет наличие контуров.

Синтаксис вызова:

KV=grKonturVer(A) – возвращает матрицу размерности (n×n), где n – количество вершин. Номер столбца соответствует размерности контура. Номер строки – номер вершины.

grEccentricity – вычисляет эксцентриситет, диаметр, радиус графа, находит центральные и периферийные вершины.

Синтаксис вызова:

Ec,Rad,Diam,Cv,Pv]=grEccentricity(E) − находит Ec – эксцентриситеты вершин, Rad – радиус графа, Diam - диаметр графа, центральные вершины графа Cv и его периферийные вершины Pv (векторы-строки с номерами вершин).

grRangVer – вычисляет ранги вершин графа.

Синтаксис вызова:

Rng=grRangVer(A) - возвращает вектор рангов вершин графа

Входной параметр А – матрица смежности

grMaxMatch – находит максимальное (взвешенное) паросочетание.

Синтаксис вызова:

nMM=grMaxMath(E) − для графа E находит максимальное (взвешенное) паросочетание nMM.

Выходной параметр nMM − список номеров рёбер, включённых в максимальное (взвешенное) паросочетание.