Цель работы: Ознакомление с методикой выполнения прямых измерений с многократными наблюдениями. Получение навыков стандартной обработки результатов наблюдений, оценивания погрешностей и представления результатов измерений.

Методические указания.

В измерительной практике для повышения качества измерений часто обращаются к измерениям с многократными наблюдениями, т.е. к повторению одним и тем же оператором однократных наблюдений в одинаковых условиях с использованием одного и того же средства измерений. В результате соответствующей обработки полученных данных удается уменьшить влияние случайной составляющей погрешности на результат измерений.

Методику обработки рекомендует ГОСТ 8.207-76 «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».

При статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнять следующие операции.

Исключить из ряда наблюдений грубые погрешности (промахи).

Исключение грубых погрешностей является обязательным, так как они могут сильно исказить итог измерения. Обычно они сразу видны в ряду полученных результатов, но в каждом конкретном случае это необходимо доказать. Существует ряд критериев для оценки промахов.

При числе измерений можно применять критерий . В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью , малореален и его можно квалифицировать промахом, т.е. сомнительный результат отбрасывается, если

. (3.1)

Величины и вычисляют без учета .

Если , целесообразно применять критерий Романовского. При этом вычисляют отношение

(3.2)

и полученное значение сравнивают с теоретическим – при выбираемом уровне значимости по таблице 3.1.

Таблица 3.1

	Число измерений
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

Обычно выбирают , и если , то результат отбрасывают.

Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

При выполнении данной лабораторной работы этот пункт не выполняется, так как из предлагаемых для обработки результатов однократных измерений они уже исключены.

Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений и принять его за результат измерения.

Среднее арифметическое вычисляется по формуле

. (3.3)

Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения. Для этого используется формула

. (3.4)

Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения по формуле

. (3.6)

Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости от 10% до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений и задаются преподавателем.

При числе результатов наблюдений для проверки принадлежности их к нормальному распределению по ГОСТ 11.006-74 предпочтительным является один из критериев: Пирсона или Мизеса – Смирнова.

При числе результатов наблюдений для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является составной критерий, приведенный в ГОСТ 8.207 – 76. Суть его сводится к следующему:

Критерий 1. Вычисляют отношение

, (3.7)

где – смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

. (3.8)

Результаты наблюдений группы можно считать распределенными нормально, если

, (3.9)

где

и

квантили распределения, получаемые из таблицы 3.2 по , и , причем – заранее выбранный уровень значимости критерия.

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более разностей превзошли значение , где  – оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

Таблица 3.2

Статистика

	1%	5%		95%	99%
16	0,9137	0,8884		0,7236	0,6829
21	0,9001	0,8768		0,7304	0,6950
26	0,8901	0,8686		0,7360	0,7040
31	0,8826	0,8625		0,7404	0,7110
36	0,8769	0,8578		0,7440	0,7167
41	0,8722	0,8540		0,7470	0,7216
47	0,8682	0,8508		0,7496	0,7256
51	0,8648	0,8481		0,7518	0,7291

, (3.10)

а – верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности .

Значения определяются из таблицы 3.3 по выбранному уровню значимости и числу результатов наблюдений .

При уровне значимости, отличном от предусмотренных в таблице 3, значение находят путем линейной интерполяции

Таблица 3.3

Значение для вычисления

		1%	2%	5%
10	1	0,98	0,98	0,96
11-14	1	0.99	0,98	0,97
15-20	1	0.99	0.99	0,98
21-22	2	0,98	0,97	0,96
23	2	0,98	0,98	0,96
24-27	2	0,98	0,98	0,97
28-32	2	0.99	0,98	0,98
33-35	2	0.99	0,98	0,98
36-49	2	0.99	0.99	0,98

В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости , а для критерия 2 – уровень значимости , то результирующий уровень значимости составного критерия

. (3.11)

В случае, если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

Вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения.

Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность принимают равной 0,95.

 Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с ГОСТ 8.207-76 устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределении.

Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле

, (3.12)

где  - коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности и числа результатов наблюдений находят по таблице 3.4.

Таблица 3.4

Значение коэффициента для случайной величины, имеющей

Распределение Стьюдента с степенями свободы

3	3,182	5,841	16	2,120	2,921
4	2,776	4,604	18	2,101	2,878
5	2,571	4,032	20	2,086	2,845
6	2,447	3,707	22	2,074	2,819
7	2,365	3,499	24	2,064	2.797
8	2,306	3,355	26	2,056	2,779
9	2,262	3,250	28	2,048	2,763
10	2,228	3,169	30	2,043	2,750
12	2,179	3,055		1,96	2,576
14	2,145	2,977

Определите границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные систематические погрешности;

• метода;

• средства измерения;

• вызванные другими причинами.

Границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерения, метода и погрешностей, вызванных другими причинами, по формуле

, (3.13)

где  – граница -й неисключенной систематической погрешности;  –коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, коэффициент принимают равным 1,1 при доверительной вероятности .

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

В данной лабораторной работе имеет место неисключенная систематическая погрешность средства измерения. Границей этой погрешности является предел допускаемой основной погрешности средства измерений, определяемый классом точности средства измерений.

В случае, если , то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата . Если , то случайной погрешностью по сравнению с систематическими пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

В случае, если , границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайной и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины.

Границы погрешности результата измерения (без учета знака) допускается вычислить по формуле

,

где – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей; – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения вычисляют по формуле

. (3.14)

Коэффициент вычисляют по эмпирической формуле

. (3.15)

Оформить результат измерения по ГОСТ 8.011-72. При симметричной доверительной погрешности результат измерения представляют в форме

. (3.16)

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности . При этом число значащих цифр при указании не должно превышать двух.

Порядок выполнения работы.

Класс точности СИ 0,15/0,01.Предел измерения Rn=10⁵ Ом.

Результаты измерений имеют вид:

№	R,кОм	№	R,кОм	№	R,кОм
1	31.035	11	825,7	21	819,4
2	30.951	12	808	22	827,7
3	823,8	13	818	23	819,6
4	815,4	14	818,6	24	820,6
5	826	15	832,9	25	831,8
6	822,5	16	800,3	26	830,2
7	816,5	17	821,3	27	810,4
8	827,8	18	825,9	28	817,2
9	821,7	19	823,5	29	822,9
10	819,2	20	811,4	30	835,5