Лабораторная работа № 5.

Алгоритмы адаптивного управления с ЭМ

Цель работы: изучение свойств системы, синтезировнной алгоритмами адаптивного управления с эталонной моделью.

5.1. Теоретические сведения

Задачу синтеза адаптивной системы управления с эталонной моделью (ЭМ) содержательно можно сформулировать следующим образом. Заданы уравнения объекта и эталонной модели. Требуется синтезировать алгоритм адаптивного управления, т.е. алгоритм управления (основного контура) и алгоритм адаптации, при которых система глобально устойчива и ошибка слежения – разность между выходными сигналами основного контура и эталонной модели – сходится к нулю при стремлении времени в бесконечность.

Здесь предполагается, что эталонная модель задана, хотя она должна быть определена исходя из заданных требований к синтезируемой системе управления. Это связано с тем, что определение эталонной модели по заданным требованиям к системе управления является обычной задачей управления и не связано спецификой адаптивного управления.

Параметрическая сходимость. При адаптивном управлении с ЭМ основное целевое условие – это обеспечение сходимости к нулю ошибки слежения e(t) = y(t) – ym(t). Если параметры регулятора принимают идеальные значения, то, естественно, это условие будет выполнено. Однако из сходимости к нулю ошибки слежения не следует параметрическая сходимость – сходимость варьируемых параметров к идеальным значениям.

1

Параметрическая сходимость зависит от структуры («сложности») задающего воздействия. Если задающее воздействие простое, например константа, то по окончании процесса адаптации варьируемые параметры в зависимости от начальных условий могут принять различные значения. Однако когда задающее воздействие g(t) обладает таким свойством, что выполняется так называемое условие постоянного возбуждения, то сходимость к нулю ошибки слежения влечет за собой параметрическую сходимость.

Определение 5.1. Условие постоянного возбуждения n – векторного сигнала v(t) выполняется, если существуют положительные константы Т и α такие, что при любом t > 0

t +T

∫v(τ)vT (τ) ≥αIn ,

t

где In – еденичая матрица порядка n.

Адаптивное управление по состоянию линейным объектом.

Постановка задачи. Пусть линейный объект описывается уравление

где у – выход, u – управление, ai (i = 0,1, ..., n) – неизвестные параметры; знак a0 известен. Эталонная модель задается уравнением

Здесь ym – выход эталонной модели, ai (i = 1, 2, ..., n) и β0 – известные положительные постоянные, g(t) – задающее воздействие. Требуется

2

определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально устойчива и ошибка слежения

e(t) = y(t) − ym (t) → 0 при t → ∞.

Ниже при записи решения используется (n × 1)-матрица

и (n × n)-матрица Р, которая является решением уравнения Ляпунова

PA + AT P = −Q ,

где Q – положительно определенная матрица, А – (n × n)-матрица

в которой элементами последней строки являются коэффициенты уравнения эталонной модели.

Утверждение 5.1. Алгоритмом адаптивного управления с ЭМ (5.2) линейным объектом (5.1), обеспечивающим глобальную устойчивость и сходимость ошибки e(t) = y(t) − ym (t) к нулю при t → ∞, является

3

Если в качестве Q принимается матрица qIn(q >0, In – единичная матрица n-го порядка), то, не нарушая общности, можно при записи уравнения Ляпунова принять q = l, т.е. рассмотреть уравнение

PA + AT P = −In ,

а значение q учесть при выборе матрицы Г.

Уравнение синтезируемой системы (5.1), (5.5а) совпадает с уравнением эталонной модели, когда

Коэффициенты ki* (i = 0, 1, .... n) по определению являются идеальными. И если для каких-либо коэффициентов алгоритма управления (5.5а) априорная информация позволяет вычислить их идеальные значения, то, естественно, нет необходимости для их определения использовать алгоритм адаптации

(5.5б).

Пример 5.1. Объект описывается уравнением

y +3y + a2 y = u ,

где a2 – неизвестный параметр; уравнение эталонной модели имеет вид

y + 2ym + ym = g(t) .

4

Определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающего ограниченность всех переменных и сходимость ошибки е = у – уm к нулю при t → ∞.

Решение. В данном случае α1 = 2 и α2 = 1, матрицы А и В имеют вид

Уравнение Ляпунова

после перемножения матриц принимает вид

Это уравнение, учитывая равенство р12 = р21 можно записать в виде системы

−2 p12 = −1,

p11 −2 p12 − p22 = 0,

2 p12 −4 p22 = −1.

Эта система имеет следующее решение:

5

Так как известны коэффициенты a0 = 1, a1 = 3, то по формуле (5.6) находим

Отсюда и в соответствии с соотношением (5.5а) для адаптивного алгоритма управления находим

Адаптивное управление по выходу линейным объектом с единичным относительным порядком. Выше был рассмотрен случай,

когда в уравнение объекта не входили производные управления или, что то же, когда относительный порядок передаточной функции объекта был равен ее порядку, и все фазовые координаты были доступны измерению. Однако обычно не все фазовые координаты доступны измерению. И чтобы получить их, нужно дифференцировать выходную переменную, что не желательно изза помех, которые при этом возникают.

Ниже рассматривается адаптивное управление по выходу, т.е. такое управление, при котором в алгоритмах управления и адаптации используются только входной и выходной сигналы объекта и сигналы, получаемые путем их фильтрации.

Постановка задачи. Пусть задан объект с передаточной функцией

и выбрана эталонная модель с передаточной функцией

k0, bi (i = 1, 2, ..., n – 1), ak(k = 1, 2, ..., n) – неизвестные параметры объекта,

знак k0 известен; Рm(р), Rm(p) – устойчивые полиномы, и передаточная функция Wm(p) является строго вещественно-положительной, т. е. она устойчива и Re W(jω) > 0 при все ω ≥ 0.

Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором система глобально устойчива и ошибка e(t) = y(t) – ym(t) стремится к нулю при t → ∞. При этом в алгоритмах управления и адаптации должны быть использованы только доступные измерению сигналы (задающее воздействие, входной и выходной сигналы объекта) и сигналы, которые получаются путем их фильтрации, т.е. сигналы на выходе фильтров, на вход которых подаются указанные сигналы. Принимается, что уравнения фильтров в нормальной форме Коши имеют вид

(n – 1)-вектор переменных, получаемых путем фильтрации выходного сигнала объекта; Е — (n – 1) × (n – 1)-матрица, F — (n – 1) × 1 — матрица, и они имеют следующий вид:

7

Здесь в последней строке матрицы Е стоят коэффициенты полинома числителя передаточной функции эталонной модели.

Утверждение 5.2. Алгоритмом адаптивного управления с ЭМ (5.8) линейным объектом (5.7), обеспечивающие глобальную устойчивость и сходимость ошибки e(t) = y(t) – ym(t)к нулю при t → ∞, является

u = kTv v +kTv z + ky y + kg g ,

выходы фильтров (5.9a) и (5.9б) соответственно.

Пример 5.2. Пусть объект и эталонная модель задаются передаточными функциями

8

где k0, b1, a1, a2 – неизвестные параметры, известен знак k0: k0 > 0. Требуется определить алгоритм адаптивного управления, обеспечивающего глобальную устойчивость системы и сходимость к нулю разности между выходами системы и эталонной модели.

Решение. Передаточная функция эталонной модели является строго вещественно-положительной, так как она устойчива, и вещественная часть частотной передаточной функции при любой частоте ω ≥ 0 положительна:

В данном случае n = 2, β1 = 1, и уравнения фильтров (5.9) принимают вид

Из утверждения 5.2 для адаптивного алгоритма управления получаем

u = kvv + kz z + ky y + kg g ,

9