Лабораторная работа № 6.

Адаптивное управление с идентификатором

Цель работы: изучение свойств системы, синтезированной алгоритмами адаптивного управления с идентификатором.

6.1. Теоретические сведения

При синтезе адаптивных систем управления с идентификатором алгоритм управления основного контура строится так же, как и в случае, когда параметры объекта известны. Но в данном случае алгоритм управления и соответственно параметры построенного на его основе регулятора зависят от неизвестных параметров объекта. И чтобы подстроить параметры регулятора, нужно определить значения неизвестных параметров объекта в процессе функционирования системы управления. Для этой цели и предназначен идентификатор.

Идентификация и модель для получения оценки. Идентификацией системы называется построение (получение) ее математической модели путем обработки ее входных и выходных сигналов в процессе эксперимента. Эксперимент может быть активным, т.е. проводится специально для решения задачи идентификации, или пассивным: идентификация осуществляется в процессе нормального функционирования системы. Если структура системы определена или задана, то задача идентификации сводится к определению (идентификации) ее параметров. Идентификация, которую выполняет идентификатор, состоит в получении оценки неизвестных параметров объекта в реальном времени и в процессе нормального функционирования адаптивной системы управления. И поэтому ее называют адаптивной идентификацией. Сложность адаптивной идентификации заключается в том,

1

что она происходит одновременно с процессами адаптации (подстройки параметров регулятора) и управления и необходимостью в этих условиях обеспечить работоспособность и прежде всего устойчивость системы управления.

Модель для получения оценки. Сущность оценки параметров – это выделение информации о параметрах из доступных данных, получаемых путем измерения. Для получения оценки используется модель для получения оценки, или идентификационная модель, которая связывает возможные данные с неизвестными параметрами. Довольно общей идентификационной моделью является линейная параметрическая форма

где у — выходной вектор, а — вектор неизвестных параметров, W(t) — матричная функция, которая называется сигнальной матрицей. Выходной вектор и сигнальная матрица должны быть известны из данных, получаемых путем измерения сигналов системы.

В каждый момент времени идентификационная модель (6.1) представляет собой линейную систему уравнений относительно неизвестных параметров. Если даны измерения y(t) и W(t) на некотором интервале времени, то имеем бесконечное число уравнений вида (6.1). Если даны значения у(t) и W(t) в l дискретных точках, то имеем систему из l уравнений. Получение оценки неизвестных параметров сводится к решению этих избыточных уравнений для r неизвестных параметров. Для возможности получения оценки для r параметров необходимо иметь, по меньшей мере, r уравнений. Однако, чтобы получить хорошую оценку параметров при присутствии шумов и ошибки в модели желательно иметь данные в больших точках.

2

Уравнение (6.2) примет вид оценочной модели (6.1), если положить

Здесь А0(р) является собственным оператором фильтров, В нормальной форме уравнения фильтров можно записать в виде

соотношениями (6.4) и (6.3) соответственно.

Градиентный идентификатор. Пусть a(t) является оценкой в момент t вектора неизвестных параметров а в (6.1). Оценка выхода

которая получается при постановке в (6.1) вместо а его оценки, называется прогнозируемым выходом, а разность

— прогнозируемой ошибкой. Очевидно, прогнозируемая ошибка есть не что иное, как невязка — термин, который был определен при рассмотрении фильтра Калмана-Бьюси. Подставив в (6.4) выражения для y(t) из (6.1) и y(t) из (6.3), получим

Рассмотрим алгоритм для получения оценки (алгоритм идентификации), использующий невязку.

4

Здесь γ — положительная константа. Алгоритм (6.6) является градиентным: при этом алгоритме невязка уменьшается путем изменения оценок параметров, двигаясь в пространстве параметров в обратном направлении градиенту квадрата невязки e2n по вектору параметров a.

Градиентный идентификатор, т. е. идентификатор, использующий градиентный алгоритм идентификации, устойчив по Ляпунову, и параметрическая ошибка при этом идентификаторе убывает. Однако будет ли она стремится к нулю, зависит от сигнальной матрицы W(t), которая, в свою очередь, зависит от внешних воздействий.

Коэффициент γ в ( 6.6) оказывает сильное влияние на характер сходимости алгоритма оценивания. В случае одного параметра чем большеγ тем скорость сходимости больше. В случае многих параметров связь междуγ и скоростью сходимости не такая простая. На некотором малом интервале увеличение оценочного коэффициента усиления может привести к увеличению скорости сходимости, но вне указанного интервала дальнейшее увеличение этого коэффициента может привести к колебаниям и более медленной сходимости.

Кроме влияния на скорость сходимости, выборγ оказывает также влияние на способность идентификатора следить за изменяющимися параметрами и противостоять возмущениям.

Свойство робастности. Чтобы идентификатор имел практическое значение, он должен обладать робастностью (грубостью), т.е. он должен выдавать удовлетворительную оценку при изменении параметров, при наличии шума измерения и других возмущений.

5

Качество градиентного идентификатора зависит от нескольких факторов, главными из которых являются:

•уровень постоянного возбуждения матрицы сигналов W(t);

•скорости изменения параметров и уровня непараметрической неопределенности;

•величины оценочного коэффициента усиления γ

Уровень постоянного возбуждения W(t) определяется задачей управления. Постоянное возбуждение существенно для робастности идентификатора. Если сигнал постоянно не возбуждается, параметры не будут сходиться точному значению даже при отсутствии непараметрической неопределенности. При наличии непараметрической неопределенности идентификатор может стать неустойчивым. Может оказаться, что нужно добавлять некоторое возмущающее воздействие к управлению, чтобы получить качественную оценку параметров.

Если оцениваемые параметры изменяются, то чем быстрее происходят эти изменения, тем больше непараметрические неопределенности влияют на качество оценки параметров. Очевидно, чем быстрее изменяются параметры, тем труднее получить точную оценку. Кроме того, чем выше уровень шума и больше неучтенных возмущений и динамики, тем идентификатор функционирует хуже.

6

Пример 6.1. Задан объект передаточной функцией

где b2 — неизвестный параметр. Определить градиентный алгоритм идентификации неизвестного параметра при условии, что собственный оператор фильтров имеет вид

Так как α1 − a1 = 4 −3 =1, α2 − a2 = 4 − 2 = 2 , α3 − a3 =3 − 2 =1, b1 = 2, b3 = 1

то для оценки вектора параметров имеем

Оценка выходной переменной и градиентный алгоритм идентификации принимают вид

y€=W (t)a€ = ~y3 + 2~y2 + ~y1 + 2u~3 +b€2u~2 +u~1 ,

7