ОиАС-8
.pdf1 |
|
Лекция 8 |
|
|
|
|
|
|
Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных объектов
2
Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi i x1 , , xn bik uk |
i 1, n |
|
|
|
|
(4.1.40) |
|||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть правые части этих уравнений разложимы в ряд Тейлора в окрестности |
||||||||||
точки х1 = ... =xn = u1= ... =um=0. Тогда (4.1.40) имеет вид |
|
|
|
|
||||||
n |
n |
n |
|
|
|
m |
|
|
|
|
xi aij x j |
aijk xj xk |
aijk xj xk |
x |
bik uk |
i 1, n |
(4.1.41) |
||||
j 1 |
jk 1 |
j ,k , 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
Требуется найти управления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uk = rk(x1, …, xn) (k=1, …, m), |
|
|
|
|
(4.1.42) |
||||
при которых на движениях системы (4.1.41), (4.1.42), возбужденных произвольными начальными отклонениями, минимизируется функционал (4.1.3).
J x Qx u u dt
0
Рассмотрим решение этой задачи, ограничиваясь для простоты случаем n=m=1. В этом случае уравнения (4.1.41) запишем (обозначая a111:=а(2), a1111=а(3) и т. д.) так:
x ax a 2 x2 a 3 x3 bu
Уравнение (2.3.8), (2.3.9) метода динамического программирования имеют в рассматриваемом случае вид
v x , , x ,u , ,u |
|
v x , , x ,u , ,u |
|
,t |
(2.3.8) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 1 |
n 1 |
|
m |
|
i 1 |
x |
|
i |
1 |
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
qx |
2 |
u |
2 |
|
v |
ax |
a |
2 |
x |
2 |
a |
3 |
x |
3 |
bu |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(4.1.43) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x1 , , xn ,u1 , ,um v i x1 , , xn ,u1 , ,um ,t 0 |
k 1, m |
(2.3.9) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
k |
|
i 1 x |
|
|
|
|
|
|
u |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
1 |
|
v |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1.44) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исключая u из (4.1.43) с помощью (4.1.44), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v |
qx2 |
v |
ax |
a 2 x2 |
a 3 x3 |
|
1 v |
|
|
2 |
|
(4.1.45) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
t |
x |
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|||||||
3
Решение этого уравнения будем искать в виде |
|
|
||
|
|
v=px2 + р(3)х3 + p(4)x4 +... |
(4.1.46) |
|
Подставляя (4.1.46) в (4.1.45), получим |
|
|
||
qx2 2 px 3 p 3 x2 4 p 4 x3 ax a 2 x2 a 3 x3 |
|
|||
|
1 |
b2 2 px 3 p 3 x2 4 p 4 x3 2 |
0 |
(4.1.47) |
|
||||
|
|
|||
4 |
|
|
||
Приравнивая нулю совокупность коэффициентов при одинаковых степенях x, получим уравнения для определения неизвестных параметров р, р(3), р(4),... формы (4.1.46). Так, для совокупности коэффициентов при х2 имеем
2pa – (pb)2 + q = 0, |
(4.1.48) |
для совокупности коэффициентов при х3 получим
2pa(2) + 3p(3)a – b2(2р)(3р(3))/2 = 0 |
(4.1.49) |
и т. д.
Уравнение (4.1.48) совпадает с уравнением (4.1.9) и его решение имеет вид
p 1 |
a |
|
|
a2 |
|
q |
|
b2 |
b2 |
b2 |
|
||||
|
|
|
|
|
4
Уравнения (4.1.49) запишем в более удобной форме с учетом (4.1.11)
c=–p(1)b. (4.1.11)
3p(3)(a + bc) = –2p(1)a(2). |
(4.1.49') |
Это уравнение в отличие от (4.1.48) является линейным уравнением для определения коэффициента р(3) формы (4.1.46). Решение этого уравнения существует, если а+bc≠0. Последнее выполняется в силу асимптотической устойчивости уравнения
x a bc x
описывающего замкнутую оптимальную в смысле функционала (4.1.3) систему с линейным объектом (4.1.1).
Приравнивая нулю совокупность коэффициентов при х4, получим
4 p |
4 |
a bc 2 p |
1 |
a |
3 |
3 p |
3 |
a |
2 |
|
1 |
|
2 |
3 p |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 b |
|
|
|
(4.1.50) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение, как и предыдущее, является линейным относительно неизвестного параметра р(4) и т. д.
5
В соответствии с (4.1.44) искомое управление имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||
u=сх + с(2)х2 + с(3)х3 + ..., |
|
|
|
|
|
|
(4.1.51) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c p 1 b; |
c 2 |
|
3 |
p 3 b; c 3 |
4 |
p 4 b, |
(4.1.52) |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
В общем случае (n>1, m 1) функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
v pij xi x j |
pijk xi xj xk |
pijk xi |
xj |
xk |
x |
(4.1.53) |
||||||
i , j 1 |
i , j ,k 1 |
|
|
|
i , j ,k , 1 |
|
|
|
|
|
|
|
ее коэффициенты рij (i, j=l, …, n) находятся в результате решения алгебраического уравнения Риккати (4.1.12), а коэффициенты pijk (i, j, k=l, …, n) кубичной и последующих форм являются решениями линейных алгебраических уравнений Ляпунова вида (4.1.37), в которых вместо матрицы A нужно подставить матрицу A+ВС' (С – матрица оптимального управления (4.1.2) для линейного объекта), a Q – это известная матрица, составленная из матриц, полученных для предшествующих форм.
PA+A'P+Q = 0
6
Аналитическое конструирование при детерминированных внешних возмущениях
7
Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением
x Ax Bu f; |
x t0 x 0 |
(4.1.54) |
f(t) – μ-мерный вектор внешних возмущений; Ψ – заданная матрица чисел размеров n μ.
Относительно вектора f(t) известно, что:
1) его компоненты ограничены по модулю
|fi(t)|<fi* (i = 1, …, μ),
fi* – заданные числа;
2) функции fi(t) – исчезающие. Это означает, что
lim f t 0
t i
3) вектор f(t) измеряется.
(4.1.55)
(4.1.56)
Требуется найти управление
u = С'х + В'L(t)/2, |
(4.1.57) |
[L(t) – некоторая матрица размеров n n], такое, чтобы на движениях системы (4.1.54), (4.1.57), возбужденных произвольными начальными условиями и внешними возбуждениями, минимизировался функционал (4.1.3):
|
|
|
|
|
(4.1.58) |
||
J x Qx u u dt |
|||
0 |
|
|
|
Отметим, что требование (4.1.56) необходимо для сходимости интеграла (4.1.58).
Аналитическое конструирование регулятора при внешних возмущениях состоит из операций:
1)вычисления матрицы С в соответствии с процедурой 4.1.1 аналитического конструирования при f=0;
2)решения дифференциального уравнения
|
|
|
L P P |
f t |
|
L A BC |
(4.1.59) |
||||
|
|
|
|
|
|
и определения матрицы L(t), входящей в закон оптимального управления (4.1.57).
8
Для доказательства рассмотрим случай n = m = μ=1. В этом случае уравнение (4.1.54) примет вид
x ax bu f
а функционал (4.1.58) запишется как
J ax2 u2 dt
0
Уравнение метода динамического программирования примет вид
|
v |
|
v |
ax f |
1 |
|
v |
|
2 |
qx |
2 |
|
t |
x |
|
|
|
x |
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
Решение этого уравнения будем искать в виде v=px2+l1(t)x+l0(t),
р – неизвестное число,
l1(t) и l0(t) – неизвестные функции.
Для определения этих неизвестных подставим (4.1.61) в (4.1.60):
l1 x l0 2 px l1 ax f 14 2 px l1 2 b2 qx2
(4.1.54')
(4.1.55')
(4.1.60)
(4.1.61)
9
Приравнивая нулю коэффициенты при х2, х, х0, получим уравнения:
2 pa p2b2 q 0;
l1 a pb2 l1 2 p f ;
l0 l1 f 14 l12b2 .
Принимая во внимание, что в соответствии с (4.1.5)
u 12 vx b pbx 12 l1 t b
убеждаемся в справедливости (4.1.57) и (4.1.59).
10