ОиАС-9
.pdf
4.3. Построение регуляторов при неполной
1информации о векторе состояния
Лекция 9
Постановка задачи восстановления
(наблюдения)
2
Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается уравнением
x = A(t)x +B(t)u, x(t0 )= x(0 ) |
(4.3.1) |
и пусть в результате синтеза получено оптимальное управление |
|
u = C'(t)x. |
(4.3.2) |
Реализация этого управления часто затруднена тем обстоятельством, что не все переменные состояния объекта доступны непосредственному измерению, а можно измерить лишь компоненты некоторого r-мерного вектора y, связанные с переменными состояния соотношением
y=D(t)х. |
(4.3.3) |
В связи с этим возникает задача восстановления (наблюдения, оценки) вектора x(t) по результатам измерения y(t) на интервале [t0, t]. После того как вектор состояния восстановлен, можно реализовать управление (4.3.2), заменяя в нем действительное состояние восстановленным вектором состояния.
Наблюдательполного порядка
3
Рассмотрим вначале простейшее устройство восстановления, которое описывается уравнением
xˆ = A(t)xˆ +B(t)u, xˆ(t0 )= xˆ (0 ) |
(4.3.4) |
Очевидно, что если xˆ (0 ) = x(0 ), то решение уравнения (4.3.4) точно совпадает с решением уравнения (4.3.1).
Если xˆ (0 ) ≠ x(0 ), то возникает ошибка восстановления e = x −xˆ . Она удовлетворяет уравнению
e = A(t)e, e(t0 )= x(0 ) −xˆ (0 ) |
(4.3.5) |
Если объект управления асимптотически устойчив, то ошибка восстановления будет с течением времени уменьшаться
lime(t)= 0
t→∞
Этого ограничения свойств объекта можно избежать, если обратить внимание, что в устройстве восстановления (4.3.4) не используются измеряемые переменные y1(t), ... ,yr(t).
Сравнивая измеренное значение вектора y с восстановленным значением D(t)xˆ , построим наблюдатель с коррекцией по ошибке восстановления. Он описывается уравнением
xˆ = A(t)xˆ +K(t)[y −D(t)xˆ]+B(t)u, xˆ(t0 )= xˆ (0 ) |
(4.3.6) |
K(t) – некоторая матрица размеров n×r, называемая далее матрицей |
|
коэффициентов усиления наблюдателя. |
|
Теперь ошибка восстановления удовлетворяет уравнению |
|
e =[A(t)−K(t)D(t)]e, e(t0 )= x(0 ) −xˆ (0 ) |
(4.3.7) |
Если существует матрица K(t), такая, что наблюдатель (4.3.6) асимптотически устойчив, то в соответствии с (4.3.7) ошибка восстановления e(t)→0 при t→∞.
Для стационарных объектов, описываемых уравнениями |
|
|
x = Ax +Bu, y = Dx |
|
(4.3.8) |
наблюдатель (4.3.7) имеет вид |
|
(4.3.9) |
xˆ = Axˆ +K[y −Dxˆ]+Bu, xˆ(t0 )= xˆ |
|
|
|
(0 ) |
|
где K – матрица чисел размеров n×r.
4
Поскольку размерность вектора состояния наблюдателя (4.3.6) или (4.3.9) равна размерности вектора состояния объекта управления, то такие наблюдатели называются наблюдателями полного порядка.
Известно два метода определения матрицы К, обеспечивающей асимптотическую устойчивость наблюдателя (4.3.6). Изложение обоих методов ограничим стационарным случаем. При этом здесь и далее будем полагать, что объект (4.3.1), (4.3.3) полностью наблюдаем. В стационарном случае условие полной наблюдаемости имеет вид
rank ||D' A'D' ... A'n–lD'||=n. |
(4.3.10) |
Рассмотрим вначале первый из этих методов. Введем новый n-мерный вектор v состояния наблюдателя, связанный с xˆ соотношением
v = Txˆ (xˆ = T−1v) |
(4.3.11) |
Т – неособая числовая матрица (detT≠0) размером n×n. Дифференцируя (4.3.11) с учетом (4.3.9), получим
v = T(A −KD)xˆ +TKy +TBu
5
Учитывая (4.3.11), получим уравнение наблюдателя |
|
v =Γv +Fy +TBu |
(4.3.12) |
Γ=T(A–KD)T–1; F=TK. |
(4.3.13) |
Исключая К из последних соотношений, заключаем, что |
|
TA – ΓT = FD. |
(4.3.14) |
Непосредственно из (4.3.12) следует, что для устойчивости устройства восстановления необходимо и достаточно, чтобы собственные числа произвольной матрицы Γ имели отрицательные вещественные части. Матрица T, входящая в уравнение (4.3.12), является решением матричного алгебраического уравнения (4.3.14), которое единственно, если матрицы A и Γ не имеют общих собственных чисел. Матрица F (размеров n×r), входящая в уравнение (4.3.14), произвольна.
Наблюдатель, описываемый уравнениями (4.3.11), (4.3.12), и матричное уравнение (4.3.14) для определения его параметров были впервые получены Люенбергером, поэтому уравнения (4.3.11), (4.3.12) часто называют
наблюдателем Люенбергера.
6
Очевидно, что размерность вектора состояний этого наблюдателя может быть
уменьшена на число компонент измеряемого вектора y. Такой наблюдатель называется наблюдателем пониженного порядка (редуцированным наблюдателем). Он описывается уравнениями
xˆ =Sy +Lv |
(4.3.15) |
v =Γv +Fy +TBu |
(4.3.16) |
v – (n–r)-мерный вектор состояний наблюдателя; |
|
S, L, Γ, F, Т – матрицы чисел соответствующих размеров. |
|
Матрицы S и L (размеров n×r и n×(n–r) соответственно) определяются из |
|
уравнения |
|
SD + LT = In. |
(4.3.17) |
Необходимость этого равенства следует непосредственно из (4.3.15), если учесть (4.3.3) и (4.3.11). Действительно, с учетом (4.3.3), (4.3.11) выражение (4.3.15) примет вид
xˆ =SDx +LTxˆ |
(4.3.18) |
Если xˆ (0 ) = x(0 ), то это равенство должно являться тождеством, поэтому необходимо (4.3.17).
Прямоугольная матрица Т находится из уравнения:
7 |
TA – ΓT = FD, |
(4.3.19) |
F – произвольная матрица размеров (n–r) × r. |
|
|
Пример 4.3.1. Рассмотрим объект управления, описываемый уравнениями
x1 |
= x2 |
+b11u |
(4.3.20) |
|
x2 |
=b21u |
|||
|
||||
Пусть непосредственному измерению доступна переменная
y = x1. |
(4.3.21) |
Требуется построить наблюдатель пониженного порядка для восстановления переменной состояния х2.
В соответствии с (4.3.15), (4.3.16) искомый наблюдатель описывается уравнениями
xˆ1 = s11 y +λ11v1 ; |
(4.3.22) |
xˆ2 = s21 y +λ21v1 ; |
|
v1 =γ11v1 + f11 y +(t11b11 +t12b21 )u |
(4.3.23) |
параметры которых находятся из матричных уравнений (4.3.17), (4.3.19), которые в рассматриваемом случае имеют вид:
8
|
s11 |
|
1 0 |
|
+ |
|
λ11 |
|
|
t |
t |
|
= |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
s21 |
|
|
|
λ21 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
0 |
1 |
|
−γ |
|
|
|
t |
t |
|
|
= f |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
(4.3.25) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
s11 + λ11t11 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
11 |
|
|
11 |
12 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
s21 + λ21t11 = 0; |
|
λ11t12 = 0; |
λ21t12 = l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.24') |
||||||||||||||||||||||||||
|
λ11=0; |
|
|
s11 = 1; |
λ21=1/t12; |
s21=– t11/t12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.26) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f11 = – γ11t11; t11 – γ11t12 = 0, (4.3.25') |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
= –f |
|
/γ |
; |
t |
= –f |
11 |
/γ2 |
. (4.3.27) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
11 |
|
|||||||||||||
С учетом (4.3.26), (4.3.27) уравнения наблюдателя (4.3.22), (4.3.23) примут вид:
xˆ1 = x1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xˆ |
2 |
= −γ |
11 |
y −γ112 |
v ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.28) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f11 |
|
|
|
|
f11 |
|
|
v |
|
=γ |
|
v |
+ f |
|
y |
− |
b |
+ |
|
|
b |
u. |
|||
|
11 |
11 |
|
|
|
2 |
|||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
γ11 |
11 |
|
|
|
21 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ11 |
|
|
|||
Из условия устойчивости наблюдателя полагаем γ |
11 |
< 0. |
|||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.3.2. Наблюдатель пониженного порядка для переменных состояния гирорамы. Рассмотрим гирораму, описываемую уравнениями (4.1.20). При f1=0
эти уравнения имеют вид:
x1 = x2 ;
x2 |
= a22 x2 |
+a23 x3 |
; |
(4.3.29) |
|
x3 |
= a32 x2 +a33 x3 +b31u. |
||||
|
|||||
Непосредственному измерению в гирораме доступна лишь одна переменная x1 измеряемая датчиком угла прецессии, поэтому
y = x1. |
(4.3.30) |
Уравнение наблюдателя пониженного порядка в рассматриваемом случае имеет вид:
xˆ1 = s11 y +λ11v1 +λ12v2 ; |
|
|
|
|
|
xˆ2 |
= s21 y +λ21v1 +λ22v2 ; |
|
|
|
(4.3.31) |
xˆ3 |
= s31 y +λ31v1 +λ32v2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v1 |
=γ11v1 |
+ f11 y +t13b31u; |
(4.3.32) |
|
|
v2 =γ22v2 + f |
21 y +t23b31u. |
|||
|
|
||||
Для10 простоты матрица Γ = diag|| γ11, γ22 ||, в которой из условия устойчивости наблюдателя γ11<0, γ22<0.