ОиАС-7
.pdf1 |
|
Лекция 7 |
|
|
|
|
|
|
Аналитическое конструирование регуляторов нестационарных систем
2
Рассмотрим полностью управляемый нестационарный объект, описываемый уравнением
x A t x B t u, |
x t0 x 0 |
(4.1.25) |
A(t) и B(t) известные на интервале [t0, t1], матрицы функций.
Пусть критерий качества имеет вид
t1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
J x Q t x u u dt x t1 P |
x t1 |
|
(4.1.26) |
|||||
|
||||||||
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(t) и Р(1) – заданные положительно-определенные матрицы функций и чисел соответственно.
Требуется найти матрицу C'(t) регулятора
u=С'(t)х, |
(4.1.27) |
при которой на движениях системы (4.1.25), (4.1.27), возбужденных произвольными начальными отклонениями, минимизируется функционал
(4.1.26).
Переходя к решению этой задачи, рассмотрим вначале случай n=m=1. Тогда уравнения системы и функционал оптимизации примут вид:
x a t x b t u
|
u=c(t)x; |
t |
q t x2 u2 dt p 1 x2 t1 |
J 1 |
|
t0 |
|
Функцию v, разрешающую задачу АКОР для нестационарного объекта будем искать в виде v=p(t)x2. Подставляя ее в (4.1.6), получим вместо алгебраического уравнения (4.1.8) дифференциальное уравнение
p t 2 p t a t p2 t b2 t q t
и краевое условие
(4.1.25')
(4.1.27')
(4.1.26')
(4.1.25),
(4.1.28')
p(t )=p(1). |
(4.1.29') |
l |
|
Уравнение (4.1.28') является специальным видом дифференциального уравнения, решение которого изучалось еще в XVIII в. итальянским математиком Винченцо де Риккати, именем которого оно и названо.
|
|
v |
|
v |
|
1 |
|
v |
|
2 |
2 |
|
|
|
3 |
|
t |
|
x |
ax |
|
|
|
x |
b |
qx |
|
(4.1.6) |
0 = 2pax2 – (pb)2x2 + qx2 (4.1.8) |
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае (n>1, m l) уравнение (4.1.28') и краевое условие (4.1.29) имеют вид:
P t P t A t A t P t P t B t B t P t Q t |
|
||
|
|
|
(4.1.28) |
|
|||
|
|
|
|
|
P(t )=P(1). |
|
(4.1.29) |
|
1 |
|
|
Уравнение (4.1.28) называется матричным дифференциальным уравнением Риккати.
Переходя к решению уравнения (4.1.28), введем «новое время» τ=t1 – t и |
|
||||||||||||||||
обозначим P t P t1 |
|
. Тогда (4.1.28) и (4.1.29) примут вид |
|
||||||||||||||
P |
|
||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
A t1 A t1 |
|
|
|
B t1 B t1 |
|
Q t1 |
|
||||
P |
|
||||||||||||||||
|
P |
P |
P |
P |
(4.1.28") |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
d |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
(4.1.29") |
|||||
Таким образом, краевая задача для уравнения (4.1.28) свелась путем введения нового (обратного) времени к задаче решения уравнения (4.1.28") с известным начальным условием (4.1.29"). Для его численного решения можно использовать любой из известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге–Кутта, Эйлера и т. п.).
Решив уравнение (4.1.28"), найдем искомую матрицу
|
C t |
|
t1 t B t |
4 |
P |
Иногда функционал (4.1.26) имеет более общий вид
|
t1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1.26'") |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
J x Q t x u Q |
|
t u dt x |
t1 P |
|
|||||||||||||||
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Q(l)(t) – положительно-определенная матрица размеров m m. Вводя новое |
||||||||||||||||||||
управление |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
H |
1 |
Q |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
u H |
u |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
запишем уравнение (4.1.25) и функционал (4.1.26"') в виде (4.1.25), (4.1.26): |
||||||||||||||||||||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x t1 |
|
||||||
|
|
x Q t |
x u u dt |
x t1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x A t x B t u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1
B t B t H 1
5
Таким образом, оптимальное в смысле функционала объектом (4.1.25) записывается как
|
|
|
|
||
|
u |
C |
t x |
|
|
или |
|
|
C t x C t x |
||
u H |
|
||||
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
в котором
(4.1.26"') управление
C P t B t
C(t)=–P(t)B(t)(Q(1))–1, |
(4.1.30) |
P(t) – решение уравнения Риккати:
|
|
1 |
1 |
|
|
|
B t P t Q t (4.1.28'") |
||
P t P t A t A t P t P t B t Q |
|
|||
|
P(t )=P(1) |
|
|
(4.1.29"') |
|
1 |
|
|
|
6
Численное решение матричного алгебраического уравнения Риккати. Метод Репина – Третьякова
7
Возвращаясь к матричному алгебраическому уравнению Риккати, разрешающему задачу АКОР для стационарных объектов, отметим, что численное решение нелинейных алгебраических уравнений является не менее трудной проблемой, чем решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Однако специфический характер уравнения (4.1.12) и его природа позволили разработать ряд эффективных численных методов его решения:
•Репина – Третьякова,
•Ньютона – Рафсона,
•диагонализации.
Опишем первый из этих методов. В связи с этим положим, что верхний предел в функционале (4.1.3) конечен, и тогда функционал оптимизации имеет вид
t1 |
|
|
t1 |
|
|
(4.1.3) |
|||
J x Qx u u dt |
||||
0 |
|
|
|
|
Конечный верхний предел приводит к тому, что при n=m=1 функцию (4.1.7) следует искать в виде v=p(t)x2. При этом должно выполняться краевое условие v(x(t1)) = 0 (или р(t1)=0). Тогда, повторяя изложенное в начале § 4.1, получим дифференциальное уравнение и краевое условие
P t P t A A P t P t BB P t Q t |
|
||
|
|
|
(4.1.31) |
P t1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вводя, как и в нестационарном случае, τ=t1 – t и обозначая запишем (4.1.31) как
dP P A A P P BB P Q d
P 0 0
P t P t1 P ,
0 t1 |
|
(4.1.31') |
|
|
8
Переходя к методу Репина – Третьякова, отметим, что он опирается на соотношение
lim |
|
P0 |
|
|
P |
(4.1.32) |
|||
|
||||
|
||||
[так как τ изменяется в пределах от 0 до t1, то (4.1.32) имеет смысл, если t1 может принимать различные фиксированные значения, в частности t1 = ].
Из предельного соотношения (4.1.32) следует, что для нахождения положительноопределенной матрицы Р0, удовлетворяющей алгебраическому уравнению Риккати (4.1.12), достаточно решать систему дифференциальных уравнений (4.1.30') до тех пор, пока его решение не установится ( P , не перестанут изменяться во времени τ), и это установившееся решение и есть искомая матрица
Р0.
9
Пример 4.1.2. Численное решение задачи об аналитическом конструировании оптимального регулятора гирорамы. Пусть заданы значения параметров гирорамы (4.1.20) и функционала оптимизации (4.1.22):
а |
22 |
=–300; а |
23 |
= 103; a |
32 |
=–3; a |
33 |
= –1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
b |
31 |
= 10–3; |
|
|
(4.1.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q11 = 1,6 1012; q22 = 3 108; q33=5 109.
Подставляя в правые части уравнений (4.1.23) вместо нулей соответствующие производные
x1 x2 ;
x2 a22 x2 a23 x3 ;
x3 a32 x2 a33 x3 b31u m31 f
|
q11x12 q22 x22 q33 x32 u 2 |
dt |
|
J |
|||
0 |
|
|
|
qii 0; |
i 1,2,3 |
|
|
10
p13b31 2 q11 p11 ;
p11 p12 a22 p13a32 p13b31 p23b31 p12 ;
p12 a23 p13a33 |
p13b31 p33b31 p13 ; |
2 p12 2 p22 a22 |
2 p23a32 p23b31 2 q22 p21 ; |
p22 a23 p23a33 |
p13 a22 p23 a32 p33 p23b31 p33b31 p22 ; |
2 p23a23 2 p33a33 p33b31 2 q33 p33