ОиАС-8
.pdf
Задача о слежении
11
Пусть требуется, чтобы движение объекта (4.1.54) по переменным состояния было близко к некоторому желаемому движению, описываемому с помощью m- мерной вектор-функции xж(t), задаваемой на интервале [t0, t]. Другими словами, x(t) должно следовать (или «следить») за xж(t).
Мера близости вектор-функций x(t) и xж(t) определяется как значение |
|
|||||
функционала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x xж Q0 x xж |
u u |
|
|
|
|
J |
|
|
dt |
(4.1.62) |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, возникает задача о построении управления, при котором этот функционал принимает наименьшее значение.
Покажем, что задача сводится к предыдущей. Действительно, вводя новый вектор e=x – xж, получим, используя (4.1.54), уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e Ae Bu f 1 |
|
x |
|
Ax |
|
Bu |
|
|
|
x |
0 |
(4.1.63) |
|
|
|
f; |
x t0 |
|
|
|
|||||
где f(1)(t) – это n-мерный вектор, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1 t Ax xж f t |
(4.1.64) |
Функционал (4.1.62) принимает вид
|
e Q0e u u dt |
|
J |
(4.1.65) |
|
0 |
|
|
Если f(1)(t) обладает свойством (4.1.56), то оптимальное управление определяется соотношением (4.1.57). 
u = С'х + В'L(t)/2
12
4.2. Аналитическое конструирование дискретных (цифровых) регуляторов
13
Пусть задан объект управления, описываемый разностными уравнениями |
|
х[k + 1]=Фх[k]+Θu[k] (k=0,1,2,...) x(0)=х(0) |
(4.2.1) |
Ф и Θ – заданные матрицы чисел размеров n n и n m соответственно. |
|
Качество переходных процессов для этого объекта оценивается суммой |
|
|
|
N |
|
|
|
|
(4.2.2) |
J |
|
x k Qx k u k 1 Iu k 1 |
|
||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
Q – заданная положительно-определенная матрица. |
|
||||||
Требуется найти матрицы С(k) управления |
|
|
|
||||
|
|
|
u[k]=C'[k]x[k] |
(k=0, 1, 2,...), |
(4.2.3) |
||
при котором функционал (4.2.2) принимает наименьшее значение при любых х(0).
Аналитическое конструирование регуляторов для дискретных объектов состоит из операций:
1) вычисления матриц P[N–j] (j=l,…, N) на основе рекуррентного соотношения
P[N–j] = Φ'(Q+P[N–j+1])Φ –
–Φ'(Q+P[N–j+1])Θ(Θ'(Q+P[N–j+1])Θ+I)–1Θ'(Q+P[N–j+1])Φ (4.2.4) (j = 1, …, N)
|
P[N]=0; |
(4.2.5) |
2) |
нахождения |
|
|
C'[N–j] = –{Θ'(Q+P[N–j+1])Θ+I}–1Θ'(Q+P[N–j+1])Φ (j = 1, …, N) |
(4.2.6) |
3) |
определения матрицы коэффициентов усиления регулятора |
|
|
C'[k]= C'[N–j] (j = 1, …, N) |
(4.2.7) |
14
Докажем эти соотношения при n=m=1. В этом случае объект (4.2.1) и функционал (4.2.2) принимают вид
x[k+1] = fx[k] + θu[k] (k = 0, 1, 2,…) |
(4.2.8) |
N |
|
J qx2 k u2 k 1 |
(4.2.9) |
k 1 |
|
Для нахождения оптимального управления |
|
u[k] = c[k]x[k] |
(4.2.10) |
применим принцип оптимальности, рассмотренный в § 2.3. |
|
В соответствии с этим принципом независимо от того, как двигалась система до последнего шага (до интервала [(N–1), N]), управление (u[N–1]) на последнем шаге должно быть оптимальным (относительно состояния, возникшего в результате первых N–1 шагов).
15
Частичная сумма, которую необходимо минимизировать на последнем шаге, имеет вид
J(N–1) = qx2[N] + u2[N–1] = q(fx[N–1] + θu[N–1])2 + u2[N–1].
Используя необходимое условие экстремума этой суммы
J N 1
2q fx N 1 u N 1 2u N 1 0u N 1
получим оптимальное управление на последнем участке
u N 1 |
|
qf |
x N 1 |
||||
|
q 2 |
||||||
|
|
1 |
|
||||
При оптимальном управлении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 f 2 2 |
|
N 1 p N 1 x2 N 1 |
|||
min J N 1 v N 1 qf 2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
1 |
2 |
q |
|||||
|
|
|
|
|
|||
p N 1 qf 2 q2 f 2 2
1 2 q
(4.2.11)
(4.2.12)
(4.2.13)
(4.2.14)
(4.2.15)
16
Переходя к нахождению управления на предпоследнем шаге (интервале
[N – 2, N – 1]), запишем частичную сумму, которую должно минимизировать это управление:
|
J(N–2)=qx2[N–1] + u2[N–2] + v(N–1) = |
|
|
|
|
|
|||
|
=(q + p[N–1])x2[N–1] + u2[N–2] = |
|
|
|
|
(4.2.16) |
|||
|
=(q + p[N–1])(fx[N–2] + θu[N–2])2 + u2[N–2] |
|
|||||||
|
|
|
J N 2 |
|
|
|
|
|
|
Используя необходимое условие минимума |
u N 2 0 |
, получим оптимальное |
|||||||
управление на предпоследнем участке |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
q p N 1 f |
|
|
|
|
|
||
|
u N 2 |
|
x N 2 |
|
|
|
(4.2.17) |
||
|
1 q p N 1 2 |
|
|
|
|||||
При этом управлении частичная сумма (4.2.16) примет значение |
|
|
|||||||
min J N 2 |
v N 2 q p N 1 f 2 |
q p N 1 2 |
f 2 2 |
x2 |
N 2 |
(4.2.18) |
|||
|
|
1 q p N 1 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
p N 2 x2 N 2 |
|
|
p N 2 q p N 1 f 2 |
|
q p N 1 2 f 2 2 |
17 |
|
1 q p N 1 2 (4.2.19) |
Продолжая этот процесс, дойдем до j-го (от конца) участка
(интервала (N – j, N – j+ 1]). Частичная сумма, которую нужно минимизировать управлением u(N – j), имеет
J(N–j)=qx2[N–j+1] + u2[N–j] + v(N–j+1) = |
|
|||||||
=(q + p[N–j+1])x2[N–j+1] + u2[N–j] = |
(4.2.20) |
|||||||
=(q + p[N–j+1])(fx[N–j] + θu[N–j])2 + u2[N–j]. |
|
|||||||
Оптимальное управление |
q p N j 1 f |
|
|
|
|
|
|
|
u N j |
|
|
x N j c N j x N j |
(4.2.21) |
||||
|
q p N j 1 2 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
c N j |
|
|
q p N j 1 f |
(4.2.22) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 q p N j 1 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Значение частичной суммы (4.2.20) при этом управлении |
|
|||||||
min J(N–1) = v(N–1) = p[N–j]x2[N–j] |
(4.2.23) |
|||||||
p N j q p N j 1 f |
2 |
|
q p N j 1 2 f 2 2 |
(4.2.24) |
||||
|
|
|
|
|
|
1 q p N j 1 2 |
|
|
18
Полагая в (4.2.6), (4.2.4) n=m=1, убеждаемся, что они совпадают с (4.2.22), (4.2.24) соответственно. Если в функционале (4.2.2) верхний предел N , то оптимальное управление (4.2.3) принимает вид
u[k] = C'x[k] (k=0,l,2,...), |
(4.2.25) |
C' – матрица чисел, определяемая из условия
|
|
(4.2.26) |
C |
lim C N j |
|
|
N , j |
|
19
Пример 4.2.1. Аналитическое конструирование дискретного (цифрового) регулятора гирорамы. Пусть требуется найти цифровой регулятор
u[k]= c1x1[k] + c2x2[k] + c3x3[k] (k=0, ,1, 2,...), |
(4.2.27) |
при котором на движениях гирорамы, описываемой уравнениями (4.1.20) (при f=0), минимизируется функционал
N |
k q22 x22 k q33 x32 k u2 k 1 |
|
J q11 x12 |
(4.2.28) |
|
k 1 |
|
|
Переходя к численному решению этой задачи, сформируем вначале дискретную модель гирорамы. Для этого вычислим матрицу Φ и вектор Θ. При значениях параметров гирорамы a22=–400, a23= 103, a32 = – 10, b31=10–2 получим при T0=0,015
|
0,192 10 2 |
0,279 10 1 |
|
|
|
|
0,19 10 15 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
0 |
0,477 10 1 |
0,192 10 |
|
; |
|
|
0,279 10 3 |
(4.2.29) |
|
0 |
0,192 10 1 |
0,72 |
|
|
|
|
0,131 10 3 |
|
Используя эти матрицы, а также значения параметров функционала (4.2.28), q11=1010, q22=q33=0, получим на основе (4.2.4), (4.2.6), (4.2.26) искомые числа:
c |
= –0,686 105; c |
2 |
= –0,728 102; c |
3 |
= –0,414 104. |
(4.2.30) |
1 |
|
|
|
|
20