Мат_методы в горном деле

Рис.2.2. Заполнение диалогового окна Поиск решения

10. В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных ) — A2:C2.

11.Чтобы определить набор ограничений, щелкнем на кнопке Добавить.

Вдиалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку мышью ука-

жем диапазон А2:С2. В качестве условия зададим <=. В поле Ограничение мы-

шью зададим диапазон А6:С6 (рис. 2.3). Щелкнем на кнопке ОК.

Рис.2.3. Заполнение диалогового окна Добавление ограничения

12. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон A2:C2. В качестве условия зададим >=. В поле Ограничение зададим число 0. Это условие указывает, что объѐм добычи неотрицателен. Щелкнем на кнопке ОК. Аналогично укажем ограничения по величине затрат на транспорт и по качеству руды.

13.Щелкнем на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откро-

ется диалоговое окно Результаты поиска решения.

14.Установим переключатель Значения параметров в положение Сохранить найденное решение, после чего щелкнем на кнопке ОК.

Таким образом, оптимальный план эксплуатации карьера по участкам на рассматриваемый период предусматривает следующие объемы добычи, тыс.т.:

.

Это обеспечит максимально возможную в данных условиях суммарную добычу в объеме Vmax=500 тыс.т. (рис. 2.4).

10

Рис.2.4. Результат вычислений задачи «Планирование добычи руды заданного состава»

Проанализируем полученное решение. Значение переменной показывает, что на участке № 3 следует запланировать максимально возможную добычу, в то время как на первых двух участках максимальная нагрузка не планируется.

Значение в ячейке D3=8690 показывает, что затраты на транспорт достигают предусмотренной условиями задачи величины 8690 руб., что, естественно, связано с максимизацией добычи. Так как Е5=0, второе (правое) ограничение по качеству выполняется как равенство. Это значит, что среднее содержание Р2О5 составит 7 %.

Таким образом, дальнейшее увеличение добычи по карьеру сдерживается следующими «узкими местами»:

максимально возможной добычей на участке № 3; максимально допустимыми затратами на транспорт;

необходимостью поддерживать содержание Р2О5 на уровне, не превышающем 7 %.

Решение задачи методом линейного программирования позволило не только найти оптимальный план, но и выявить «узкие места», сдерживающие дальнейший рост величины добычи.

Составление парка буровых станков

Планом работ экспедиции предусматривается пробурить 300 скважин с объемом перевозок 10 км и 100 скважин с объемом перевозок 50 км. Для бурения таких скважин могут быть использованы стационарный буровой станок ЗИФ-650М и самоходные установки УКБ-300/200 и УРБ-ЗАМ. Нормативная производительность этих станков и стоимость бурения одной скважины в соответствующих условиях приведены в табл. 2.2.

Зная, что число станков не может быть больше 20, определить структуру парка станков экспедиции таким образом, чтобы выполнить план работ с наименьшим расходом.

Обозначим - число станков i-го вида, используемых при бурении k-го вида скважин (). Составим математическую модель задачи.

Целевая функция — стоимость бурения всех скважин.

Ограничения:

а) по общему количеству станков

;

б) по количеству скважин каждого вида

;

;

в) по неотрицательности искомых величин

.

Теперь можно приступать к решению задачи на компьютере.

1.Создадим новый рабочий лист (Shift+F11).

2.На листе в ячейки H3:H5 занесем правые части ограничений - числа 20, 300 и 100 соответственно.

3.В ячейки A2:F2 занесем начальные значения неизвестных - (нули).

4.В ячейках диапазона A3: F5 разместим коэффициенты при неизвестных из левых частей ограничений.

Рис.2.5. Результат ввода данных

5. В ячейках G3:G5 укажем формулы для расчета левых частей неравенств. В ячейке G3 формула будет иметь вид =СУММПРОИЗВ($A$2:$F$2;A3:F3), а остальные формулы получим методом автозаполнения.

6.В ячейки A6:F6 занесем значения производительности станков. В ячейки A7:F7 - значения стоимости бурения.

7.В ячейку F2 занесем формулу целевой функции =СУММПРОИЗВ(A2:F2;A6:F6;A7:F7). Результат ввода данных в рабочую таблицу

представлен на рис. 2.5.

12

8. Дадим команду Данные→Поиск решения — откроется диалоговое окно

Поиск решения.

9. В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение (I2) (рис. 2.6). Установим переключатель Равной в положение минимальному значению (требуется минимальная стоимость бурения).

Рис.2.6. Заполнение диалогового окна Поиск решения

10. В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных ) — A2:F2.

11. Для ввода ограничений щелкнем по кнопке Добавить, и выполним действия так же, как в первой задаче. Так как число станков не может быть дробным, введем требование их целочисленности. Для этого в окне Добавление ограничения укажем диапазон A2:F2, и выберем пункт цел (рис. 2.7). После ввода всех ограничений нажимаем Выполнить.

Рис.2.7. Указание целочисленности искомых величин

Полученное решение (рис. 2.8) показывает, что парк буровых станков экспедиции должен составить 20 самоходных установок УКБ-300/200, из которых 15 должны использоваться для бурения скважин с объемом перевозок 10 км, а остальные — для скважин с объемом перевозок 50 км. Это позволит обеспечить минимальную стоимость бурения всех скважин, равную 310 400 руб.

13

Рис.2.8. Результат вычислений задачи «Составление парка буровых станков»

Оптимальный план не предусматривает использования буровых станков двух других типов, поскольку это увеличивает стоимость бурения. Если использование каких-то станков в реальных условиях является обязательным, то это можно учесть в результате включения в исходную модель дополнительных ограничений снизу на количество станков определенного вида. Пусть, например, количество стационарных буровых станков ЗИФ-650М не может быть меньше 3. Тогда в исходную модель следует добавить ограничение

и решить задачу заново.

Рис.2.9. Результат вычислений задачи «Составление парка буровых станков» с дополнительным ограничением

Решение задачи с новыми условиями (рис. 2.9) предусматривает использование станков всех типов. При этом минимальная стоимость работ увеличивается на 7,3%.

Это лишний раз показывает, что к разработке математической модели любой задачи следует подходить с особой тщательностью. Если какие-то существенные ограничения не включены в модель, то полученное решение может им не удовлетворять, что потребует пересмотра исходной модели на этапе анализа полученного решения.

14

Планирование нагрузок на лавы угольной шахты

По каждой из четырех лав угольной шахты известны: среднемесячная себестоимость 1 т угля, минимально и максимально возможные нагрузки, а также зольность угля и содержание в нем серы (табл. 2.3).

Планирование максимальных нагрузок на все лавы одновременно недопустимо из-за недостаточной пропускной способности подземного транспорта и подъемного оборудования. С учетом этого месячная добыча шахты должна составлять 50 000 т. Кроме того, средняя зольность угля и содержание серы в нем в целом по шахте не должны превышать соответственно 20% и 4 %. Требуется таким образом распределить месячные нагрузки на лавы, чтобы в данных условиях себестоимость 1 т угля по шахте была минимальной.

Обозначим через искомую величину нагрузки в тыс. т на i-ю лаву, где . Составим математическую модель задачи.

Целевая функция — себестоимость 1 т угля по шахте

.

Ограничения:

а) по месячной добыче шахты

;

б) по зольности угля

;

в) по содержанию серы в угле

;

г) по допустимым нагрузкам на лавы

.

Отметим, что условия неотрицательности искомых величин автоматически вытекают из последней группы ограничений и поэтому не включены в модель отдельно.

Заполнение таблицы в Excel выполняем по вышеуказанному алгоритму:

1.В ячейках А3:D3 указываем начальные значения величин ;

2.В ячейки А3:D5 вводим коэффициенты ограничений по месячной добыче, по зольности и по содержанию серы;

3.В ячейки А6:D6 вводим величины минимальных нагрузок;

4.В ячейки А7:D7 - величины максимальных нагрузок;

5.В ячейках А8:D8 указываем себестоимость тонны угля для каждой лавы;

15

6.В ячейки Е3:Е5 вводим формулы для расчета левых частей неравенств:

=СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A3:D3); =СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A4:D4); =СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A5:D5);

7.В ячейку G2 записываем целевую функцию

=СУММПРОИЗВ(A2:D2;A8:D8)/50 (рис.2.10).

Рис.2.10. Результат ввода данных

Система ограничений не имеет каких-либо особенностей и записывается обычным образом (рис 2.11).

Рис.2.11. Заполнение диалогового окна Поиск решения

Решение задачи, полученное с помощью Excel (рис.2.12), устанавливает оптимальный план работ при заданных условиях. Нагрузка на первые две лавы должна быть минимальной и составлять 6 и 8 тыс. т. соответственно, на лаву № 4 она должна быть максимальной и составлять 20.тыс. т, и на лаву № 3 она должна составлять промежуточную величину 16 тыс. т. Такой план позволяет достичь минимальной себестоимости 1 т угля по шахте 2,56 руб. При этом достигнуты следующие показатели: по месячной добыче шахты 50 тыс.т., по золь-

16

Какими системами разработки на участках можно обеспечить выполнение плановых и технологических ограничений с минимальными суммарными затратами на добычу?

Обозначим через искомый объем добычных работ на i-м участке при использовании j-й системы разработки ().

Запишем математическую модель задачи.

Целевая функция — суммарные затраты на добычу

.

Ограничения:

а) по плановой добыче

;

б) по качеству руды

в) по общему объему добычи участков с учетом запасов

;

;

г) по неотрицательности искомых объемов добычи

.

После необходимых преобразований ограничение «б» запишем в виде двух неравенств:

;

.

Заполняем таблицу Excel аналогично алгоритму для решения задачи планирования нагрузок на лавы. Исходная таблица с данными и формулами представлена на рис. 2.13.

Рис.2.13. Заполнение исходных данных

18

В результате получено следующее решение (рис.2.14):

Рис.2.14. Решение задачи оптимального сочетания

Это значит, что и на первом и на втором участках следует применять только II систему разработки, добывая соответственно по участкам 200 и 300 тыс. т руды. При таком планировании минимальные затраты на добычу составят 950 тыс. руб.

Значения в ячейках F3=500 и F5=0 показывают, что первое и третье ограничения выполняются как равенства, т.е. суммарная добыча составит 500 тыс.т, а содержание полезного компонента 7,2 %.

Глава 3. Двойственные задачи линейного программирования

Важную роль в теории ЛП играют так называемые двойственные задачи. Установлено, что с каждой задачей ЛП тесно связана другая, тоже линейная, причем связь настолько тесная, что зная решение одной из них, можно легко получить решение другой. Эти задачи получили название двойственных, отношение двойственности взаимно: каждая из них является двойственной по отношению к другой. Неизвестные, получаемые в результате решения двойственной задачи, играют важную роль при экономическом анализе исходной задачи. Кроме того, на теории двойственности основаны некоторые методы решения, например, двойственный симплекс-метод.

Рассмотрим в качестве примера задачу распределения ресурсов. Любое горное предприятие, выпуская продукцию, расходует различные ресурсы: материальные, трудовые и денежные. К материальным ресурсам относятся сырье и материалы, оборудование и топливо и т. д.

Зная имеющееся в наличии количество ресурса каждого вида, его удельный расход на выпуск продукции каждого вида, а также прибыль от выпуска единицы продукции, нужно спланировать выпуск продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Чтобы составить математическую модель задачи, введем обозначения: т - количество различных видов ресурсов;

i - индекс ресурсов ();

п - количество различных видов продукции, например сортов угля;

19