Мат_методы в горном деле

торую назовем потенциалом пункта аi, и каждому пункту назначения bk величину vk - потенциал пункта bk. Свяжем эти величины равенством

(4.5)

где - стоимость перевозки одной единицы груза из пункта аi в пункт bk. Доказано, что совокупность уравнений (4.5), составленных для всех ба-

зисных переменных, является совместной системой линейных уравнений, причем значение одной из переменных можно задавать произвольно, и тогда значения остальных переменных находятся из системы однозначно.

Обозначим для свободных переменных сумму соответствующих потенциалов через , т.е.

(4.6)

и назовем ее косвенной стоимостью (в отличие от данной стоимости ). Тогда коэффициенты при свободных переменных в соотношении (4.4) определяются с помощью равенства

является оптимальным. Если же среди них имеются отрицательные, то переходим к следующему базису путем перемещения перевозки в клетку, где величина максимальна.

Перемещение производится так, что по отношению к выбранной клетке образуется замкнутая ломаная, называемая циклом пересчета. Одна из вершин цикла находится в выбранной свободной клетке, другие – в заполненных. В каждой вершине ломаной встречаются два звена, одно из которых располагается по строке, другое – по столбцу. Далее каждой клетке в цикле поочередно присваиваются знаки «+» и «-», начиная со свободной. Перевозка, перемещаемая по циклу, равна минимуму среди клеток со знаком «-».

Иногда перевозка, перемещаемая по циклу, может оказаться равной нулю. В таком случае по циклу передается нулевая перевозка, и тогда свободная клетка становится занятой нулевой перевозкой, а клетка с нулевой перевозкой – свободной. Если при перемещении перевозки по циклу образуется нуль сразу в нескольких заполненных клетках, то свободной из них следует считать только одну (любую), остальные клетки (из обнулившихся) следует считать заполненными нулевой перевозкой.

Таким образом, правила вычислений по методу потенциалов сводятся к следующему:

1.Находят потенциалы ui и vk всех пунктов отправления аi и потребления bk на основе равенства (4.5).

2.Полученный план перевозок считают оптимальным, если для всех свободных переменных (клеток) выполняется условие

наибольшим отрицательным коэффициентом при свободной переменной в правой части функции L.

30

4.Для выбранной в п.3 переменной находят соответствующий ей цикл пересчета и производят перемещение по этому циклу. Это перемещение приводит к новому допустимому решению.

5.Вышеуказанные операции 1-4 повторяют до тех пор, пока не получат оптимальный базис, т.е. неотрицательные коэффициенты при свободных переменных в правой части линейной функции L.

Планирование объемов перевозок

Три шахты поставляют на обогатительные фабрики уголь одной марки. Объем суточной добычи шахт, суточная мощность фабрик и стоимость транспортирования 1 т угля представлены в таблице 4.2.

Требуется составить такой план перевозок, чтобы обеспечить минимум общей суммы транспортных расходов.

Аналитический метод решения

Данная задача закрытого типа, так как сумма запасов равна сумме спроса:

Целевая функция будет иметь следующий вид:

Построим допустимое исходное базисное решение по методу северозападного угла (табл.4.3).

На основе равенства (4.5) составим систему для вычисления потенциалов и :

Присвоим первому поставщику потенциал . Тогда , , , , . Найденные значения потенциалов и значения величин запишем в таблицу 4.3 с исходным базисным решением

Проверим имеющийся план перевозок на оптимальность с помощью условия (4.8). Для удобства запишем в виде матрицы

.

Очевидно, что исходное решение не является оптимальным, так как среди имеются отрицательные. Для улучшения плана необходимо переместить перевозку в клетку, где разность максимальна, т.е. в клетку (1;4). Поме-

тим ее знаком «+» и построим для нее цикл пересчета. В клетках со знаком «-» минимальное число перевозок равно 20. Это число и перемещаем по циклу. Результат заносим в новую таблицу 4.4.

Матрица коэффициентов

.

Здесь также имеются отрицательные элементы. Поскольку все они равны, то выберем одну из клеток с меньшей стоимостью перевозки. Например, клетку (3;1), и составим для нее цикл пересчета. Результаты в табл. 4.5.

32

Матрица коэффициентов

.

В матрице оценок для последней итерации нет отрицательных элементов. Это значит, что полученное распределение перевозок оптимальное.

Построим допустимое исходное базисное решение по методу минимальной стоимости и рассчитаем потенциалы (табл.4.6).

.

Здесь только один отрицательный элемент в клетке (3;3). Нетрудно видеть, что после перемещения перевозок по циклу, получится то же самое решение, которое было получено выше (табл.4.5).

33

Метод решения средствами Excel

Оптимальный план перевозок в табличном процессоре Excel найдем также с помощью надстройки «Поиск решения». Главное отличие этого метода в том, что не нужно находить базисное решение.

1.Для выполнения расчетов создадим две отдельных матрицы (рис.4.1). В ячейках B4:E6 будет отображаться искомый план перевозок, а в ячейках B13:E15 запишем стоимости перевозок .

2.В ячейки F4:F6 запишем условия (4.1).

3.В ячейки G4:G6 запишем значения объемов добычи.

4.В ячейки B7:E7 запишем условия (4.2).

5.В ячейки B8:E8 запишем значения мощностей.

6.В ячейку F8 запишем сумму мощностей обогатительных фабрик. В ячейку G7 – сумму объемов суточной добычи шахт. Равенство значений подтверждает, что данная задача закрытого типа.

7.В ячейку F11 запишем целевую функцию

=СУММПРОИЗВ(B4:E6;B13:E15)

Рис.4.1. Исходный вид транспортной задачи с формулами

8.Далее открываем диалоговое окно Поиск решения (рис.4.2), в котором указываем необходимые параметры. Чтобы значение целевой функции было минимальным, установим переключатель в положение Ми-

нимум. В поле Изменяя ячейки переменных вводим матрицу плана пере-

возок. В следующем поле указываем соответствующие ограничения.

В поле Выберите метод решения можно выбрать или нелинейный метод обобщенного понижающего градиента (ОПГ) или симплекс-метод. Так как наша задача относится к линейным, то выбираем метод решения симплекс-методом и нажимаем кнопку Найти решение.

34

Рис.4.2. Параметры поиска решения транспортной задачи

9.После окончания работы программы откроется окно результатов, в котором будет предложено сохранить результат или вернуться в предыдущее окно.

Рис.4.3. Решение симплекс-методом

35

При выборе симплекс-метода получаем план, который отличается от того, который был получен аналитическим методом, но также отвечающий условиям оптимальности (рис.4.3). При выборе метода ОПГ получим решение, которое совпадает с аналитическим решением (рис.4.4). В обоих случаях минимальные транспортные издержки составят 2550 денежных единиц, что на 5% меньше, чем по базисному плану.

Рис.4.4. Решение по методу ОПГ

Часто при решении горно-экономических задач встречается ограничение пропускной способности маршрутов, особенно при синтезе горных выработок. Предположим, что по маршруту 2-2 можно перевезти не более 100 т. В этом случае решение задачи с помощью Excel легко получить, добавив дополнительное ограничение, что значение в ячейке С5 меньше или равно 100. Полученное при этом условии решение (рис.4.5) отличается возросшей величиной транспортных издержек. Это подтверждает важный принцип оптимизации: дополнительные ограничения, влекущие за собой изменение плана, всегда приводят к ухудшению оптимального решения задачи. Это же касается и случаев волевого принятия решений типа обязательных поставок.

Рис.4.5. Решение задачи с ограничением пропускной способности

Многоэтапные транспортные задачи

При планировании перевозок в ряде случаев возникает необходимость доставки груза через перевалочные пункты. Предполагается при этом, что часть груза может доставляться непосредственно на конечные пункты - потребителю. Перевалочные пункты имеют ограниченную пропускную способность, которая может быть как меньше, так и больше мощности поставщиков.

36

Методику решения задачи рассмотрим на следующем примере. Пусть на карьере имеется три вскрышных забоя, откуда порода автотранспортом может доставляться либо непосредственно в отвалы, либо на два перевалочных пункта. От этих пунктов конвейерным транспортом порода доставляется в те же отвалы (рис. 4.6). Известна стоимость транспортирования 1 м3 вскрышных пород автомобильным и конвейерным транспортом. Необходимо составить такой план перевозок, чтобы суммарная стоимость доставки породы в отвалы была минимальна.

Рис.4.6. Схема транспортирования вскрышных пород

Таблица 4.7

Исходные данные

В данной задаче перевалочные пункты выполняют двойную роль, поскольку они являются как пунктами назначения, так и пунктами отправления. Объемы суточных перевозок, пропускная способность перевалочных пунктов и стоимость транспортирования 1 м3 пород приведены в табл. 4.7. Из таблицы видно, что суммарная пропускная способность перевалочных пунктов и приемная способность отвалов больше суммарной производительности вскрышных забоев. По условию задачи между перегрузочным пунктом № 4 и пунктом № 7 перевозки не осуществляются, поэтому оценки соответствующих клеток принимаются равными М (сколь угодно большому числу). Перевалочный пункт № 4 связан с отвалом № 5, а перевалочный пункт № 7 - с отвалом № 6, поэтому для маршрутов 4-4 и 5-3 также введены оценки, равные М. Очевидно, что данная задача относится к открытым транспортным задачам, и для нее должен быть добавлен фиктивный поставщик с мощностью 4100 м3,

Поскольку перевалочные пункты выполняют роль и поставщиков и потребителей, то стоимость перевозок из перевалочного пункта до него же должна быть равна нулю. Это реализовано нулевыми оценками стоимости перевозок в клетках (4,1) и (5,2). По этой же причине задача является вырожденной.

Решение задачи найдем с помощью Excel. Для этого выполним действия, аналогичные приведенным выше. В качестве сколь угодно большого числа М примем 1010. Стоимости перевозок от фиктивного поставщика равны нулю. На рис.4.7 приведен полученный оптимальный план перевозок.

Рис.4.7. Решение многоэтапной транспортной задачи

38

Проанализируем полученное решение. Из забоя № 1 вся порода направляется в отвал № 5, так как непосредственное транспортирование из забоя в отвал обходится дешевле (10 ден.ед. за 1 м3), чем через перевалочный пункт № 4 (12 ден.ед. за 1 м3). Из забоя № 2 700 м3 породы направляется на перевалочный пункт № 4, а остальные 1800 м3 - на перевалочный пункт № 7. Из забоя № 3 вся порода направляется на перегрузку в пункт № 7. Таким образом, пропускная способность перевалочного пункта № 7 используется полностью, а № 4 - частично. В отвал № 5 направляется 4900, а в отвал № 6 - 6000 м3 породы. Груз, сосредоточенный в строке фиктивного поставщика, соответствует резерву приемной способности отвалов. Объем перевозок, помещенный в клетке (4,1), показывает, что пропускная способность перевалочного пункта № 4 в сутки недоиспользуется на 5300 м3.

Транспортная задача в условиях карьера имеет существенную особенность. Расстояния перевозок грузов из забоев, определяющие целевую функцию, изменяются с довольно значительной скоростью (скорость подвигания забоев). Использование в модели средних расстояний значительно упрощает задачу, однако при этом важен выбор периода, для которого решается задача. Очевидно, что таким периодом должен быть максимальный для заданных технологических условий срок, в течение которого величина изменения расстояния транспортирования не выходит за пределы установленной точности (например, 10%). Анализ соотношения указанных величин позволяет сделать следующие рекомендации [5]:

1.Для одного карьера, когда в качестве пунктов погрузки рассматриваются отдельные забои, целесообразно решать задачу на неделю или декаду.

2.Для группы карьеров, имеющих общую транспортную сеть, задача может решаться на период от месяца до одного года.

Решение задачи при оперативной организации производства нецелесообразно, за исключением случаев, когда меняется число и расположение пунктов погрузки и приема грузов.

Рассмотренные частные особенности транспортной задачи, а также ряд других особенностей, связанных с условиями горного производства, предопределяют следующие разновидности задачи:

а) перевозки между отдельными пунктами предопределены (например, руду данного сорта принимает только определенный потребитель);

б) отдельные перевозки запрещены (некоторые потребители по технологическим условиям не могут принимать сырье определенного качества или данные перевозки не могут быть осуществлены по техническим причинам);

в) перевозят взаимозаменяемые продукты разного качества (например, уголь различных сортов) - всем потребителям или части;

г) некоторые потребители принимают груз от какого-либо поставщика в ограниченных количествах (например, в связи с недостаточной приемной способностью конечных пунктов);

д) при перевозке груз проходит промежуточную переработку (перегрузка, предварительное дробление и т.д.).

39