Основные определения теории приближенных вычислений

Прежде чем производить вычисления по какой-либо формуле, необходимо уяснить, какие из чисел, подставленных, в формулу, точные, а какие - приближенные. К точным числам относятся: целые числовые коэффициенты и показатели степеней, встречающиеся в физических формулах; числа, заданные определением; (нормальное атмосферное давление, относительные электрическая и магнитная проницаемости вакуума и т.д.); результаты счета предметов, если возможность ошибки исключена. К приближенным числам относятся: результаты измерения физических величин; округленные значения точных чисел; результаты счета большого числа объектов, когда возможность ошибки не исключена; табличные значения физических величин; иррациональные числа. Приближенные числа, полученные при различных математических операциях или взятые из таблиц, могут иметь различное количество цифр. В приближенных числах записывают только верные цифры и одну (последнюю) сомнительную. Неверные цифры отбрасывают.

Любое число при его десятичной записи может быть представлено в виде:

,

где , и т.д. - цифры, стоящие в соответствующих местах (десятичных разрядах) числа,- показатель степени, характеризующий высший десятичный разряд числа,- число разрядов, если считать высший разряд первым.

Например: . Понятие верной цифры является условным. Существуют два способа определения числа верных знаков: один из них предъявляет более жесткие требования к точности приближенного числа, другой - менее жесткие. В настоящее время используются оба способа, хотя для округленных чисел предпочтительнее более жесткий способ. Приведем его определение.

Количество верных цифр приближенного числа зависит от его абсолютной погрешности. Первые десятичных знаков приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого приближенного числа не превышает половины единицы низшего сохранения его разряда, т.е., соблюдается условие. Величинаявляется в данном случае абсолютной, продельной погрешностью. Например, константа Планка- приводится в таблице мировых постоянных в виде:Дж. Абсолютная погрешность числа, высший десятичный разряд константы Планка.Приравнивая показатели степени для десяти, найдем, что неравенство выполняется при. Следовательно, в числе 6,626176 верны будут пять цифр: 6,6261. Цифра, стоящая за последней верной, называется сомнительной. Остальные цифры неверные и должны быть отброшены путем округления.

При округлении необходимо пользоваться следующими правилами:

I) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из оставляемых не изменяется; 2) если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то к последней из оставляемых прибавляется единица. Исключением из этих правил является округление погрешностей (см. далее).

Кроме понятия верных и неверных цифр вводится еще понятие, значащих и незначащих цифр приближенного числа. Значащими цифрами приближенного числа являются все верные цифры и одна сомнительная, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, у числа 63, 458 пять значащих цифр, а у числа 0,006 - одна. Нули, стоящие позади значащих цифр, могут быть значащими и незначащими. Если эти нули получались в результате округления больших чисел, то они незначащие. Например, скорость света в вакууме, по данным опытов, равна 299 792,5 км/c. Это число обычно округляется до 300 000 км/c. В последнем случае у числа лишь одна значащая цифра. Если же нули означают, что последние разряды пустые, но верные (один сомнительный), то их необходимо считать значащими. Например, у числа 2080 четыре значащие цифры. Незначащие цифры нужны для того, чтобы задать порядок числа.

Для удобства проведения математических действий над приближенными числами последние представляют в так называемой нормальной форме: значащие цифры распределяют так, чтобы первая стояла в разряде единиц остальные - в десятичных разрядах после запятой, и к числу приписывается множитель вида 10 , где - целое число.

Например, число 0,0348 в нормальной форме имеет вид , число 30 100 -. Удобство такой записи состоит в том, что в числе остаются только значащие цифры, а незначащие "уходят" в степень десяти.

Рассмотрим, как округляют погрешности. Погрешности, в отличие от других приближенных чисел, округляются всегда в сторону увеличения и, как правило, до одной значащей цифры. Если погрешности выражаются числами ±1,837; ±0,065; ±0,00845, то следует писать соответственно, ±2; ±0,07; ±0,009. При округлении погрешности в сторону увеличения возмогло неоправданное ее завышение, поэтому в погрешностях сохраняют две, значащие цифры в тех случаях, когда старшая значащая цифра этого числа меньше пяти: 1,137 → 1,2; 205,3 → 210

Приложение 1.2