Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Физика._Механика.doc
Скачиваний:
432
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
5.46 Mб
Скачать

Контрольные вопросы

  1. В каком случае к системе снаряд-маятник можно применить законы сохранения?

  2. Дайте определение момента силы, момента инерции твердого тела?

  3. Запишите законы сохранения момента импульса и механической энергии для баллистического маятника до и после попадания в него снаряда.

  4. Получите дифференциальное уравнение колебания баллистического маятника.

  5. Как в данной задаче можно определить момент инерции маятника?

  6. Сформулируйте теорему Гюйгенса - Штейнера и укажите, где она применяется в данной задаче.

Литература

  1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М., 1986. 223 с.

  2. Иверонова В.И. Физический практикум, ч.1, Механика и молекулярная физика. М., 1967, 260 с.

  3. Савельев И.В. Курс общей физики. М., Наука. 1987. Т.1.

Правила безопасности труда

При запуске, обслуживании и уходе за прибором необходимо соблюдать правила безопасного труда, относящиеся к эксплуатации устройств, использующих напряжение до 250 В.

Эксплуатация прибора допустима только в случае заземления!

Лабораторная работа 1-9 изучение прецессии гироскопа

Цель работы: Изучение понятий внешних сил, момента импульса, момента инерции, закона динамики вращательного движения твердого тела.

Теория

Виды движения твердого тела

Рассмотрим законы движения твердого тела. Под твердым теломпонимается в механике такое тело, взаимное расположение частей которого остается неизменным во время движения. Такое тело выступает при движении как единое целое.

Простейшим движением твердого тела является движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Такое движение называется поступательным. При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковую скорость и описывают траектории одинаковой формы, только смещенные по отношению друг к другу.

Другим простейшим видом движения твердого тела является вращение тела вокруг оси. При вращении различные точки тела описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Если за время тело поворачивается на угол, то путь, проходимый за это время какой-либо точкойPтела, будет равен, очевидно,, гдеr– расстояние от точки Р до оси вращения. Разделивна, найдем скорость точки Р:

(1)

Величина одинакова для всех точек тела и представляет собой угловое перемещение тела за единицу времени. Эта величина называетсяугловой скоростью тела .

Таким образом, скорости различных точек вращающегося вокруг некоторой оси твердого тела определяются формулой

, (2)

где r– расстояние точки до оси вращения; скорость пропорциональна этому расстоянию.

Величина , вообще говоря, меняется с течением времени. Если вращение происходит равномерно, т.е. с постоянной скоростью, то можно определить, зная период вращенияT:

(3)

Вращение характеризуется направлением оси вращения и величиной угловой скорости. Их можно объединить вместе, введя вектор угловой скорости , имеющий направление оси вращения и равный по величине угловой скорости. Из двух направлений оси вращения вектору угловой скорости принято приписывать то, которое связано с направлением вращения так называемым правилом винта, т.е. то направление, в котором ввинчивается винт (с правой резьбой), вращающийся одинаково с твердым телом.

Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела – поступательное движение и вращение – особенно важны потому, что любое движение твердого тела сводится к ним. Т.е. произвольное движение твердого тела можно представить в виде совокупности поступательного движения всего тела со скоростью какой-либо его точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку. При этом поступательная скорость (обозначим как ) зависит от того, какая именно точка выбрана в качестве основной. Угловая же скорость от этого выбора не зависит: при любом выборе точки О проходящая через нее ось вращения будет иметь одинаковое направление и будет одинаковой величина угловой скорости .

Обычно в качестве «основной» точки О выбирают центр инерции тела. Поступательная скорость есть при этом скорость перемещения центра инерции.

Каждый из векторов изадается значениями своих трех компонент (относительно некоторой системы координат). Поэтому всего нужно задать шесть независимых величин для того, чтобы знать скорость любой точки твердого тела. На этом основании говорят, что твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.

Энергия движущегося твердого тела

Кинетическая энергия поступательно движущегося твердого тела определяется очень просто. Так как все точки тела при таком движении имеют одинаковую скорость, то кинетическая энергия равна просто

(4)

где — скорость тела, а М — его полная масса. Это выражение такое же, как если бы со скоростьюдвигалась одна материальная точка массы М. Ясно, что поступательное движение твердого тела вообще ничем существенным не отличается от движения материальной точки.

Определим теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого разделим его мысленно на отдельные элементарные части, настолько малые, чтобы их можно было считать движущимися как материальные точки. Если miесть массаi-го элемента, аri— его расстояние до оси вращения, то его скорость равна, где— угловая скорость вращения тела. Кинетическая энергия этого элемента равнаи, просуммировав эти энергии, получим полную кинетическую энергию тела

(5)

Стоящая здесь в скобках сумма зависит от того, с каким именно твердым телом мы имеем дело (от его формы, разме­ров и распределения масс в нем), а также от того, как расположена в нем ось вращения. Эта величина, характеризующая твердое тело и выбранную ось вращения, называется моментом инерциитела относительно данной оси.

Обозначим его буквой I:

(6)

Если твердое тело — сплошное, то его нужно разделить на бесконечно большое количество бесконечно малых частей; суммирование в написанной формуле заменяется тогда интегрированием. Укажем для примера, что момент инерции сплошного шара (с массой М и радиусом R) относительно оси, проходящей через его центр, равен ; момент инерции тонкого стержня (длиныl) относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его середи­ну, равен.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела может быть написана в виде

(7)

Это выражение формально похоже на выражение для энергии поступательного движения, отличаясь от него тем, что вместо скорости V стоит угловая скорость , а вместо массы — момент инерции. Здесь мы имеем первый пример того, что при вращении момент инерции играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.

Кинетическую энергию произвольно движущегося твердого тела можно представить в виде суммы поступательной и вращательной энергий, если в способе разделения двух движений выбрать основную точку О в центре инерции тела. Тогда вращательное движение будет представлять собой движение точек тела относительно его центра инерции, т.е.играет роль «внутреннего» движения. Поэтому для кинетической энергии произвольного движущегося тела имеем

(8)

Индекс «0» у момента инерции означает, что он берется относительно оси, проходящей через центр инерции.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси Z, не проходящей через центр инерции. Кинетическая энергия этого движения есть , гдеI- момент инерции относительно оси Z. С другой стороны, можно рассматривать это же движение как совокупность поступательного движения со скоростью V центра инерции и вращения (с той же угловой скоростью) вокруг оси, проходящей через центр инерции параллельно оси Z. Еслиаесть расстояние центра инерции от оси Z, то его скорость V=a. Поэтому кинетическую энергию тела можно представить также и в виде

(9)

Сравнивая оба выражения, найдем

Эта формула связывает момент инерции тела относительно какой-либо, оси с моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой и проходящей через центр инерции. Очевидно, что Iвсегда больше, чемI0. Другими словами, при заданном направлении оси минимальное значение момента инерции достигается для оси, проходящей через центр инерции.

Вращательный момент

При вращательном движении тела момент его импульса играет роль, аналогичную роли импульса при движении материальной точки. В простейшем случае тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, такую роль играет составляющая момента вдоль этой оси (назовем ее осью Z).

Для вычисления этой величины разобьем тело, как и при вычислении кинетической энергии, на отдельные элементарные части. Момент импульса отдельного (i-ro) элемента есть , где— радиус-вектор этого элемента, отсчитываемый от некоторой точки О на оси Z, по отношению к которой определяется момент (рис. 3). Поскольку каждая точка тела движется вокруг оси вращения по окружности, то скоростькасательна к этой окружности.

Разложим вектор,- на два вектора, из которых один направлен вдоль оси, а другой () — перпендикулярен ей. Тогда произведениедаст как раз ту часть момента импульса, которая направлена параллельно оси Z (напомним, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, проходящей через эти векторы). Так как векторыивзаимно перпендикулярны (радиус окружности и касательная к ней), то величина произведенияесть простогде— расстояние элементаот оси вращения. Наконец, поскольку, то мы приходим к выводу, что составляющая момента импульса элементавдоль оси вращения равна. Образовав сумму, мы и получим искомую проекциюMzполного момента импульса тела на ось Z. Эту величину называют такжемоментом импульса(или вращательным моментом)тела относительно данной оси.

Вынеся в написанной сумме общий множитель за скобку, мы получим в скобках сумму, как раз совпадающую с выражением для момента инерцииI. Таким образом, получим окончательно

(11)

т. е. вращательный момент тела равен произведению угловой скорости на момент инерции тела относительно оси вращения. Обратим внимание на аналогию между этим выражением и выражением для импульса частицы: вместо скоростистоит угловая скорость, а роль массы снова играет момент инерции.

Если на тело не действуют внешние силы, вращательный момент тела остается постоянным: тело вращается «по инерции» с постоянной угловой скоростью . Постоянствоследует при этом из постоянстваMzв силу подразумевающейся нами неизменности самого тела при вращении, т. е. неизменности его момента инерции. Если же взаимное расположение частей тела (а тем самым и его момент инерции) меняется, то при свободном вращении будет меняться и угловая скорость так, чтобы произведениеоставалось постоянным. Если, например, на вращающейся с малым трением скамейке находится человек с гирями в руках, то, раздвигая руки, он тем самым увеличит свой момент инерции; сохранение произведенияприведет при этом к уменьшению угловой скорости его вращения.

Уравнение движения вращающегося тела

Уравнение движения материальной точки связывает, как мы знаем, скорость изменения ее импульса с действующей на нее силой. Поступательное движение твердого тела мало чем отличается от движения материальной точки и уравнение этого движения заключается в такой же связи между полным импульсом тела и полной действующей на него силой:

(12)

Для вращательного движения аналогичную роль играет уравнение, связывающее скорость изменения момента импульса тела с моментом действующих на него сил. Выясним, как выглядит эта связь, причем снова ограничимся простейшим случаем вращения тела вокруг определенной закрепленной оси (ось Z).

Момент импульса тела относительно оси вращения мы уже определили. Обратимся теперь к действующим на тело силам. Ясно, что силы, направленные параллельно оси вращения, могут только сдвинуть тело вдоль этой оси, но не могут произвести вращения тела. Мы можем поэтому не принимать во внимание таких сил и рассматривать только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Момент Nzтакой силыотносительно оси Z дается величиной векторного произведения, где— вектор расстояния точки приложения силы от оси. По определению векторного произведения имеем

(13)

где — угол междуи(на рис. 4 ось Z перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку О; А есть точка приложения силы). Иначе можно записать

(15)

где — плечо силы относительно оси (расстояние от оси до направления действия силы).

Согласно взаимосвязи между скоростью изменения момента импульса и моментом действующих сил можно написать теперь равенство

или (16)

Это и есть уравнение движения вращающегося тела. Производнуюможно назватьугловым ускорением. Мы видим, что оно определяется моментом действующей на тело силы, подобно тому как ускорение поступательного движения определяется самой силой.

Если на тело действует несколько сил, то под Nzв написанном уравнении следует, конечно, понимать сумму их моментов. При этом надо помнить о векторном происхождении величиныNzи приписывать разные знаки моментам сил, стремящимся повернуть тело в противоположных направлениях вокруг оси. Положительный знак имеют моменты сил, под действием которых тело поворачивается в направлении, отвечающем условленному направлению отсчета углаповорота тела вокруг оси (есть тот угол, производная которого по времени есть угловая скорость вращения тела:).

Отметим также, что в твердом теле можно, не изменяя свойств движения, любым образом смещать точку приложения силы вдоль направления ее действия. Очевидно, что такой перенос не изменит плеча силы, а потому не изменится и ее момент.

Условие равновесия тела, могущего вращаться вокруг некоторой оси, заключается, очевидно, в равенстве нулю суммы моментов действующих на него сил. Это — так называемый закон моментов. Его частным случаем является известное правило рычага, устанавливающее условие равновесия стержня, могущего вращаться вокруг одной из своих точек.

Существует простая связь между моментом действующей на тело силы и работой, производимой ею при вращении тела. Работа, производимая силой при повороте тела вокруг оси на бесконечно малый угол d(рис. 4), равна произведению перемещения ds=rdточки А приложения силы на составляющую FS=Fsinсилы вдоль направления движения:

(17)

Мы видим, что момент силы относительно оси совпадает с производимой ею работой, отнесенной к единичному угловому перемещению. С другой стороны, произведенная над телом работа равна убыли его потенциальной энергии. Поэтому можно написать, что откуда

(18)

Таким образом, момент силы равен взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии по углу поворота тела вокруг данной оси. Обратим внимание на аналогию между этим соотношением и формулой , связывающей саму силу с изменением потенциальной энергии при движении материальной точки или при поступательном перемещении тела.

Легко убедиться в том, что уравнение движения вращающегося тела находится, как и должно было быть, в согласии с законом сохранения энергии. Полная энергия тела есть

(19)

а ее сохранение выражается равенством

(20)

По правилу дифференцирования функции от функции имеем

(21)

Производная же . Подставив эти выражения и сократив общий множитель, мы снова получим известное уже нам уравнение

(22)

Если применить соотношениек внутренней потенциальной энергии системы, понимая при этом подNzсуммарный момент действующих на все ее частицы сил, то мы увидим, что условие неизменности потенциальной энергии при повороте замкнутой системы вокруг любой оси действительно означает равенство нулю суммарного момента сил.

Равнодействующая сила

Если на твердое тело действует много сил, то движение тела зависит только от суммы всех этих сил и от суммы их моментов. Это обстоятельство позволяет иногда заменить совокупность всех действующих на тело сил одной силой, которую называют в таком случае равнодействующей. Очевидно, что по величине и направлению равнодействующая сила равна сумме всех сил, а ее точка приложения должна быть выбрана таким образом, чтобы ее момент был равен суммарному моменту всех сил.

Наиболее важный случай такого рода — сложение параллельных сил. Сюда относится, в частности, сложение сил тяжести, действующих на отдельные части твердого тела.

Рассмотрим какое-либо тело и определим полный момент сил тяжести относительно произвольно выбранной горизонтальной оси (ось Z на рис. 5). Сила тяжести, действующая на элементmiтела, равна mig, а ее плечо есть координата xiэтого элемента. Поэтому суммарный момент всех сил равен

(23)

Равнодействующая сила по величине равна полному весу тела и если обозначить координату ее точки приложения через X, то тот же моментNzзапишется в виде

(24)

Приравняв оба выражения, найдем

(25)

Но это есть не что иное, как х-координата центра инерции тела.

Таким образом, мы видим, что всю совокупность действующих на тело сил тяжести можно заменить одной силой, равной полному весу тела и приложенной к его центру инерции. В связи с этим центр инерции тела часто называют также его центром тяжести.

Сведение системы параллельных сил к одной равнодействующей силе, однако, невозможно, если сумма сил равна нулю. Действие такой совокупности сил может быть сведено к действию, как говорят, пары сил: двух сил, равных по величине и противоположных по направлению. Легко сообразить, что сумма Nzмоментов таких двух сил относительно любой оси Z, перпендикулярной плоскости их действия, одинакова и равна произведению величины F на расстояние h между направлениями действия обеих сил (плечо пары):Nz=Fh.

Действие пары сил, оказываемое ею на движение тела, зависит только от этого, как говорят, момента пары.

Методика проведения эксперимента и описание установки

Задачи работы: экспериментальное исследование закономерностей гироскопического эффекта, опытное определение полного момента инерции гироскопа.

Приборы и принадлежности: гироскоп ФМ-18, электронный блок, штангенциркуль.

Гироскопом называет массивное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг неподвижной оси симметрии. В экспериментальной установке, показанной на рис. 6, гироскопом служит металлический диск 1 с горизонтально расположенной осью 2, который приводится во вращение электродвигателем 3. Ось гироскопа опирается на шарнир 4, закреплённый на подставке 5. Горизонтальное положение оси обеспечивается противовесом 6. Смещая противовес вдоль градуированной шкалы 7, можно создавать дополнительный момент силы тяжести, действующий на гироскоп при его вращении.

Установка работает от блока управления. Левое табло показывает частоту вращения маховика гироскопа – после включения индуцирует начальную частоту. Правое табло индуцирует время поворота гироскопа вокруг вертикальной оси на 900.

Установка позволяет наблюдать так называемый гироскопический эффект, заключающийся в том, что попытка повернуть ось гироскопа в определённой плоскости Х приводит на самой деле к повороту в плоскости, перпендикулярной плоскости Х. Допустим, что в первоначальном положения противовес 6 уравновешивает гироскоп так, что полный момент сил, действующих на гироскоп,. В этих условиях согласно закону сохранения момента импульса должно выполняться равенствои ось гироскопа остаётся горизонтальной и неподвижной.

Попытаемся теперь повернуть ось гироскопа в вертикальной плоскостипо часовой стрелке. Для этого сдвинем противовес от положения равновесия на некоторое расстояние(см. рис. 7). При этом на гироскоп будет действовать момент силы тяжести N, направленный вдоль оси Oу и по величине равный

(26)

Согласно уравнению динамики вращательного движения твердого тела

(27)

Поэтому момент силы вызовет за времяизменение момента импульса, равное

(28)

Важно отметить, что вектор направлен, как вектор, по оси Oy, т.е. перпендикулярно первоначальному направлению вектора. В результате вектор момента импульса гироскопа займет в пространстве новое положение

что соответствует повороту оси гироскопа в горизонтальной плоскости на некоторый угол. При постоянно действующем моменте силыгироскопический эффект приведет к равномерному горизонтальному вращению оси гироскопа с относительно малой угловой скоростью

(29)

Установим связь между и другими параметрами гироскопа. Из рис. 2 следует, что

(30)

Для малых углов , тогда, подставляя (29) в (30), получаем:

(31)

Учитывая, что (см. (26) и (27)) и принимая во внимание известное соотношение

(32)

находим

(33)

Формула (33) дает возможность определять момент инерции гироскопа двумя способами. Во-первых, можно измерить зависимость при. Будучи построенной в координатахи, эта зависимость будет прямой линией с коэффициентом наклона, откуда

(34)

Во-вторых, можно измерить зависимость при. Определяя наклонэтой прямой линии, находим

(35)

При расчетах по формулам (34) и (35) угловая скорость вращения диска гироскопа рассчитывается следующим образом:

(36)

где n — число оборотов в единицу времени.