Чистое кручение при деформации цилиндрической пружины

Будем рассматривать пружину, как винтовую линию с пренебрежимо малым шагом, таким, что каждый ее виток перпендикулярен силам, действующим на пружину. Момент сил, действующий в любом сечении витка пружины в таком случае постоянной величиной, равной , где  радиус пружины. Вектор момента сил направлен по касательной к витку, и, следовательно, вызывает деформацию чистого кручения витков пружины. Следствием этой деформации будет изменение длины пружины, т.е. ее линейная деформация. Проследим геометрическую связь деформации кручения бесконечно малого элемента витка пружины и удлинения пружины . Рассмотрим бесконечно малый вектор перемещения точки приложения силы , находящейся на оси пружины (см. рис 12).

Рис. 12 Схема деформации пружины

Этот вектор направлен перпендикулярно вектору , соединяющему элемент витка с точкой приложения силы. Величина его равна, гдеугол кручения элемента витка. Направление вектора перемещения образует с осью пружины угол. На рис. 11.12 изображен также вектор перемещенияточки приложения силы при кручении элемента витка, расположенного на одном диаметре с первым элементом и имеющим такую же длину. По этой причине модули обоих векторов перемещений одинаковы и мы обозначим их через. Видно, что сумма этих векторов направлена по оси пружины и ее величина равна. Таким образом, перемещение точки приложения силы при кручении одного элемента витка на уголвыражается формулой. Угол кручения вычислим с помощью соотношения 6:. Полную линейную деформациюпружины с общей длиной всехвитковможно получить с помощью интегрирования:

,

где d– диаметр проволоки пружины,D– диаметр пружины,Nколичество витков.

Следовательно, жесткость пружины

. (8)

Из формулы (8) вытекает связь модуля сдвига и жесткостью пружины:

(9)

Для экспериментального определения жесткости пружины в данной работе изучаются свободные колебания груза известной массы , подвешенного на пружине (пружинный маятник). Зависимость отклонения от равновесного положения груза от времениподчиняется следующему уравнению динамики:

.

Решение этого уравнения, как следует из теории, имеет вид:

,

где амплитуда и начальная фазаопределяются начальными условиями;¾угловая частота крутильных колебаний, период которыхТравен:

,

откуда . Подставляя этот результат в формулу (9), получаем следующую расчетную формулу:

. (10)

Экспериментальная часть Приборы и принадлежности: цилиндрические пружины из исследуемых материалов, набор грузиков, прибор для измерения периодов колебаний.

На рисунке изображена схема экспериментальной установки. На штативе 1установлен кронштейн2с узлом крепления вертикально подвешенных пружин3. К пружине подвешивается наборный груз4. Измерение периода колебаний груза производится с помощью фотодатчика5.

В работе определение модуля сдвига производится методом совместных измерений квадрата периода колебаний груза и его массы. Из формулы (10) вытекает, что между этими величинами существует линейная зависимость , где

. (11)