3. Обработка результатов косвенных измерений

3.1. Постановка задачи

Пусть в результате обработки результатов прямых измерений a, b, cполучены их средние значения , а также их абсолютные погрешностиa, b, c.Требуется найтинаилучшее значение (наиболее близкое к истинному) величиныА, связанной с измеряемыми величинамиa, b, cфункциональной зависимостью (расчетной формулой)

,

а также ее абсолютную и относительную погрешности.

Наиболее близкое к истинному значение величиныА(его также называют средним значением) получается при подстановке в расчетную формулу средних значений измеряемой величины:

. (8)

На погрешность величиныАвлияют погрешности, связанные с измерениемкаждойиз величинa, b, c.Обозначим черезА_а , А_b , A_c вклады в полную погрешностьА, связанные с погрешностями измерения величинa, b и c соответственно. Методы математической статистики дают следующую формулу для расчета абсолютной погрешностиАкосвенно измеренной величиныА:

. (9)

Расчет погрешности косвенных измерений можно осуществить различными способами.

3.2. Метод приращения функции

Если в расчетную формулу подставить не , а значение, измененное на величину абсолютной погрешности , оставляя прежними остальные величины , то мы получим новое значение величиныА, отличающееся от на величинуА_а:

. (10)

Видно, что А_а, представляет собой приращение функции при приращении аргументаана величинуa.

Аналогично можно вычислить А_b и A_c:

,

.

Полученные значения подставляются в формулу (9).

Этот метод расчета особенно удобен при проведении расчета на компьютере с помощью программ типа Excel.

Пример Лабораторная работа “Определение момента инерции маховика динамическим методом”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид

.

Измеряемыми величинами являются диаметр вала d, время опускания грузаtи высотаh. Погрешности в измерении диаметра вала и высоты определяются погрешностями средств измерения.d = d_п,h = h_п. Время опускания груза имеет статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся среднее значение и случайная погрешностьt_сл. Как правило, , поэтому полная погрешность прямых измерений времени .

Прежде всего находится среднее значение момента инерции; в расчетную формулу подставляется среднее значение времени:

.

Затем по той же формуле проводятся вычисления момента инерции со значениями аргументов, измененными на величину погрешности, т.е.

,

,

.

Нахождение вкладов в абсолютную погрешность момента инерции за счет неточности определения диаметра вала, времени падения груза и высоты проводится по формулам

,

,

.

Полная погрешность косвенных измерений

.

3.3. Метод частных производных

Приращение функции всегда можно выразить через приращение аргумента, используя определение частной производной. Частной производной функции называют производную этой функции по соответствующему аргументу, когда остальные аргументы считаются фиксированными. В данном случае под функцией понимается рассчитываемая величинаА, а под независимыми переменными - измеряемые величиныa, b, c.Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости, выражение (10) можно переписать так:

;;. (11)

Отметим, что производные , , рассчитываются присреднихзначениях .

Полная погрешность Аполучается путем подстановки выражений (11) в формулу (9):

. (12)

Этот метод расчета применяется, если выражения производных значительно проще, чем сама функция (например, если расчетная формула представляет сумму слагаемых, являющихся громоздкими выражениями).