Ускорение

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

При векторномспособе описания среднее ускорение равно отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за который это произошло это изменение:

При координатномспособе описаниясредниезначенияпроекций ускоренияопределяются следующими выражениями:

,.

Чтобы перейти к мгновеннымзначениям ускорения, следует устремитьt  0.

,

т.е. ускорение равно производной вектора скорости по времени. Аналогичными выражениями определяются проекции вектора ускорения:

,.

Модульвектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении.

Перейдем к естественномуспособу описания движения. Поскольку скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, с каждым из этих изменений связана составляющая вектора полного ускорения.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называетсятангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени:

.

Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называетсянормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна

,

где R- радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории:

Вектор полного ускорения

Его модуль легко найти по теореме Пифагора:

.

1.3. Кинематика вращательного движения Положение точки при ее движении по окружности

При вращательном движении по окружности радиусаRее положение можно задатьугловой координатой(t),а ее перемещение - изменением угловой координаты=(t+t)- (t).

Бесконечно малый угол поворота d можно рассматривать какпсевдовектор, направление которого связано с направлением вращения правилом правого винта (или правилом буравчика). При движении по часовой стрелкеd направлен перпендикулярно плоскости рисунка “от нас”, при движении против часовой стрелки - “к нам”.

Число оборотовпри вращательном движении связано с углом поворота соотношением: .

Угловая скорость

Угловая скорость характеризует быстроту вращения. Средняя угловая скоростьравна отношению угла поворота к тому промежутку времени, за который произошел этот поворот:

.

Мгновенная угловая скоростьравна производной угловой координаты по времени:

.

Это псевдовектор, его направление связано с направлением вращения правилом буравчика.

Нередко вместо угловой скорости вводится частота вращения n, т.е. число оборотов за единицу времени, а также (в случае равномерного вращения) период T, т.е. время одного оборота.

.

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости. Среднее угловое ускорениеравно отношению изменения угловой скорости к тому промежутку времени, за который произошло это изменение:

.

Мгновенное угловое ускорениеравно производной от угловой скорости по времени:

.

Угловое ускорение - тоже псевдовектор; его направление совпадает с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположно ему - при замедленном вращении.

Связи между линейными и угловыми величинами

Движение по окружности - частный случай движения по криволинейной траектории. Поэтому оно характеризуется не только угловыми величинами - углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением, но и теми величинами, которые были введены при естественном способе описания, - криволинейной координатой s, скоростью, нормальным и тангенциальным ускорениями. Линейные и угловые величины связаны соотношениями:

;;

; .

2. Законы динамики

2.1. Основные определения

Физические величины, характеризующие модели объектов

Масса m - мера инертности материальной точки или твердого тела при его поступательном движении.Инертностьюназывается свойство тел оказывать сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление его скорости.

Момент инерции J - мера инертности при вращательном движении. Момент инерции материальной точки, находящейся на расстоянииrот оси вращенияz, определяется формулой. Момент инерции твердого тела как системы материальных точек равен. Выражения для моментов инерции некоторых однородных твердых тел приведены в таблице 3:

Моменты инерции твердых тел Таблица 3

Твердое тело	Ось вращения	Момент инерции
Шар радиуса R	Проходит через центр шара	2/5
Сплошной цилиндр радиуса R	Совпадает с осью цилиндра	1/2
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Совпадает с осью цилиндра
Тонкое кольцо радиуса R	Совпадает с осью кольца
	Совпадает с осью диска	1/2
Тонкий диск радиуса R	Совпадает с диаметром диска	1/4

Продолжение таблицы 3

Твердое тело	Ось вращения	Момент инерции
Тонкий стержень длины l	Перпендикулярна стержню и проходит через его центр	1/12
	Перпендикулярна стержню и проходит через его конец	1/3

Момент инерции относительно произвольной оси в ряде случаев можно рассчитать по теореме Штейнера: , т.е.момент инерции J относительно произвольной оси z равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния d между осями.