2.7ИДЗ матан

ный ряд в точке x

4

расходится;

3

2

при x

получаем

числовой ряд ( 1)n5n 1 . Это знакочередую-

3

n 1

знак сходимости

lim

u

0

.

Следовательно, исходный функциональ-

n

n

ный ряд в точке x

2

расходится.

3

4

2

2

4

Окончательно

получаем

x

;

;

. Это и есть об-

3

3

3

3

ласть сходимости исследуемого функционального ряда.

4

2

2

4

Ответ: x

;

;

.

3

3

3

3

где an коэффициенты степенного ряда. В нашем случае

an

( 1)n

, an 1

( 1)n 1

.

Тогда

(n 3)ln(n 3)

(n 4)ln(n 4)

R lim

( 1)n

(n 4)ln(n 4)

lim

n 4

ln(n 4)

1.

(n 3)ln(n 3)

( 1)n 1

n 3

ln(n 3)

n

n

x 6 1,

x 5,

x ( 7; 5).

Откуда

x 6 1

x 7

при x 7 получаем числовой ряд

1

.

n 1 (n 3)ln(n 3)

По интегральному признаку имеем

dx

d(ln(x 3))

ln

ln(x 3)

1 .

1 (x 3)ln(x 3)

1

ln(x 3)

1

Следовательно, ряд

расходится (т.к.

несобственный

n 1 (n 3)ln(n 3)

интеграл расходится), а значит,

точка x 7 не входит в интервал схо-

димости степенного ряда;

при

x 5

получаем

числовой

знакочередующийся

ряд

( 1)n

. Этот ряд расходится (см. выше). Проверим выполне-

n 1 (n 3)ln(n 3)

ние условий теоремы Лейбница:

а)

lim

u

n

lim

1

0,

n

n (n 3)ln(n 3)

(n 4) (n 3) и

ln(n 4) ln(n 3),

б)

un 1

un , действительно так как

то

1

1

.

(n 4)ln(n 4)

(n 3)ln(n 3)

Оба

условия

теоремы

Лейбница

выполняются.

Значит,

ряд

( 1)n

(x 7)2n 1

3.2.

(2n

2

n)4

n

n 1

бера.

В

нашем

случае

u

(x)

(x 7)2n 1

,u

(x)

(x 7)2n 1

(x 7)

2n 1(x 7)2

n

n 1

.

(2n2

n)4n

(2(n 1)2 (n 1))4n 1

(2n2 n 1)4n 4

Тогда

lim

u

n 1

(x)

lim

(x 7)2n 1(x 7)

2

(2n2 n)

un (x)

4n(x 7)2n 1

n

n

(2n2 n 1)4n 4

lim

(x 7)2

(2n2 n)

(x 7)

2

lim

2n2

n

(x 7)2

1

(2n2 n 1) 4

1

4

2n2 n 1

4

n

n

(x 7)2

. Для нахождения интервала сходимости необходимо решить

4

(x 7)

2

x 7 2,

x 9,

неравенство

1.

Откуда

x (5;9). Сле-

4

x 7 2

x 5

довательно радиус сходимости ряда R 2. Исследуем далее поведение

ряда на концах интервала сходимости (это две точки):

1

при

x 5 получаем числовой ряд

.

Этот ряд сходится, так

2

n 1 2n

n

1

как он эквивалентен ряду

(s 1), который сходится. а значит точ-

2

n 1

n

ка x 5 входит в интервал сходимости степенного ряда;

1

при x 9 получаем числовой

ряд

, который сходится. Следо-

2n

2

n 1

1

R lim

an

,

a

n

n 1

где

a

коэффициенты

степенного

ряда.

В нашем случае

a

n

n!

,

n

4n

a

n 1

(n 1)!

. Тогда

4n 1

4 4n

R lim

n!

(n 1)!

lim

n!

0.

4n

4n 1

4n

n!(n 1)

n

n

n

Следовательно,

интервалом сходимости степенного ряда

n!x

явля-

n

ется одна точка x 0.

n 1

4

Ответ: x 0.

4. Разложите функцию

f (x) в ряд Тейлора по степеням (x a) и

укажите интервал сходимости полученного ряда:

4.1.

f (x) lnx, a 3;

Найдем значение функции

f (x) lnx

и ее производных при x 3:

f (3) ln3;

f

1

f

1

,

;

(x)

(3)

x

1

3

1

f

,

f

;

2

2

(x)

x

(3)

3

f

2

,

f

2

;

3

3

(x)

x

(3)

2 3

3

2 3

f (4)(x)

,

f (4)(3)

;

4

4

x

3

…………………………………………

f (n)(x) ( 1)n 1

(n 1)!

, f (n)(3) ( 1)n 1

(n 1)!

.

n

n

x

3

Подставим эти значения в ряд

f (x) f (a)

f (a)

(x a)