Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.7ИДЗ матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

(t2 1)dt	dx
		..
2t3 11t
	x

Проинтегрируем отдельно левую и праву часть полученного уравнения:

(t2 1)dt2t3 11t

111 dtt

t2 1

A(2t2 11) t(Bt C)

Bt C

t(2t2 11)

2 11

t2 :2A B 1,B

;

t:C 0;

t0 : 11A 1,A

;

t2 1

t(2t2 11)

11t

11 2t2

5,5

t2 5,5

5,5

Приравняем полученные результаты и вернемся к старой переменной

	y
t		. В итоге получаем
t		. В итоге получаем
	x
						1		ln	y		13			1	ln			y x		5,5			ln	x	C.
						1			y		13			1				y x		5,5
									x
					11					22		2		5,5				y x		5,5
					11					22		2		5,5				y x		5,5
			1		y		13			1				y x
																			ln		x	C.
Ответ:				ln									ln				5,5
																	5,5
					x

		11						22 2		5,5				y x		5,5
		11						22 2		5,5				y x		5,5

3. Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

3.1.	y		xy	x
		2(1 x2)		2	;

Данное уравнение является линейным, так как содержит неизвестную функцию y и ее производную y в первой степени и не содержит их произведения. Для решения уравнения применим метод подстановки. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций


u(x) и v(x) т.е. y u(x) v(x). Тогда y				y и y	в
u(x) и v(x) т.е. y u(x) v(x). Тогда y		u v uv. Подставим		y и y	в
исходное уравнение и получим:	xuv		x
	xuv		x
	2(1 x2)		2.
uv uv	2(1 x2)		2.

Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем общий множитель за скобку:

	xv			x
uv u v					.
uv u v	2(1 x	2		2	.
	2(1 x		)	2

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, в качестве v берут любое частное решение уравнения

v 2(1 x2) 0.

Тогда функция u находится из уравнения

uv x. 2

Оба уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными. Решим первое уравнение и найдем неизвестную функцию v:

	dv									xv											dv								xdx															dv									1				xdx

						2(1 x								2	)							v						2(1 x						2		)									v											1 x			2
	dx					2(1 x									)							v						2(1 x								)									v								2			1 x
									1						x							d(x2 1)																					1								2												2			1
ln					v				1						x							d(x2 1)							ln									v					1		ln			x			2		1		v x								2	1 4 .
ln					v			2				x2 1													2x				ln									v					4		ln			x					1
								2				x2 1													2x																		4
Подставим функцию v во второе уравнение и найдем u:
		x		2	1			1					x						du					x		2	1			1					x				du										x				x	2		1		1			dx
				2				4					x						du							2				4					x														x					2					4
u													2						dx																2														2
							x						2							1											1									2							1						d(x2 1)
							x						2																		1									2													d(x2 1)
du									x						1					4 dx u													x x									1						4
du							2		x						1					4 dx u											2		x x									1						4						2x
		1														1																	1						(x		2		1)			3														1
								2								1							2																		2					4																x		2	1		3
					x			2		1													2	1) u																										C u														2			4	C.
u																4 d(x
u			4													4 d(x																	4								3			4																	3
Окончательно получаем																																												4
Окончательно получаем																															1
																															1						2					3													2				1
																							y uv									(x							1) 4 C													(x					1)			4.
																							y uv								3	(x							1) 4 C													(x					1)			4.
																															3
											1						2							3									2							1
Ответ: y															(x			1) 4 C											(x						1) 4.
Ответ: y															(x			1) 4 C											(x						1) 4.
											3

3.2. 2(cos2 y cos2y x)y sin2y.

Преобразуем уравнение к виду x P(y)x Q(y).			Для этого заменим
y	dy	и разделим обе части уравнения	на	dy	. Получим:
	dx			dx

2cos ycos2y 2x x sin2y. Перенесем 2x из левой части уравнения в правую и разделим обе части уравнения на sin2y:

x 2x	1	2cos ycos2y	.
	sin2y
		sin2y

Данное уравнение является линейным относительно функции x, так как содержит неизвестную функцию x и ее производную x в первой степени и не содержит их произведения. Для решения уравнения применим метод подстановки. Будем искать решение уравнения в виде произведе-

ния двух функций u(y) и v(y) т.е.			x u(y) v(y).
ния двух функций u(y) и v(y) т.е.			x u(y) v(y).		Тогда x	uv uv.
Подставим x и x в исходное уравнение и получим:
	1			2cos ycos2y
uv uv	2uv				.
uv uv	2uv	sin2y		sin2y	.
		sin2y		sin2y

Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения и вынесем общий множитель:

	2v	2cos ycos2y
uv u v			.
		sin2y
	sin2y

Последнее уравнение эквивалентно системе уравнений:

			2v
v				0,
v		sin2y		0,
		sin2y
			2cosycos2y
			2cosycos2y		.

	uv
			sin2y
			sin2y

Решаем сначала первое уравнение системы и находим его частное решение (C 0):

2dy

sin2y

tg y

Подставим функцию v во второе уравнение системы и найдем u:

2cos ycos2y

tgy

sin2y

2cos ycos2y

tgy

sin2y

2cos ycos2y

tg y

sin2y

2cos ycos2y

tg y

sin2y

2cos ycos2y

sin y

cos2y

dy u

2cos2 y 1

2sin ycos y

cos y

u 2sin y ln

u 2

cos ydy

cos y

При вычислении интеграла

2cos ycos2y

tg y

dy использовались сле-

sin2y

дующие тригонометрические формулы:

sin2y 2sin ycos y,

cos2y 2cos2

y 1,

tg y

sin y

cos y

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

1tg y .

x uv

2sin y

2sin y ln

1tg y .

Ответ: x

4. Найдите общее решение уравнения Бернулли

8xy 12y (5x2 3)y3.

Это уравнение является уравнением Бернулли, так как его можно привести виду

y P(x)y Q(x) yn , n 0;n 1.

Разделим почленно обе части уравнения на 8x, получим:

y 3 y (5x2 3) y3. 2x 8x

Для решения уравнения используем метод подстановки. Будем искать

решение уравнения в виде:	y u(x) v(x). Тогда y
решение уравнения в виде:	y u(x) v(x). Тогда y					u v uv. Подставим
y и y в последнее уравнение:
	3			(5x2 3)		3
uv uv			uv		(uv)		.
uv uv		2x	uv		(uv)		.
		2x		8x

Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части уравнения и вынесем общий множитель:

	3v	(5x2 3)				3
uv u v						(uv)	.
uv u v			8x			(uv)	.
	2x		8x
				3v
					0:
Находим функцию v(x) из уравнения v					0:
				2x

dv 3v dx 2x

dv 3dx

v2x

dvv 32dxx

ln v 3ln x 2

ln		v		ln		x	3	3
							2 v x 2.

Функцию u(x) определяем из уравнения u 5x2 3 u3v2. Подставим

функцию v в последнее уравнение и разделим переменные:

du	5x2 3	3	3
		u	x 2
dx	8x	u	x 2
dx	8x
du	5x2 3	3
		x	2dx
u3	8x	x	2dx
u3	8x

du 5x2 3 x12dx. u3 8

Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим:

duu3 18 (5x2 3) x12dx

u 3du 18 5x52 3x12 dx

u 2			5	7			3	3
u 2			5		x 2		3	x	2	C
2			8		7	8		3	2	C
				2					2
1		5		7		1		3
1		5		x 2		1		x	2	2C.

	u2			7		2		1
	u2	2		7		2		1

Откуда

7		3	2 28C
u	5x 2	7x	2 28C
				.
		14		.
		14

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

7		3
y	5x 2	7x 2 28C	3
			x 2.
		14	x 2.
		14

7		3
	5x	2 7x 2 28C	3
Ответ: y			x 2.
Ответ: y			x 2.

5. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения в полных дифференциалах

xey2 dx (x2 yey2

tg y)dy 0.

Уравнение в полных дифференциалах имеет вид

P(x;y)dx Q(x;y)dy 0,

при условии что

В нашем случае P(x;y) xey2

, Q(x;y) x2 yey2

tg y. Тогда

2xyey2

. Так как частные производные равны, то левая часть урав-

нения является полным дифференциалом некоторой функции u(x;y), т.е.

xey2 ,

x2 yey2

tg y.

Проинтегрируем

по x:

u(x;y) xey2 dx (y) ey2

xdx (y) ey2

(y).

Подставим функцию u(x;y)

в уравнение

x2 yey2

tgy, получим

(0,5ey2 x2 (y))

x2 yey2

tg y .

Откуда x

(y) x

tg y. Следовательно,

(y) tg y. Тогда

(y) tg ydy C

sin y

d(cos y)

C ln

cos y

sin y

Таким образом, u(x;y) ey2

cos y

C. Окончательно имеем

ey2

cos y

C общий интеграл уравнения.

Ответ: ey2

cosy

6. Решите задачу Коши

6.1. y

x2,y(1) 1;

Решим сначала уравнение

x2. Это уравнение является линей-

ным относительно функции y. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух новых функций u(x) и v(x),т.е. y=u(x) v(x). Тогда y u v uv. Подставим y и y в исходное уравнение, получим:

uv uv uv x2. 2x

В левой части уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые и вы-

несем

общий множитель:

uv u v

0 и найдем v:

ln v 1ln x 2

	2	. Решим уравнение
	x	. Решим уравнение

v x 2 .

Функцию u найдем из уравнения uv x2 :

u x 2 x2

du x 12 x2 dx

du x2 x2 dx

du x2dx

u2 x72 C. 7

			2	7			1
			2
В итоге	y uv			x2 C x2						это общее решение уравнения. Чтобы
В итоге	y uv			x2 C x2						это общее решение уравнения. Чтобы
			7
решить	задачу Коши,					необходимо,							используя				начальное условие
y(1) 1,	найти С. В общее решение подставим x 1																и y 1. Получим:
											2
							1					1 C 1.
							1				7	1 C 1.
		5									7
Откуда C		5	. Следовательно, частное решение уравнения примет вид:
Откуда C			. Следовательно, частное решение уравнения примет вид:
	7
				2	7			5			1		2		7	5	1
				2				5					2		7	5
			y		x2				x2 или				y	x			x2 .
			y		x2				x2 или				y	x			x2 .
				7				7					7			7

Ответ: y 2 x7 5 x12 . 7 7

6.2. y ctgx y 2, y(0) 2;

Уравнение y ctgx y 2 является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные в уравнении, используя элементарные преобразования:

y ctgx y 2

ctgx y 2

y 2

ctgx

Проинтегрируем обе части последнего равенства. Получаем

d(y 2)

d(cosx)

y 2

cosx

lnC

y 2

ctgx

y 2

cosx

y 2

cosx

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид

2. Ис-

cosx

пользуя начальные условия y(0) 2, найдем значение константы С. Для этого в общее решение подставим x 0 и y 2:

2 C 4.

cos0

Следовательно, частное решение уравнения имеет вид y

cosx

Ответ: y

cosx

6.3. y

xyy

,y(1)

Сначала определим тип уравнения y

xyy. Выразим

xyy x

)

(xy x

xy x2 .

Так как правая часть уравнения является однородной функцией нулевого измерения, то само уравнение является однородным. Для его реше-

ния используем подстановку y

t(x) x y

y и y

tx t. Подставим

в уравнение y

и разделим переменные:

xy x2

t2x2

x tx x2

tx t

t2x2

tx x tx x2 t

t 1

t2 t

2 1

t 1

(t 1)dt dx. x

Проинтегрируем обе части последнего равенства и найдем общее решение уравнения:

(t 1)dt

t ln

2x2

Найдем значение C, используя начальные условия y(1) 1:

1 1 ln1 C C 1. 2 2

Подставим значение C и получим частный интеграл уравнения:

2x2

Ответ:

2x2

7. Определите тип дифференциального уравнения первого порядка и укажите метод его решения

7.1. y(3 x2 )y 1 y2;

Для того чтобы определить тип дифференциального уравнения первого

порядка, его необходимо привести			к виду y f (x;y) или
M(x;y)dx N(x;y)dy 0.
Выразим из уравнения y :
y	1 y2	1 y2		1	.

	y(3 x2)	y		3 x2

Так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух множителей один из которых зависит от x, а другой от y, то данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Для того чтобы решить это уравнение, его нужно привести к виду P(x)dx Q(y)dy и затем проинтегрировать правую и левую части.

		y
7.2. xy y	1 ln		;

		x

Выразим из уравнения y :
y	y		y
		1 ln		.

	x		x

Правая часть уравнения является однородной функцией нулевого изме-

рения: f ( x; y)	y		y	y		y	f (x;y).
		1 ln			1 ln

	x		x	x		x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.20193.92 Mб42. Сущность процесса реструктуризации.doc
#
16.12.201832.08 Кб42.2.1.2. Виброакустические колебания.docx
#
16.12.201846.77 Кб62.2.1.4. Электромагнитные поля и излучения.docx
#
16.12.201874.24 Кб42.2.1.5. Ионизирующие излучения.doc
#
22.07.201935 Кб242.4.2.Герметичные системы, находящиеся под давл....docx
#
25.03.20161.12 Mб252.7ИДЗ матан.pdf
#
25.03.201613.27 Mб82.docx
#
23.08.2019280.58 Кб1002.Ответы на билеты по газу.doc
#
26.11.201950.29 Кб320,21,22.docx
#
25.03.201619.92 Кб1320.docx
#
29.05.2015969.44 Кб32007-issom-blr.pdf