Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.7ИДЗ матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Так как несобственный интеграл равен конечному числу, то он сходится, а следовательно, и исследуемый ряд тоже сходится.

Ответ: ряд

сходится.

n 1

6.2.

(n 5)

n 1

(n 5)ln

Общий

член

ряда un

Составим

функцию

(n 5)ln3(n 5)

f (x)

найдем

несобственный

интеграл

(x 5)ln3(x 5)

ln 3(x 5)

d(x 5)

(x 5)d(x 5)

(x 5)ln

(x 5)

ln 2 (x 5)

2ln2(x 5)

2ln2

Так как несобственный интеграл равен конечному числу, то он

сходится, а следовательно, и исследуемый ряд тоже сходится.

Ответ: ряд

сходится.

(n 5)ln

n 1

(n 5)

7. Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость

		n 1
		1 n
	7.1.	1 n
	n 1	6n 5

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим сначала выполнение условий теоремы Лейбница. Для этого вычислим предел

lim

: lim

( 1)n 1n

lim

6n 5

n 6n 5

n 6

Так как первое условие теоремы Лейбница не выполняется, т.е. предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится.

	n 1
	1 n
Ответ: ряд	1 n	расходится.
n 1	6n 5

( 1)n

7.2.n 1 n 4

lim un :

lim

( 1)n

lim

n 4

Следовательно, первое условие выполняется. Проверим выполне-

ние

второго условия

un 1

. В

нашем

случае

un 1

n 5>n 4, то

n 4

.Так как

. Таким образом,

n 5

n 4

n 5

( 1)n

оба условия теоремы Лейбница выполняются и ряд

сходится.

n 1

n 4

Выясним тип сходимости. Для этого к ряду

n 1

применим один

n 4

из достаточных признаков сходимости, а именно, интегральный признак. Так как несобственный интеграл

	dx							1								1				d(x 4)
				x 4								dx x 4
											2						2


1	x 4				1									1									1
	1									(x 4)			0,5
	1												0,5
x 4		2	d(x 4)												2	x 4						1	2	5	расходится,
x 4		2	d(x 4)												2	x 4						1	2	5	расходится,
1								0,5							1
1					1										1											( 1)		n
																												n
то и ряд									будет расходиться.												Следовательно, ряд

					n 4																						n 4
		n 1			n 4																				n 1		n 4
сходится условно.
					( 1)		n
Ответ: ряд					( 1)				сходится условно.

						n 4
			n 1			n 4
																			sin
																			sin
												7.3. ( 1)						n					n
												7.3. ( 1)									n2
															n 1

Данный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд, составленный из модулей общих членов данного ряда

sin

( 1)n

n 1

Сравним последний ряд с рядом

, который сходится. Применим

предельный признак сравнения

n 1

sin

lim

n n2

n 1

Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то иссле-

				sin
				sin
				n2
дуемый ряд					n	ведет себя так же как ряд, с которым сравнивали
дуемый ряд			n 1			ведет себя так же как ряд, с которым сравнивали
			n 1
							sin
							sin
	1	, т.е.	сходится. Следовательно, ряд ( 1)n				n	сходится абсо-
	n3	, т.е.	сходится. Следовательно, ряд ( 1)n				n2	сходится абсо-
n 1						n 1

лютно.

sin

Ответ: ряд ( 1)n n2n сходится абсолютно.

n 1

8. Исследуйте ряды на сходимость, используя различные признаки сходимости

( 1)

n 1

8.1.

(n 3)!

n 1

( 1)n 1 n5

Ряд, составленный из модулей ряда

n 1

, сходится по признаку

Даламбера. Действительно,

(n 3)!

(n 1)5

(n 1)5(n 3)!

(n 4)!

lim

n 1

lim

n5(n 4)!

n un

(n 3)!

=lim

(n 1)5(n 3)!

lim

(n 1)5

lim

(n 3)!(n 4)

n n

n n 4

n n 5

n n 4

1 0 0 1.

n 1

( 1)

Следовательно, ряд

сходится абсолютно.

(n 3)!

n 1

( 1)

n 1

Ответ: ряд

сходится абсолютно.

(n 3)!

n 1

8.2. (

2n2 3

2n2 1)

n 1

Для того чтобы данный ряд исследовать на сходимость, преобразу-

ем общий член ряда un

2n2 3

2n2 1 следующим образом:

(

2n2 3

2n2 1)( 2n2

2n2

un 2n

3 2n

( 2n2 3 2n2 1)

(2n2 3) (2n2 1)

Очевидно,

что un

, поэто-

2n2 3 2n2 1

му сравним исследуемый ряд с эталонным рядом

, который расхо-

n 1

дится. Используем предельный признак сравнения:

lim

2n2 3

2n2 1

=lim

3 2n

lim

Так как предел равен конечному числу, отличному от нуля, то исследуемый ряд ведет себя также как и ряд, с которым сравнивали, т.е. расходится.

Ответ: ряд ( 2n2 3 2n2 1) расходится.

n 1

8.3.tg

n 1 n

Общий член

ряда

u tg

эквивалентен

общему члену ряда

(использовали

таблицу эквивалентных

бесконечно малых

n 1 n

tg при 0). Ряд

является эталонным, и известно, что он

n 1

расходится. Поэтому и ряд tg

также расходится.

n 1

Ответ: ряд tg

расходится.

n 1

8.4. ( 1)

n 1

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим первое условие

признака Лейбницаlim un 0:

							2	1							2		1
			n				2	1						n	2	n
	1				1		n					1						lim	1
									n										1	e0 1 0.
									n
lim 1				lim 1						=lim	1							en n
lim 1	n	2		lim 1	n	2				=lim	1	n	2					en n
n	n			n	n					n		n

n 1

Так как условие не выполняется, то ряд ( 1)

расходится.

n 1

Ответ: ряд ( 1)

расходится.

n 1

(n 1)n

8.5.

n 1

Так как общий член ряда u

(n 1)n

содержит факториал, то для

2n n!

исследования ряда на сходимость можно использовать признак Далам-

бера. Найдем предел отношения un 1 : un

(n 2)n 1

(n 2)n 1 2n n!

lim

n 1

lim

2n 1 (n 1)!

lim

n un

(n 1)n

n 2n 1

(n 1)! (n 1)n

2n n!

(n 2)n (n 2)

lim

(n 2)n (n 2) 2n n!

lim

(n 1)

n 2n 2 n! (n 1)n (n 1)

n 2 (n 1)n

(n 2)n

n 2

n 2 n

1 n

lim

lim 1

2n (n 1)

n n 1

2n n

(n 1)n

(n 1) n 1

lim

n 1

lim

en n 1

>1.

n 1

(n 1)n

Так как значение предела меньше единицы, то ряд

n 1

сходится.

2nn!

(n 1)n

Ответ: ряд

сходится.

n 1

Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 6

Вариант №0

		3x	2	2	n
1. Исследуйте функциональный ряд					на сходимость в точ-


	n 1	2x 5

ке x 1,5.

2. Найдите область сходимости функционального ряда:

enx

(5x 3)n

5n 1

2.1.

;

2.2.

;

2.3.

2n 3

n 1

1 9x

3. Найдите интервал и радиус сходимости степенного ряда

( 1)n(x 6)n

(x 7)2n 1

n!xn

3.1. n 1

;

3.2.

n 1

;

3.3. n 1

(n 3)ln(n 3)

(2n2

5n)4n

4. Разложите функцию

f (x)

в ряд Тейлора по степеням (x a) и ука-

жите интервал сходимости полученного ряда:

4.1. f (x) lnx, a 3;

4.2.

f (x)

, a 2.

f (x)

5. Разложите функцию

в ряд Маклорена и укажите интервал схо-

димости полученного ряда:

5.1. f (x)

;

5.2.

f (x) xsin2

;

2 3x 2

5.3. f (x) (x 1)ln 4 x2 .

6. Вычислите определённые интегралы с точностью 0,001:

0,1

0,25

1/6

6.1.

;

6.2.

x2 sin(10x2)dx;

6.3. e x2

5 dx.

32 x

7. Разложите функцию в ряд Фурье на указанном отрезке. Постройте график суммы ряда Фурье:

7.1. f (x) 3 4x, [ ; ];			2x 1,				3 x 0,
7.1. f (x) 3 4x, [ ; ];	7.2. f (x)				0 x 3				[ 3;3].
		5x	0,		0 x 3
8. Разложите функцию f (x) sin		5x	, x [0; ] в ряд Фурье
8. Разложите функцию f (x) sin			, x [0; ] в ряд Фурье
8.1. по синусам;	2				8.2. по косинусам.
8.1. по синусам;					8.2. по косинусам.
	Решение								n
							2		n
						3x	2	2
1. Исследуйте функциональный ряд						3x		2	на сходимость в
1. Исследуйте функциональный ряд									на сходимость в
				n 1		2x 5

точке x 1,5.

	3x	2	2	n		x 1,5:
Подставим в общий член ряда un(x)					значение
	2x 5

3 2,25 2

8,75 n

35 n

un( 1,5)

. В результате получаем чи-

2 ( 1.5) 5

словой ряд

который является эталонным рядом q

. Так

n 1

как в нашем случае q

1, то ряд

n 1

расходится.

Ответ: Ряд

в точке x 1,5 расходится.

n 1

2x 5

2. Найдите область сходимости функционального ряда:

enx2

n 1 2n 3

В нашем случае u

(x)

enx2

e(n 1)x2

enx2

ex2

, u

(x)

.Вычислим

2(n 1) 3

2n 3

n 1

2n 5

предел модуля их отношения т.е.

lim

un 1(x)

. Получаем

n un (x)

lim	enx2ex2	(2n 3)	=ex2	lim	2n 3	=ex2 .
	2
n enx (2n 5)				n 2n 5

Для того, чтобы найти область сходимости исследуемого ряда, решим

неравенство ex2 1. Откуда x2 0. Решения данное неравенство не имеет. Следовательно, ряд расходится на всей числовой оси, а областью сходимости является пустое множество.

Ответ: x .

(5x 3)n

2.2.

n 1

В нашем случае u

(x)

(5x 3)n

, u

n 1

(x)

(5x 3)n 1

(5x 3)n(5x 3)

n4n

(n 1)4n 1

(n 1) 4n 4

Вычислим предел модуля их отношения, т.е. lim un 1(x) . Получаем

n un (x)

lim

(5x 3)n(5x 3)

n4n

lim

(5x 3)n

5x 3

lim

5x 3

(n 1)4n 4

(5x 3)n

4(n 1)

n 1

Для того, чтобы найти область сходимости исследуемого ряда решим неравенство

5x 3

Откуда	5x 3	4	5x 3 4,	5x 1,	x 0,2,	.
Откуда	5x 3	4				.
			5x 3 4.	5x 7.	x 1,2
			5x 3 4.	5x 7.	x 1,2

Таким образом интервал сходимости функционального ряда равен x ( 1,2;0,2). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

		( 1)n
при x 1,2	получаем числовой ряд		. Это знакочередующийся
		n
	n 1

ряд и он сходится условно. Следовательно исходный функциональный ряд в точке x 1,2 сходится;

	1
при x 0,2 получаем числовой ряд	1	. Это гармонический ряд и он
при x 0,2 получаем числовой ряд		. Это гармонический ряд и он
n 1	n
расходится. Следовательно, исходный	функциональный ряд в точке
x 0,2 расходится.

С учетом полученных результатов интервалом сходимости функцио-

(5x 3)n

нального ряда

является промежуток 1,2;0,2).

n 1

Ответ: x 1,2;0,2).

5n 1

2.3.

n 1

1 9x

В нашем случае

5n 1

5(n 1) 1

(x)

, u

(x)

(1 9x2)n

(1 9x2)n 1

(1 9x2)n(1 9x2)

n 1

Вычислим предел модуля их отношения, т.е. lim un 1(x) . Получаем

n un (x)

lim								5n							(1 9x2)n						lim				5			5	. Для того чтобы
lim			(1 9x2)n (1 9x2)													5n 5 1					lim	1 9x2						1 9x2	. Для того чтобы
n			(1 9x2)n (1 9x2)													5n 5 1					n	1 9x2						1 9x2
найти область сходимости исследуемого ряда, решим неравенство
5					1.
		1 9x2


																								2		4
																					x
										2									2		x					3	,
																			2							3
Откуда						1 9x					5		1 9x 5,													2
Откуда						1 9x					5								2				x	2		2
													1 9x							5
													1 9x							5
																										3
																										3

					4				2			2					4
	x						;							;				.
	x			3			;	3				3		;				.
				3				3				3					3

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости (это четыре точки):

	4		n	n 1
при x	4	получаем числовой ряд	( 1) 5		. Это знакочередую-
при x		получаем числовой ряд	n		. Это знакочередую-
3		n 1	3

щийся ряд и он расходится, так как не выполняется необходимый при-

знак сходимости

lim

. Следовательно, исходный функциональ-

ный ряд в точке x

расходится;

при x

получаем числовой ряд

( 1)n5n 1 . Это знакочередую-

n 1

щийся ряд и он расходится, так как не выполняется необходимый при-

знак сходимости

lim

. Следовательно, исходный функциональ-

ный ряд в точке x

расходится;

n 1

при x

получаем числовой ряд

( 1) 5

. Это знакочередую-

n 1

щийся ряд и он расходится, так как не выполняется необходимый при-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.20193.92 Mб32. Сущность процесса реструктуризации.doc
#
16.12.201832.08 Кб42.2.1.2. Виброакустические колебания.docx
#
16.12.201846.77 Кб52.2.1.4. Электромагнитные поля и излучения.docx
#
16.12.201874.24 Кб42.2.1.5. Ионизирующие излучения.doc
#
22.07.201935 Кб242.4.2.Герметичные системы, находящиеся под давл....docx
#
25.03.20161.12 Mб252.7ИДЗ матан.pdf
#
25.03.201613.27 Mб82.docx
#
23.08.2019280.58 Кб1002.Ответы на билеты по газу.doc
#
26.11.201950.29 Кб320,21,22.docx
#
25.03.201619.92 Кб1320.docx
#
29.05.2015969.44 Кб32007-issom-blr.pdf