Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2.7ИДЗ матан

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
1.12 Mб
Скачать

Производная функции

 

, тогда:

 

 

2cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

6

 

 

 

 

 

L

2sin 2 2cos 2 d 2

 

sin2 cos2 d 2 d

.

 

3

0

 

 

0

0

 

 

x et cost sint ,

3.3. 6 t 4.

y et cost sint ,

Так как линия задана в декартовой системе координат параметрически, длину дуги кривой найдём по формуле:

t2

 

 

yt 2 xt 2dt.

L

t1

 

 

Производные функций:

x et cost sint et sint cost 2et cost,

.

y et cost sint et sint cost 2et sint.

Тогда:

 

 

 

 

 

4

 

2et cost 2

2et

L

 

 

 

 

 

6

 

 

 

4

2 et cos2 t sin2 tdt

6

sint 2 dt

2et

 

 

 

 

 

 

4

2 e4

e6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

Задание 4. Вычислите объёмы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной графиками функций y 4x x2,

y4 x:

4.1.вокруг Ox;

4.2.вокруг Oy.

Решение

4.1. y 4x x2,

y 4 x вокруг Ox.

y

y x 4 y = 4x–

V1

x

31

Рис. 4

Построим фигуру вращения – пересечение функций y 4x x2 и y 4 x вращаем вокруг Ox (рис. 4). Найдём абсциссы точек пересечения двух линий:

4x x2 4 x 4 x x 4 x 0

4 x x 1 0 x1 4; x2 1.

Объём фигуры вращения, ограниченной линией y x находим по формуле:

x2

VOx y2 x dx.

x1

В нашем случае, фигура полая, т.е. из объёма фигуры, образован-

ной кривой

 

y 4x x2 надо удалить объём V

 

 

фигуры,

образованной

линией y 4 x. Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

V 4x

x

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

4 x

 

 

 

 

dx 4 x

 

dx 4x x

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

2

 

 

 

x5

 

 

 

4

 

3

 

 

2

4

 

 

16x

 

 

8x

 

x

 

16 8x x

 

dx

 

 

 

2x

 

5x

 

4x

 

16x

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2 44 5 43

4 42 16 4

 

1

 

2 14

 

5 13

4 12

16 1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

44

 

 

 

 

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

куб.ед. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2. y 4x x2,

 

 

y 4 x вокруг Oy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-ый способ. Построим фигуру вращения –

 

пересечение функций

y 4x x2

и

y 4 x вращаем вокруг Oy (рис. 5). В этом случае объём

фигуры вращения, ограниченной линией x x y

 

находим по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

y

 

y = 4x–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOy x2 y dx.

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

Найдём ординаты точек пересе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чения двух линий. Так как абсциссы

 

 

 

 

 

V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мы нашли x1 4; x2

1, то ординаты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

x

Рис. 5

находим подстановкой x1 и x2

в любое уравнение линий,

например,

в уравнение прямой: y1 4 4 0, y2

4 1 3. Выразим

обратные

функции x x y :

 

 

 

 

 

 

 

2 4

 

y 4x x2 y x2

4x 4 4 x 2

 

 

 

 

 

 

(x 2)2

 

 

 

x 2 2 4 y x 2 4 y

x2 4 y – правая и левая ветвь параболы,

y 4 x x 4 y – уравнение прямой.

Фигура полая, т. е. из объема фигуры, образованной правой ветвью

x 2

4 y надо удалить объём V2

фигуры,

образованной прямой

x 4 y. Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

4 y

2

 

 

 

 

 

 

 

VOy 2

 

 

dy.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Однако, фигура, образующая тело вращения, достигает своего наибольшего значения в вершине параболы y0 4 . На промежутке от y 3 до y 4 фигура вращения формируется за счёт правой и левой ветвей параболы. Фигура полая, следовательно, из объёма фигуры, образованной правой ветвью x 2 4 y надо удалить объём V1 фигуры, об-

разованной левой ветвью x 2 4 y . Тогда:

4

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

4 y

VOy 2

2

 

dy.

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, фигура вращения вокруг Oy состоит из двух частей

VOy и VOy , и искомый объём есть сумма VOy VOy.

33

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y

4 y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VOy VOy 2

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4 y

2 4 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 7y y

2

 

dy

4 4 y

 

dy

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

8

4 ydy

 

4 y 2

8y

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

8 2

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

56

 

 

 

3

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.5 куб.ед. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-ой способ. Чтобы не разбивать фигуру вращения на элементарные (образованные только двумя – внешней и внутренней граничными функциями), для вычисления объема VOy можно использовать другую

формулу:

x2

VOy 2 x y x dx.

x1

При этом необходимо учитывать, что фигура полая, т.е. не забываем вычесть объём полости. Тогда:

4

4

VOy 2 x 4x x2 dx 2 x 4 x dx

1

1

4

4

2 x [ 4x x2 4 x ]dx 2 [5x2 x3 4x]dx

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

5

x3

 

1

x4

2x2

4

2

11

1

 

22.5 куб.ед. .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Задание 5. Исследуйте на сходимость несобственные интегралы:

 

 

dx

 

1

tgxdx

 

 

5.1.

 

;

5.2.

 

.

 

2

1 sin 3

 

 

5

 

xln

x 1

 

 

 

 

 

2

 

1

x4

1

Решение

 

dx

5.1. 2

 

.

xln2 x 1

34

xln2 x
1

Это несобственный интеграл I рода. Для исследования сходимости

применим предельный признак сравнения. Функция g x эк-

1

вивалентна подынтегральной функции f x при x , xln2 x 1

так как:

lim

f x

lim

xln2 x

1.

 

 

x 1

x g x

x xln2

 

Поэтому, исследуем сходимость интеграла для функции

1

g x xln2 x , а согласно признаку сходимости, интеграл от функции

1

f x будет вести себя так же. По определению: xln2 x 1

dx

lima

dx

lim

1

 

 

a

0

1

const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 xln2 x

a 2

xln2 x

a lnx

 

 

2

 

ln2

 

 

интеграл от функции g(x) сходится по предельному признаку сходимости. Исходный интеграл тоже сходится.

Замечание.

Поскольку мы применили признак сравнения для исходного интеграла и вычислили значение интеграла для эквивалентной функции, нельзя утверждать, что значение исходного интеграла

равно 1 . Можно лишь утверждать, что исходный интеграл ln2

сходится.

Вместо предельного признака сравнения можно было использовать 1-ый признак сравнения, т. е. подобрать бóльшую функцию

g x f x , интеграл от которой будет сходиться.

1

tgxdx

 

 

5.2.

 

.

 

 

 

5

1 sin 3 x4

1

1

Это несобственный интеграл II рода, так как подынтегральная функция имеет на отрезке интегрирования точку разрыва II рода x0 0. Для исследования сходимости применим предельный признак сравне-

35

ния. Используя эквивалентные бесконечно малые, найдём эквивалент для подынтегральной функции при x 0:

f x

tgx

 

 

 

x

 

 

1

.

 

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 sin 3 x4

53 x4

 

1

 

 

 

5x

3

 

 

1

Исследуем сходимость интеграла для функции g x 1 . Согласно

x3

tgx

признаку сходимости, интеграл от функции f x бу-

1 sin 3x4 5 1

дет вести себя так же. По определению:

1

dx

 

0

dx

 

1

dx

lim

0 dx

lim

1

dx

.

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x3

 

1 x3

 

0 x3

 

1 x3

 

0 x3

Исследуем каждый интеграл отдельно. Если хотя бы один из интегралов расходится, то весь интеграл расходится

0 dx

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

0

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

lim

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 3

 

 

 

const

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл сходится;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

lim

3

x

 

 

 

 

 

3

(1

 

0)

3

const

 

3

3

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

0 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл сходится. Таким образом, оба интеграла сходятся, следовательно, исходный интеграл сходится согласно предельному признаку сравнения.

36

Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 3

Вариант 0

1. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

1.1. 5xdx ydy 3x2 ydy xy2dx;

1.2. 2 3y2

yy

16 x2

0.

2. Найдите общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого порядка

2.1. 3y

y2

 

8y

 

2.2. xy

3y3 10yx2

 

 

 

4;

 

.

x2

x

y2 x2

3. Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

 

 

 

 

xy

 

x

 

2

 

 

3.1.

y

 

 

 

 

 

3.2. 2(cos y cos2y x)y

sin2y.

2(1 x2)

 

2

;

 

 

4. Найдите общее решение уравнения Бернулли

8xy 12y (5x2 3)y3.

5. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения в полных дифференциалах

 

 

xey2 dx (x2 yey2

tg y)dy 0.

6. Решите задачу Коши

 

6.1. y

y

x2,y(1) 1;

6.2. y ctgx y 2,y(0) 2;

 

2x

6.3.y2 x2 y xyy ,y(1) 1.

7. Определите тип дифференциального уравнения первого порядка и укажите метод его решения

7.1. y(3 x

2

)y 1 y

2

 

7.2. xy

 

 

y

 

 

 

;

y 1 ln

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

7.3. sin2x 2cos(x y) dx 2cos(x y)dy 0;

7.4.

y

 

 

y

 

 

 

 

x y2 .

 

 

 

 

 

 

 

37

Решение

1. Найдите общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

1.1. 5xdx ydy 3x2 ydy xy2dx;

Перенесем слагаемое, содержащее dx из правой части уравнения в левую, а слагаемое с dy – из левой части в правую:

5xdx xy2dx 3x2 ydy ydy.

Вынесем общие множители за скобки

xdx(5 y2) ydy(3x2 1)

Разделим обе части уравнения на выражение (5 y2)(3x2

1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

ydy

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 1

 

 

 

 

y2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя обе части уравнения получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

ydy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

y 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 d(3x2 1)

 

1 d(y

2 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3x2 1

2 y2

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln

 

3x2 1

 

 

1

ln

 

y2

 

1

 

 

C или ln

 

3x2 1

 

3ln

 

y2

1

 

6C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 1

 

 

 

y2

 

 

 

6C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ln

3ln

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.

 

2 3y2

yy 16 x2

0

 

 

 

 

 

Выразим производную неизвестной функции

y через дифференциалы

переменных y

dy

и умножим обе части уравнения на dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3y2dx y 16 x2dy 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделим обе части уравнения на выражение

 

 

 

 

2 3y2

16 x2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydy

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 x2

 

 

 

 

2 3y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя обе части уравнения получим общий интеграл уравнения:

 

 

dx

 

 

 

 

ydy

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 arcsin

 

2

2 3y2 C 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 x2

2 3y2

4

6

 

 

 

38

 

x

 

1

 

 

 

Ответ: arcsin

 

 

2 3y2

C 0.

 

 

43

2.Найдите общий интеграл однородного дифференциального уравнения первого порядка

2.1.3y y2 8y 4;

x2 x

Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением так как его правая часть является однородной функцией нулевого измерения :

f

( x; y)

( y)2

 

8 y

4

y2

 

8y

 

4 f (x;y).

( x)2

x

x2

x

 

 

 

 

 

y t x t исходное уравнение

С помощью подстановки y t(x) x,

преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными:

tx t t2x2 8tx 4 3x2 3x

tx t t2 8t 4 3 3

tx t2 11t 4 3 3

dt x t2 11t 12. dx 3

В последнем уравнении разделим переменные:

dt

 

dx

.

t2 11t 12

 

 

3x

Вычислим отдельно интеграл от левой и правой частей уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

1

 

 

dx

 

1

ln

 

x

 

C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

3

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

11t 12

(t 5,5)2 42,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(t 5,5)

 

1

 

ln

 

t 5,5 6,5

 

C

1

ln

 

t 12

 

C

(t 5,5)2

(6,5)2

2 6,5

 

t 5,5 6,5

 

13

 

t 1

 

 

1

 

(yx) 12

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

(y

) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

t2 1
t2 1

Приравнивая полученные результаты получим общий интеграл уравнения :

1

ln

 

x

 

C

1

ln

 

(yx) 12

 

.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

13

(y

) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Ответ:

1

ln

 

x

 

C

 

1

ln

 

(yx) 12

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

13

 

(y

) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2.2. xy 3y3 10yx2 . y2 x2

Приведем это уравнение к виду y f (x;y). Для этого обе части уравнения разделим на x:

y 3y3 10yx2 . x(y2 x2)

Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением так как его правая часть является однородной функцией нулевого измерения:

f ( x; y)

3( y)3 10 y ( x)2

 

3y3

10yx2

f (x;y).

x ( y)2 ( x)3

x y2 x3

 

 

 

С помощью подстановки y t(x) x,

y t x t уравнение преобразует-

ся к уравнению с разделяющимися переменными: tx t 3t3 10t .

Перенесем t из левой части уравнения в правую и приведем к общему знаменателю:

tx 3t3 10t t t2 1

tx 3t3 10t t3 t t2 1

tx 2t3 11t t2 1

dt x 2t3 11t. dx

Разделим переменные в последнем уравнении:

40