Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.7ИДЗ матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Следовательно, данное уравнение является однородным уравнением. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися пе-

ременными с помощью подстановки y xt(x), y

t(x) xt (x).

7.3. sin2x 2cos(x y) dx 2cos(x y)dy 0.

Это

уравнение

вида

M(x;y)dx N(x;y)dy 0,

где

M(x;y) sin2x 2cos(x y), а N(x;y) 2cos(x y).

Так как

M(x;y) M1(x) M2(y)

и N(x;y) N1(x) N2(y),

уравнение не

является уравнением с разделяющимися переменными.

Проверим выполнение условия:

2cos(x y);

2sin(x y).

Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Общий интеграл u(x;y) C этого уравнения находится из системы

x M(x, y),

u N(x, y).y

7.4. y y . x y2

Это уравнение не является ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным уравнением, ни уравнением в полных дифферен-

циалах, ни линейным относительно

y.Заменим y на

и преобразуем

уравнение к виду x P(y)x Q(y):

2 x y

x y

Следовательно, данное уравнение является уравнением линейным относительно x.

Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 4

Вариант №0

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка:

	1			3	2
1.1. y		2x 4;			x y	1.
			1.2. y x

2. Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

2.1.5y 12y 8y 18x2 39;

2.2.y 2y y (1 x)ex;

2.3.y 8y sin4x 2cos4x.

3. Найдите решение задачи Коши:
				1				1			x				1
3.1. y					y					ctg		, y( ) 2, y				;
				4			4				2				2
3.2. y	3	y		y		4	16,y(0) 2
	3					4
													2,y (0) 2.
4. Решите системы дифференциальных уравнений
y			2y						y		,				y		y		5cosx,	y (0) 0,
4.1.		1					1			2				4.2. 1				2		1
y2			3y1						2y2,						y2		2y1 y2,			y2(0) 3.

Решение

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка:

1.1. y 1 2x 4 x

Данное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, допускающим понижение порядка, так как имеет вид y f (x). Для нахождения его общего решения необходимо правую часть уравнения последовательно проинтегрировать два раза. В результате получаем:

2x 4

dx ln

4x C1

y lnx x2 4x C1 dx lnxdx

C1x C2.

Интеграл lnxdx находим,

используя формулу интегрирования по час-

тям:

u lnx du

lnxdx

;

xlnx x

xlnx x C .

dv dx v x

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

y xlnx x

2x2 C x C

Отметим, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две константы.

Ответ: y xlnx x x3 2x2 C1x C2. 3

1.2. y x3 x2 y 1

Данное дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции y и ее первой производной y. С помощью замены y p(x), y p (x) исходное уравнение сводится к уравнению первого порядка: x3 p x2 p 1.

Поделив обе части уравнения на x3 , получим линейное (относительно неизвестной функции p) дифференциальное уравнение первого порядка:

x3 .

Полагая в последнем уравнении

p uv,

uv uv, получаем

uv uv

или

3 .

uv u

Приравняем выражение, стоящее в скобках к нулю и найдем функцию

ln x v 1. x

						1

Находим u(x) из уравнения uv x3 :
	du	1	1	du			dx		u			1	C .
	dx x x3						x2					x			1
Следовательно,					1			1		1			C1
	p uv				1	C		1		1			C1	.
	p uv					C					2			.
					x	1			x	x	2		x
					x				x	x			x

Возвращаясь к переменной y, получаем:

y p 1 C1 . x2 x

Откуда

C1 ln

C2 .

Еще раз интегрируя обе части последнего равенства, окончательно получаем:

	1		x	C1	lnxdx C2x C3

y		C1 lnx C2 dx ln

	x

ln x C1 x ln x x C2x C3.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: y ln x C1 x ln x x C2x C3.

Ответ: y ln x C1 x ln x x C2x C3.

2. Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

2.1. 5y 12y 8y 18x2 39

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Общее решение этого уравнения определяется формулой

y(x) y0(x) y(x),

где y0(x) общее решение соответствующего однородного уравнения, y(x) частное решение неоднородного уравнения. Найдем сначала об-

щее решение однородного уравнения

5y 12y 8y 0.

Найдем корни характеристического уравнения

5k2 12k 8 0,

D 144 160 16 k1,2 12 4i 1,2 0,4i. 10

Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: y0(x) e 1,2x(C1 cos0,4x C2 sin0,4x).

Правая часть исходного уравнения является многочленом второй степени и число 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения y(x) будем искать в

виде y(x) Ax2	Bx C. Тогда y 2Ax B,	y 2A. Подставим выра-
жения для y, y	и y в исходное уравнение:

5 2A 12(2Ax B) 8(Ax2 Bx C) 18x2 39.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений:

8A 18,

24A 8B 0,

10A 12B 8C 39,

Откуда A 2,25, B 6,75, C 0,9375.

Следовательно,

y(x) 2,25x2 6,75x 0,9375.

В результате общее решение уравнения будет иметь вид

y e 1,2x(C1 cos0,4x C2 sin0,4x) 2,25x2 6,75x 0,9375. Ответ: y e 1,2x(C1 cos0,4x C2 sin0,4x) 2,25x2 6,75x 0,9375.

2.2. y 2y y (1 x)ex

y(x) y0(x) y(x),

щее решение однородного уравнения

y 2y y 0.

Найдем корни характеристического уравнения

k2 2k 1 0 D 0,	k 1.
	1,2

Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: y0(x) e x(C1 C2x).

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения

y 2y y (1 x)ex.

Правая часть уравнения имеет вид f (x) Pn(x) e x. В нашем случае n 1, 1. Так как значение не совпадает с корнями характеристиче-

ского уравнения, то частное решение ищем в виде y(x) (Ax B)ex. Найдем

y Aex (Ax B)ex ex (Ax A B),

y ex A ex(Ax B A) ex(Ax 2A B).

Подставим выражения для y, y и y в исходное уравнение и сократим

обе части уравнения на ex. Получим:

Ax 2A B 2(Ax A B) Ax B 1 x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений

4A 1,

4A 4B 1.

Откуда A 0,25 и B 0,5. Тогда y(x) ( 0,25x 0,5)ex. Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

y e x(C1 C2x) ( 0,25x 0,5)ex. Ответ: y e x(C1 C2x) ( 0,25x 0,5)ex.

2.3. y 8y sin4x 2cos4x

y(x) y0(x) y(x),

где y0(x) общее решение соответствующего однородного уравнения, y(x) частное решение неоднородного уравнения. Найдем сначала общее решение однородного уравнения y 8y 0. Найдем корни характеристического уравнения

k2 8k 0 k(k 8) 0 k1 0,k2 8.

Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

		y (x) C C e 8x.
		0	1	2
Найдем		теперь частное	решение	неоднородного уравнения
	8y	sin4x 2cos4x.
y	8y	sin4x 2cos4x.

Правая часть уравнения имеет вид

f (x) e x Pn1 (x)cos x Qn2 (x)sin x .

В нашем случае n1 n2 0, 0, 4. Так как значение i не совпадает с корнями характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде y(x) Acos4x Bsin4x. Найдем y 4Asin4x 4Bcos4x и y 16Acos4x 16Bsin4x. Подставим выражения для y, y и y в исходное уравнение . В результате получаем:

16Acos4x 16Bsin4x 32Asin4x 32Bcos4x sin4x 2cos4x.

Приравнивая коэффициенты при sin4x и cos4x в левой и правой частях уравнения, получаем систему уравнений:

16B 32A 1,

16A 32B 2.

Разделим обе части второго уравнения системы на 2 и прибавим к первому:

40A 0 A 0. Подставим значение А в первое уравнение системы и найдем B:

B 1 . 16

В итоге получаем y(x) 1 sin4x, а общее решение будет иметь вид

y C1 C2e 8x 1 sin4x. 16

Ответ: y C1 C2e 8x 1 sin4x. 16

3. Найдите решение задачи Коши

		1		1		x		1
3.1. y			y		ctg
						2	, y( ) 2, y ( )	2
	4		4

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью. Для его решения будем использовать метод Лагранжа (метод вариации постоянных). Найдем сначала общее решение однородного уравнения

y 1 y 0. 4

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

k2 1 0 k1,2 1i. 4 2

Следовательно, y C1 cos x C2 sin x

2 2

общее решение однородного уравнения, а частные решения однородно-

го уравнения имеют вид y																																													cos								x					и			y	2	sin					x		.
го уравнения имеют вид y																																													cos													и			y		sin							.
																																									1									2																	2
																																																		2																	2
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде
																																					y C (x)cos																						x	C						(x)sin						x	.
																																					y C (x)cos																						2	C						(x)sin							.
																																												1															2				2				2
Для нахождения C1(x)																																							и C2(x) составляем и решаем методом Крамера
следующую систему уравнений:
																											(x) y											(x) 0,
C (x) y (x) C																											(x) y											(x) 0,
	1		1																						2											2
C1(x) y1(x) C2(x) y2(x) f (x),
где					f (x) правая																											часть												исходного																	уравнения, т.е. в нашем случае
f (x)									1				ctg					x		.
f (x)													ctg							.
			4													2
Получаем																	x																							x
																	x																							x
			(x) cos																								(x) sin																	0,
C1			(x) cos													2			C2								(x) sin																	0,
																2																						2
		1																				x						1																					x						1							x
		1			C1(x) sin																	x						1				C2(x) cos																	x						1			ctg				x		.
					C1(x) sin																2							2				C2(x) cos																2						4				ctg						.
	2																				2							2																				2						4								2
					cos									x									sin							x									1
														x																x

				2																								2													,
						1				sin						x						1		cos								x						2			,
						1										x						1										x						2
																					2
				2												2					2							2
																								sin							x			2									1			cos					x					,
							0																								x
							0


	C1							1			ctg						x						1			cos							x								4									2
							4				ctg															cos
							4									2					2							2
											cos						x											0														1					cos			2				x
											cos						x											0																						2				x
																2																																						2			.
																2																																									.
	C2											1			sin				x							1			ctg					x							4							sin				x
												1							x							1								x							4

								2								2									4										2															2
Далее по формулам Крамера находим C1(x)																																																			и C2(x):
																																																															1						x
																																								C1(x)																C1							1		cos				x		;
																																								C1(x)																									cos						;
																																																															2				2