2.7ИДЗ матан

sin n 0,

cos n ( 1)n.

Найдем

значения

коэффициентов

ряда

Фурье

для функции

f (x) 3 4x:

1

1

1

1

(3 4x)2

a0

f (x)dx

(3 4x)dx

4

2

1

1

(3 4 )2 (3 4 )2

48 6;

8

8

u 3 4x

du 4dx

1

1

an

f (x)cosnxdx

(3 4x)cosnxdx

1

dv

cosnxdx v

sinnx

n

1

1

4

(3 4x)

sinnx

sinnxdx

n

n

4

1

cosnx

4

1

(cosn cosn ) 0.

n n

n n

u 3 4x

du 4dx

1

1

bn

f (x)sinnxdx

(3 4x)sinnxdx

1

dv sinnxdx v

cosnx

n

1

1

4

(3 4x)

cosnx

cosnxdx

n

n

1

( 3 4 cosn (3 4 )cos( n ))

1

sinnx

n2

n

n 1

f (x) 3 8n 1

( 1)

sinnx, x [ ; ].

n

2x 1,

3 x 0,

7.2. f (x)

[ 3;3]

0,

0 x 3

a

n x

n x

f (x)

o

an cos

bn sin

,

2

l

l

n 1

1

l

a0

l

f (x)dx;

l

1 l

n x

an

l

f (x)cos

dx;

l

l

1 l

n x

bn

l

f (x)sin

dx.

l

l

1

3

1

0

1

3

1

0

1 1 (2x 1)

2

3

a0

f (x)dx

(2x

1)dx

0dx

(2x 1)dx

3

3

3

3

3

2

2

1

3

3

0

3

3

25 49 2;

12

1 3

n x

1 0

n x

an

3

f (x)cos

dx

3

(2x 1)cos

dx

3

3

3

3

u 2x 1

du 2dx

n x

3

n x

dv

cos

dx v

sin

3

n

3

1

3

n x

0

6 0

n x

(2x 1)

sin

sin

dx

3

n

0

3

3

n 3

3

2

3

cos

n x

2

3

(cos0 cosn )

6

1 ( 1)

n

;

n

n

3

3

n

n

2n2

1 3

n x

1 0

n x

bn

3

f (x)sin

dx

3

(2x

1)sin

dx

3

3

3

3

u 2x 1

du 2dx

dv

sin

n x

dx v

3

cos

n x

3

n

3

1

3

n x

0

6

0

n x

(2x 1)

cos

cos

dx

3

n

3

n

3

3

3

0

1

3

21

( 1)

n

2

3

sin

n x

1

1 ( 1)

n

;

3

n

n

n n

3

3

n

n 1

6

1 ( 1)n

( 1)

n x

1

1 ( 1)n cos

n x

f (x) 1

sin

,

2

2

n

n

n 1

n

3

3

x [ 3;3].

8.1. Разложите функцию

f (x) sin

5x

,

x [0; ] в ряд Фурье по си-

2

2

2

bn

f (x)sinnxdx

sin2,5x sinnxdx

0

0

ную. Таким образом, коэффициент bn

будет равен нулю. Вычислим ко-

эффициенты a0

и an :

2

2

2

cos2,5x

2

cos2,5 1

4

a0

f (x)dx

sin2,5xdx

;

2,5

0

0

0

2,5

5

2

2

an

f (x)cosnxdx

sin2,5x cosnxdx

0

0

1

1

1

cos(n

2,5)x

cos(n 2,5)x