II. Справочный раздел

1. Табличные значения аргументов некоторых комплексных чисел

№	Комплексные числа	Стандартные значения		Главные значения
		в градусах	в радианах	в градусах	в радианах
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

2. Формулы сокращенного умножения

2.1. Квадрат суммы: ;

2.2. Квадрат разности: ;

2.3. Разность квадратов: ;

2.4. Куб суммы: ;

2.5. Куб разности: ;

2.6. Разность кубов: ;

2.7. Сумма кубов: .

3. Формулы для степеней и корней

6.1. Произведение степеней с одинаковыми основаниями: ;

6.2. Произведение степеней с одинаковыми показателями: ;

6.3. Отношение степеней с одинаковыми основаниями: ;

6.4. Отношение степеней с одинаковыми показателями: ;

6.5. Возведение степени в степень: ;

6.6. Степень с отрицательным показателем: ;

6.7. Произведение корней: ;

6.8. Отношение корней: ;

6.9. Замена корня дробной степенью: .

III. Практический раздел Образцы решения задач и их оформления

Задача 1.а. Найти сумму комплексных чисел и. Ответ записать в алгебраической и тригонометрической форме.

, .

Решение. По определению суммы комплексных чисел имеем:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

;

.

Ответ: – алгебраическая форма,

–тригонометрическая форма.

Задача 1.б. Найти сумму комплексных чисел и. Ответ записать в алгебраической и показательной форме.

, .

Решение. По определению суммы комплексных чисел имеем:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

;

.

Ответ: – алгебраическая форма,

–показательная форма.

Задача 2.а. Найти разность комплексных чисел и. Ответ записать в алгебраической и показательной форме.

, .

Решение. По определению разности комплексных чисел имеем:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

;

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– показательная форма.

Задача 2.б. Найти разность комплексных чисел и. Ответ записать в алгебраической и тригонометрической форме.

, .

Решение. По определению разности комплексных чисел имеем:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

;

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– тригонометрическая форма.

Задача 3.а. Найти произведение комплексных чисел и. Ответ записать в алгебраической и тригонометрической форме.

=,=

Решение. Учитывая, что имеем:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

,

;

.

Ответ: – алгебраическая форма,

–тригонометрическая форма.

Задача 3.б. Найти произведение комплексных чисел и. Ответ записать в алгебраической форме. Найти приближенное значение модуля с точностью до 0,001, а аргумента – с точностью до целого градуса.

, .

Решение. Учитывая, что будем иметь:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

;

.

Ответ: – алгебраическая форма,

–приближенное значение модуля,

–приближенное значение аргумента.

Задача 4.а. Найти частное . Ответ записать в алгебраической и показательной форме.

.

Решение. По определению частного комплексных чисел имеем:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– показательная форма.

Задача 4.б. Найти частное . Ответ записать в алгебраической форме. Найти приближенное значение модуля с точностью до 0,001, а аргумента – с точностью до целого градуса.

, .

Решение. По определению частного комплексных чисел имеем:

,

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

–приближенное значение модуля,

–приближенное значение аргумента.

Задача 5.а. Вычислить значение многочлена при.

а) Ответ записать в алгебраической форме;

б) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,0001;

в) найти приближенное значение аргумента в радианах с точностью до 0,001 и в градусах с точностью до целого градуса.

, .

Решение. Вычислим :

,

.

Вычислим значение многочлена:

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

,

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– точное и приближенное значения

модуля ответа,

– приближенное значение аргумента ответа в

радианах,

– приближенное значение аргумента ответа в

градусах.

Задача 5.б. Вычислить значение многочлена при.

а) Ответ записать в алгебраической форме;

б) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,0001;

в) найти приближенное значение аргумента в радианах с точностью до 0,001 и в градусах с точностью до целого градуса.

, .

Решение. Вычислим :

,

.

Вычислим значение многочлена:

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

,

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– точное и приближенное значения

модуля ответа,

– приближенное значение аргумента ответа в

радианах,

– приближенное значение аргумента ответа в

градусах.

Задача 6.а. Вычислить значение функции при. Ответ записать в алгебраической форме. Найти модуль и аргумент (в градусах) ответа.

.

Решение. Имеем:

.

Найдем модуль а аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– модуля ответа,

– значения аргумента ответа в градусах.

Задача 6.б. Вычислить значение функции при. Ответ записать в алгебраической форме. Найти модуль и аргумент (в градусах) ответа.

.

Решение. Имеем:

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– модуля ответа,

– значения аргумента ответа в градусах.

Задача 7.а. Вычислить значение функции при.

а) Ответ записать в алгебраической форме;

б) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,0001;

в) найти приближенное значение аргумента в радианах с точностью до 0,001 и в градусах с точностью до целого градуса.

.

Решение. Вычислим значения и:

,

,

.

Вычислим значение :

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

,

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– точное и приближенное значения

модуля ответа,

– приближенное значение аргумента ответа в

радианах,

– приближенное значение аргумента ответа в

градусах.

Задача 7.б. Вычислить значение функции при.

а) Ответ записать в алгебраической форме;

б) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,0001;

в) найти приближенное значение аргумента в радианах с точностью до 0,001 и в градусах с точностью до целого градуса.

.

Решение. Вычислим значения и:

,

,

.

Вычислим значение :

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

,

,

.

Ответ: – алгебраическая форма,

– точное и приближенное значения

модуля ответа,

– приближенное значение аргумента ответа в

радианах,

– приближенное значение аргумента ответа в

градусах.

Задача 8.а. Решить данное линейное уравнение.

а) Ответ записать в алгебраической форме;

б) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,0001;

в) найти приближенное значение аргумента в радианах с точностью до 0,001 и в целых градусах.

.

Решение. Преобразуем вид данного уравнения:

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

;

, ,

.

Ответ: – алгебраическая форма решения,

– точное и приближенное значения

модуля решения,

– приближенное значение аргумента решения в

радианах,

– точное значение аргумента решения в градусах.

Задача 8.б. Решить данное линейное уравнение.

а) Ответ записать в алгебраической форме;

б) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,0001;

в) найти приближенное значение аргумента в радианах с точностью до 0,001 и в целых градусах.

.

Решение. Преобразуем вид данного уравнения:

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

, ,

.

Ответ: – алгебраическая форма решения,

– точное значение модуля решения,

– приближенное значение аргумента решения в

радианах,

– точное значение аргумента решения в градусах.

Задача 9.а. Решить систему. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Решим систему методом Крамера. Вычислим основной и вспомогательные определители системы:

,

,

.

Найдем решение по формулам Крамера:

,

.

Таким образом, имеем .

Проверка:

Ответ:

Задача 9.б. Решить систему. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Решим систему методом Гаусса (исключения неизвестных). Для этого рядом с первым уравнением запишем коэффициент при во втором уравнении, а рядом со вторым уравнением запишем коэффициент прив первом уравнении. Умножим каждое уравнение почленно на рядом стоящую скобку, затем из первого равенства вычтем второе. Тогда коэффициент приравняется нулю. Имеем:

,

,

.

Подставим найденное значение в первое уравнение и найдем :

,

,

,

.

Таким образом, имеем .

Проверка:

Ответ:

Задача 10.а. Решить уравнение.

а) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,001;

б) найти значение аргумента в целых градусах.

Значение указывается преподавателем.

Решение. Преобразуем данное уравнение:

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

;

,

.

Воспользуемся формулой для извлечения корня -й степени

.

1) Если , то

;

,

,

.

2) Если , то

;

,

,

,

.

3) Если , то

;

,

,

,

,

.

4) Если , то

;

,

,

,

,

,

.

Ответ: 1) .

2) .

3) ,

.

4) ,

.

Задача 10.б. Решить уравнение.

а) найти точное значение модуля и его приближенное значение с точностью до 0,001;

б) найти главное значение аргумента в целых градусах.

Значение указывается преподавателем.

Решение. Умножим обе части уравнения на – сопряженному числу коэффициенту при и преобразуем полученное уравнение:

.

Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Так как , то. Имеем:

,

;

,

.

Воспользуемся формулой для извлечения корня -й степени

.

1) Если , то

.

Запишем тригонометрические формы корней со стандартными значениями аргументов:

,

,

.

Запишем тригонометрические формы корней с главными значениями аргументов:

,

,

.

2) Если , то

.

Запишем тригонометрические формы корней со стандартными значениями аргументов:

,

,

,

.

Запишем тригонометрические формы корней с главными значениями аргументов:

,

,

,

.

3) Если , то

;

Запишем тригонометрические формы корней со стандартными значениями аргументов:

,

,

,

,

.

Запишем тригонометрические формы корней с главными значениями аргументов:

,

,

,

,

.

4) Если , то

;

Запишем тригонометрические формы корней со стандартными значениями аргументов:

,

,

,

,

,

.

Запишем тригонометрические формы корней с главными значениями аргументов:

,

,

,

,

,

.

Ответ: 1) .

2) .

3) ,

.

4) ,

.

Задача 11.а. Решить квадратное уравнение: а) найти алгебраической форму корней; б) найти модули и аргументы корней в градусах.

.

Решение. Вычислим дискриминант данного квадратного уравнения:

.

Представим полученное значение в виде:

.

Так как

,

то приравнивая правые части последних двух равенств, получим систему двух уравнений

Решим полученную систему:

Подставим во второе уравнение выражение для из первого уравнения и решим биквадратное уравнение:

;

;

1) . В этом случае биквадратное уравнение не имеет корней;

2) .

Подставляя значения в равенстве, найдем значения:

.

Таким образом, имеем

или .

Дальнейшее вычисление не зависит от того, какое из этих равенств нами будет использовано. так как в обоих случаях получим один и тот же ответ.

Найдем корни исходного квадратного уравнения:

.

1) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

2) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

Ответ: ,, ;

, , .

Задача 11.б. Решить квадратное уравнение: а) найти алгебраической форму корней; б) найти модули и аргументы корней в градусах.

.

Решение. Вычислим дискриминант данного квадратного уравнения:

.

Представим полученное значение в виде:

.

Так как

,

то приравнивая правые части последних двух равенств, получим систему двух уравнений

Решим полученную систему:

Подставим во второе уравнение выражение для из первого уравнения и решим биквадратное уравнение:

;

;

1) . В этом случае биквадратное уравнение не имеет корней;

2) .

Подставляя значения в равенстве, найдем значения:

.

Таким образом, имеем

или .

Дальнейшее вычисление не зависит от того, какое из этих равенств нами будет использовано. так как в обоих случаях получим один и тот же ответ.

Найдем корни исходного квадратного уравнения:

.

1) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

2) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

Ответ: ,, ;

, , .

Задача 12.а. Решить кубическое уравнение: а) найти алгебраической форму корней; б) найти модули и аргументы корней в градусах.

.

Указание. У данного уравнения имеется чисто мнимый корень.

Решение. Согласно указанию у данного кубического уравнения имеется чисто мнимый корень . Так каки, то из данного уравнения будем иметь

Из первого уравнения системы находим: 1) ; 2). Подставим эти значения во второе уравнение системы:

1) ;

следовательно, не является решением системы;

2)

следовательно, является решением системы.

Таким образом, является корнем исходного кубического уравнения:.

Найдем остальные корни. Для этого разложим левую часть на множители. Одним из множителей является линейный множитель:

.

Второго множителя можно найти непосредственно:

.

Решим квадратное уравнение . Вычислим его дискриминант:

.

Представим полученное значение в виде:

.

Так как

,

то приравнивая правые части последних двух равенств, получим систему двух уравнений

Решим полученную систему:

Подставим во второе уравнение выражение для из первого уравнения и решим биквадратное уравнение:

;

;

1) . В этом случае биквадратное уравнение не имеет корней;

2) .

Подставляя значения в равенстве, найдем значения:

.

Таким образом, имеем

или .

Дальнейшее вычисление не зависит от того, какое из этих равенств нами будет использовано. так как в обоих случаях получим один и тот же ответ.

Найдем корни квадратного уравнения:

.

1) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

2) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

Ответ: ,, ;

, , ;

, , .

Задача 12.б. Решить кубическое уравнение: а) найти алгебраической форму корней; б) найти модули и аргументы корней в градусах.

.

Указание. У данного уравнения имеется чисто мнимый корень.

Решение. Согласно указанию у данного кубического уравнения имеется чисто мнимый корень . Так каки, то из данного уравнения будем иметь

Из первого уравнения системы находим: 1) ; 2). Подставим эти значения во второе уравнение системы:

1) ;

следовательно, не является решением системы;

2)

,

следовательно, является решением системы.

Таким образом, является корнем исходного кубического уравнения:.

Найдем остальные корни. Для этого разложим левую часть на множители. Одним из множителей является линейный множитель:

.

Второго множителя можно найти непосредственно:

.

Решим квадратное уравнение . Вычислим его дискриминант:

.

Представим полученное значение в виде:

.

Так как

,

то приравнивая правые части последних двух равенств, получим систему двух уравнений

Решим полученную систему:

Подставим во второе уравнение выражение для из первого уравнения и решим биквадратное уравнение:

;

;

1) . В этом случае биквадратное уравнение не имеет корней;

2) .

Подставляя значения в равенстве, найдем значения:

.

Таким образом, имеем

или .

Дальнейшее вычисление не зависит от того, какое из этих равенств нами будет использовано. так как в обоих случаях получим один и тот же ответ.

Найдем корни квадратного уравнения:

.

1) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

2) .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

;

,

.

Ответ: , , ;

, , ;

, , .