2. Геометрическое изображение комплексного числа. Понятие о модуле и аргументе

Всякому комплексному числу однозначно можно сопоставить точкуплоскости, абсцисса которой совпадает с вещественной частью числа, а ордината – мнимой частью:(рис. 1):

Рис. 1

В дальнейшем точку, которой соответствует комплексное число , будем обозначать соответствующей заглавной буквой. Плоскостьбудем называтькомплексной плоскостью. Точки, лежащие на оси абсцисс, имеют координаты и им соответствуют действительные числа. Точки, лежащие на оси ординат, имеют координатыи им соответствуют чисто мнимые числа. Остальным точкам плоскости соответствуют комплексные числа, не являющиеся ни вещественными и ни чисто мнимыми. Поэтому, ось абсцисс называетсявещественной осью, а ось ординат – мнимой осью.

Расстояние от точки, соответствующей комплексному числу, до нулевой точки – начала координат называетсямодулем этого комплексного числа и обозначается или. Так как треугольник– прямоугольный и– гипотенуза этого треугольника, то по теореме Пифагора, имеем

или

. (2.1)

Числа, имеющие один и тот же модуль , изображаются точками окружности радиусас центром в начале координат. Нулевое число является единственной точкой комплексной плоскости модуль которого равен нулю.

Отметим некоторые свойства модуля комплексного числа.

Свойство 1. Для любого комплексного числа справедливо неравенство, причем равенствоимеет место тогда и только тогда, когда.

Свойство 2. Для любого комплексного числа справедливо равенство, то есть.

Свойство 3. Для любого комплексного числа справедливы равенства.

Угол между вектороми положительным направлением осиназывается аргументом комплексного числаи обозначается:. Величина этого угла определяется двумя способами.

а) Пусть осуществляется кратчайший поворот положительного направления оси вокруг начала координат до совмещения с направлением вектора. Полученное значение угла называетсяглавным значением аргумента. Если поворот был осуществлен против хода часовой стрелки, то угол считается положительным; если же поворот был осуществлен по ходу часовой стрелки – отрицательным. Главное значение аргумента произвольного комплексного числа удовлетворяет условию

.

Например,

, ,,

, ,.

б) Пусть поворот положительного направления оси вокруг начала координат осуществляется против хода часовой стрелки до совмещения направлением вектора. Полученное значение угла называетсястандартным значением аргумента. Стандартное значение аргумента произвольного комплексного числа удовлетворяет условию

.

Например,

, ,,

, ,.

Связь между главным значением и стандартным значениемкомплексного числаустанавливается с помощью равенств:, если;, если. Эта связь показывает, что если известно одно из значений (главное или стандартное) аргумента, то легко можно получить и другое значение. Поэтому, если не оговорено особо, то в качестве значения аргумента комплексного числа будет рассматриваться его стандартное значение.

Пусть дано комплексное число . Если это число является чисто вещественным или чисто мнимым, то аргумент определяется просто. В противном случае комплексное число принадлежит одной из четырех четвертей. Записьбудет обозначать, что комплексное число принадлежит первой четверти. Аналогично, записи,,будут обозначать, что комплексное число принадлежит второй, третьей или четвертой четверти, соответственно.

Для нахождения аргумента вначале находим вспомогательный угол :

. (2.2)

Затем по формуле

(2.3)

определим значение аргумента комплексного числа.

Пусть – модуль, а– аргумент комплексного числа. Из треугольника(рис. 1) будем иметь

. (2.4)

Следовательно, комплексное число

(2.5)

можно представить в виде

. (2.6)

Представление комплексного числа в виде (2.6), называется тригонометрической формой комплексного числа.

Имеется еще одна форма записи комплексного числа. Она основана на равенстве

. (2.7)

Равенство (2.7) называется формулой Эйлера. Представление (2.6) с учетом (2.7) можно переписать в виде

. (2.8)

Представление комплексного числа в виде (2.8), называется показательной формой комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде (2.5) называется алгебраической формой комплексного числа.