Kretov_vse
.pdfЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
3557. |
Вычислить первые, вторые и третьи частные произ- |
||||||||||
водные для функции z = x4 |
+ 3x3 y − 4x2 y2 + 5xy3 − y4 . |
||||||||||
3558. |
Найти частные производные первого и второго по- |
||||||||||
рядка для функции z = exy . |
|
|
|
||||||||
3559. |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
Для u = sin xyz найти uxyz . |
|||||||||||
3560. Найти |
∂2 z , |
|
∂2 z |
|
и |
∂2 z , |
если z = z (u,v), u = x2 + y2 , |
||||
∂x∂y |
|||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
∂y2 |
|
|||||
v = xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3561. |
Найти |
∂2 z |
, |
|
∂2 z |
|
и |
∂2 z , |
если z = z (u,v), u = x + y, |
||
∂x2 |
|
∂x∂y |
|
||||||||
v = x − y. |
|
|
|
|
∂y2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3562. |
Найти d 3 z, если z = cos(x + 2 y2 ). |
§ 10.8. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛. Йр‡‰ЛВМЪ
Пустьфункциядвух переменных u = f (x; y) заданавнекоторой окрестности точки M (x; y). Рассмотрим некоторое направ-
ление l , определяемое единичным вектором e ={cosα; cos β}, где cosα 2 + cos β 2 =1. На прямой l , проходящей по этому направлению через точку М, возьмем точку M1 (x + ∆x, y + ∆y). Тогда
∆l = (∆x)2 +(∆y)2 , |
(10.8.1) |
∆u = f (x + ∆x, y + ∆y)− f (x, y). |
(10.8.2) |
При этом ∆x = ∆l cosα, ∆y = ∆l cos β.
362
ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
, |
∂u |
, |
∂u |
|
(10.8.6) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
gradu = |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
Так как |
∂u |
= |
∂u cosα + |
∂u cos β + |
∂u cos γ , где cos α, cosβ |
||||||||
|
∂l |
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
∂z |
|
и cos γ — координаты единичного вектора e направления l , то
|
|
|
∂u |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(10.8.7) |
||
|
|
|
e |
gradu |
||||||||||||||||||
|
|
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть |
|
∂u |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ, |
(10.8.8) |
|||||||
e |
|
|
gradu |
|
||||||||||||||||||
|
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ϕ — угол вежду векторами l |
и gradu . |
|
||||||||||||||||||||
Так как |
|
= 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
gradu |
|
. |
(10.8.9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∂l max |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.
Так как поверхность уровня функции u = f (x; y; z) задается уравнением f (x; y; z)= С, то ее дифференциал:
du = |
∂u dx + |
∂u dy + |
∂u dz. |
(10.8.10) |
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
Из формулы (10.8.10) следует, что градиент в данной точке ортогонален к поверхности уровня.
В случае функции двух переменных все остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фигурировать линия уровня.
Понятие градиента функции u = f (М) в точке M (x1; x2 ; ...; xm ) обобщается на случай любого числа переменных m:
364
§ 10.8. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛. Йр‡‰ЛВМЪ
|
|
∂u |
, |
∂u |
, ..., |
∂u |
(10.8.11) |
|
|||||||
gradu = |
∂x |
∂x |
. |
||||
|
|
1 |
2 |
∂x m |
|
При этом для производной по направлению также имеет место:
∂u |
= |
|
|
|
, |
(10.8.12) |
e |
gradu |
|||||
∂l |
|
|
|
|
|
|
где e = {cosα1; cosα2 ;...; cosαm }.
бДСДзаь
3563. Найти производную функции z=2,5x2 –5xy+3y2 +5y в точке А(1; 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол 30°. Определить направление максимального роста данной функции в данной точке.
3564. Найти производную функции z=3x2+5y2 в точке А(1; –1) по направлению к точке В(2; 1).
3565. Найти производную по направлению биссектрисы первого координатного угла в точке М(1; 1) функции z=x3y–5xy2 +8.
3566. Найти производную по направлению функции z=ln(еx +еy). Рассмотреть направление, параллельное биссектрисе первого координатного угла.
3567. Найти производную по направлению функции z=x2 + y2 в точке М(1; 1). Рассмотреть случаи, когда направление составляет с осью Ох угол:
1) π |
; 2) π ; 3) |
π . |
|
|
|
|||
3 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3568. |
Найти производную функции u =x2 – 2хz +y2 в точке |
|||||||
М(1; 2; – 1) по направлению вектора |
MM1 |
|
, где М1 — точка с |
|||||
координатами (2; 4; – 3). |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
у2 |
|
|
Найти производную функции u= |
|
2 |
|||||
3569. |
|
+ |
|
– z в точ- |
||||
4 |
9 |
ке М(2; 3; 1). Рассмотреть случаи, когда направление сов-
365
ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
падает: 1) с направлением радиуса-вектора этой точки; 2) с направлением вектора a = 4i −3 j.
3570. Найти производную функции z =x2 – xy– 2y2 в точке Р(1; 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол в 60˚.
3571. Найти производную функции z =x2 – 2x2y+ хy2 + 1 в точке М(1; 2) в направлении, идущем от этой точки к точке
N(4; 6).
3572. Найти производную функции z=ln x2 + y2 в точке
Р(1; 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла. 3573. Найти производную функции u =x2 – 3yz+ 5 в точке М(1; 2; – 1) в направлении, составляющем одинаковые углы со
всеми координатными осями.
3574. Найти производную функции u=xy+yz+zх в точке М(2; 1; 3) внаправлении, идущем от этой точки к точке N(5; 5; 15).
3575. Найти производную функции u =ln(еx +еy +еz) в начале координат в направлении, образующем с осями координат Ох, Оy, Оz углы, соответственно α, β,γ.
Найти gradz :
3576. z =4 – x2 – y2 в точке М(1; 2).
xy |
|
3577. z = x2 + y2 +1 |
в точке М(0; 3). |
3578. z =(x– y)2 в точке М(1; 1).
2x
3579. z = ex2 +y2 в точке М(1; 1). 3580. z = x2 + y2 – 3xy в точке М(2; 1).
3581. z = x2 − y2 в точке М(5; 3). 3582.u =xyz в точке М(1; 2; 3).
Найти gradu и gradu :
3583. u = x2 + y2 − z2 в точке M (1; −1; 2). 3584. u = 4 − x2 − y2 + z2 в точке M (3; 2;1).
366
§ 10.8. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛. Йр‡‰ЛВМЪ
3585. u = x2 + y2 + z2 в точке M (−1; 2; 0). 3586. u = xyz в точке M (3; −1; 2).
3587. Найти величину и направление grad u в точке
(2; – 2; 1), если u = x2 + y2 + z2.
3588. Найти угол между градиентами функции z=ln xy в
точках А 12 ; 14 и B(1; 1).
3589. Найти направление максимального роста функции z =3x2 +xy– 2y2 в точке А(2; 1). Найти также наибольшее из значений производных по разным направлениям в точке А.
3590. Даны функция z= x2 + 3y3 – xy, точка А(1; 1) и вектор a = {– 5; 12}. Найти а) grad z( A); б) производную в точке А
по направлениюa .
3591. Построить линию уровня функции z=4 – x2 – y2, проходящую через точку А(1; 1). Построить grad z( A) и убедиться, что он перпендикулярен построенной линии уровня.
3592. Для функции z=arctg xy построить линии уровня и
градиент. Сравнить их направления в точках (1; 1) и (1; – 1). 3593. Найти наибольший рост поверхности z=xy в точке
(4; 2).
3594. Найти производную функции z=ln(еx +еy) в направлении, параллельном биссектрисе первого координатного угла.
3595. Определить производную функции f(x, y, z)=x2y2 +x2z2+
2 2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
+ y z |
в точке А |
|
|
; |
|
|
; |
|
|
в направлении l , составляющем |
|
3 |
4 |
3 |
4 |
3 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
с осями Оx, Оy, |
Оz углы соответственно α, β,γ, а также гра- |
диент этой функции, его величину и направляющие косинусы.
367
ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
3596. Найти градиент функции u=x2 +y2 +z2 и ее производ-
ную в точке А(1; 1; 1) в направлении l ={сos45˚; сos60˚; сos60˚} построить поверхность уровня через А.
3597. Построить поверхность уровня функции u=x2 +y2 –2z,
а также найти и построить grad u в точках пересечения поверхности u =4 с осью Оx.
§10.9. щНТЪрВПЫП ЩЫМНˆЛЛ
Пусть функция u =f(М) определена на некотором множестве, а M0 (x10 ; x20 ; ...; xm0 ) — некоторая точка этого множества.
Определение 1. Функция u=f(М) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М0 из области определения функции, что для любой точки М(х1; х2; …; хm) из этой окрестности выполняется неравенство:
f (M )≤ f (M 0 ) (f (M )≥ f (M 0 )). |
(10.9.1) |
Необходимое условие локального экстремума: если функ-
ция u =f(х1; х2; …; хm) имеет в точке M0 (x10 ; x20 ; ...; xm0 ) локаль-
ный экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные в точке М0 равны нулю, то есть
∂u |
|
M |
= 0, i =1,2,..., m. |
(10.9.2) |
∂x |
|
|||
i |
|
|
0 |
|
Условие (10.9.2) равносильно следующему:
du |
M0 |
= 0. |
(10.9.3) |
Условие (10.9.2) или (10.9.3) не является достаточным для локального экстремума.
Определение 2. Точка М0, для которой выполняется условие (10.9.2) или (10.9.3), называется стационарной точкой функции u =f(М).
368
§ 10.9. щНТЪрВПЫП ЩЫМНˆЛЛ
Достаточное условие экстремума.
Пусть в стационарной точке М0 и в некоторой ее окрестности функция u =f(х1; х2; …; хm) имеет все непрерывные частные производные второго порядка. Тогда, если в этой точке d2u является знакоопределенной квадратичной формой от дифференциалов dх1, dх2, …, dхm независимых переменных, то данная функция и имеет в точке М0 локальный экстремум. При этом: 1) если d2u > 0, то это локальный минимум; 2) если d2u< 0, то это локальный максимум. Если же d2u является знакопеременной формой в точке М0, то функция u=f(х1; х2; …; хm) не имеет локального экстремума.
Пусть u =f(х1; х2) — функция двух переменных. Обозна-
чим: |
a |
= |
∂2u |
, a |
= |
∂2u |
, |
a |
= |
∂2u |
в стационарной точке |
||
∂x 2 |
∂x |
∂x |
∂x 2 |
||||||||||
|
11 |
|
12 |
|
|
22 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
М0(х0; у0). Тогда достаточное условие экстремума для этой функции будет иметь вид:
1)если a11a22 − a122 >0 и а11 <0, то (х0; у0) — точка максимума;
2)если a11a22 − a122 >0 и а11 >0, то (х0; у0) — точка минимума;
3)если a11a22 − a122 < 0, то (х0; у0) не является точкой экстремума;
4)если a11a22 − a122 = 0, то точка М0(х0; у0) может как быть, так и не быть точкой экстремума.
Для нахождения экстремума функции в замкнутой области D сначала находят все локальные экстремумы внутри области D, а
затем наибольшее и наименьшее значения на ее границе. Сравнивая полученные величины, находим наименьшее и наибольшее значения функции в области D.
Поиск экстремума функции u =f(х1; х2) при условии, что точки (х1; х2) удовлетворяют уравнению ϕ (х1; х2) = 0, сводится
к задаче на обычный экстремум для новой функции |
|
F (x1; x2 ; λ)= f (x1; x2 )+ λϕ(x1; x2 ), |
(10.9.4) |
которая называется функцией Лагранжа, а λ — множитель Лагранжа.
369
ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
бДСДзаь
Исследовать на экстремум следующие функции: |
|||||||||
3598. |
f (x; y)= 4x2 y + 24xy + y2 + 32 y − 6. |
||||||||
3599. |
f (x; y)= x2 + xy −2x −3y +5 2 . |
||||||||
|
f (x; y)= −x2 |
|
|
|
|
|
3 |
||
3600. |
+ xy − y2 |
−9x + 3y − 20. |
|||||||
3601. |
f (x; y)= −x2 |
+ xy − y2 |
−9 y + 6x −35. |
||||||
3602. |
f (x; y)= 6x2 |
− 7xy + 2 y2 |
+ 6x −3y. |
||||||
3603. |
f (x; y)= 4x2 |
−5xy + 3y2 |
−9x −8y. |
||||||
3604. |
f (x; y)= |
x3 |
− xy2 + |
x2 |
−3xy − 2x + y2 + 3y. |
||||
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
||
3605. |
f (x; y)= 2x3 + 2 y3 −36xy +10. |
||||||||
3606. |
f (x; y)=14x3 + 27xy2 |
− 69x −54 y. |
|||||||
3607. |
f (x; y)= x4 + y4 |
− 2x2 |
+ 4xy − 2 y2 . |
||||||
3608. |
f (x; y)= x3 y2 (12 − x − y). |
||||||||
3609. |
f (x; y)= x3 + y2 |
− 6xy −39x +18y + 20. |
|||||||
3610. |
f (x; y)= x2 + (y −1)2. |
3611. f (x; y)= x2 − (y −1)2. |
|||||||
3612. |
f (x; y)= (x − y +1)2. |
|
|
||||||
3613. |
f (x; y)= x2 − xy + y2 − 2x + y. |
||||||||
3614. |
f (x; y)= x2 y3 (6 − x − y). |
3615. f (x; y)= x3 + y3 −3xy. |
|||||||
3616. |
f (x; y)= x4 + y4 − x2 − 2xy − y2. |
||||||||
3617. |
f (x; y)= 2x4 + y4 − x2 − 2 y2. |
||||||||
3618. |
f (x; y)= xy + |
50 |
+ 20 |
(x>0, y >0). |
|||||
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
370 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|