Kretov_vse
.pdfЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
Дифференциал сложной |
функции |
u = u(x; y), где |
||||||
x = x(t1 ;t2 ), y = (t1; t2 ), |
определяется по формуле: |
|||||||
du = |
∂u dt + |
∂u |
dt |
|
, |
(10.5.8) |
||
|
|
|||||||
|
∂t |
1 |
∂t |
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
то есть не зависит от того, являются ли х и у независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.
Определение. Функция u = u(x; y) называется неявной функцией переменных х и у, если она определяется уравнением F (x; y; u)= 0, неразрешенным относительно u.
Если функция F(x; y;u) дифференцируема по переменным
х, у, u, в некоторой области и Fu '(x; y;u)≠ 0 , то уравнение |
||||||||||||||
F(x; y;u)= 0 |
определяет |
|
однозначную неявную |
функцию |
||||||||||
u(x; y), также дифференцируемую u |
|
|
|
|
||||||||||
∂u |
= − |
Fx '(x; y;u) |
∂u |
|
Fy '(x; y;u) |
|
||||||||
∂x |
|
, |
∂y = − |
|
. |
(10.5.9) |
||||||||
Fu '(x; y;u) |
Fu '(x; y;u) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
бДСДзаь |
|
|
|
|
||||
Найти ∂u |
, если u = u(x; y), |
x = x(t), |
y = y(t): |
|
||||||||||
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3459. u = e x2 +y2 , x = cos 2t, |
y = a sin t. |
|
||||||||||||
3460. u = x5 |
+ 2xy − y3 , |
x = cos 2t, |
y = arctgt. |
|
||||||||||
3461. u = x2 |
+ y 2 + xy, |
|
x = a sin t, |
y = a cos t. |
|
|||||||||
3462. u = cos (2t + 4x |
2 |
− y) |
1 |
|
t |
|
||||||||
|
, x = |
|
, |
|
y = ln t . |
|
||||||||
|
t |
|
|
|||||||||||
352 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВfl‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ
|
3463. u = x2 y3 , |
|
|
x = t, |
y = sin t. |
|||||||||||||||
|
3464. u = e xy ln(x + y), |
x = t 3 , |
y =1 − t 3 . |
|||||||||||||||||
|
3465. u = xyarctg(xy), |
x = t 2 +1, y = t 3 . |
||||||||||||||||||
|
3466. u = e2 x−3 y , |
|
|
x = tgt, y = t 2 − t. |
||||||||||||||||
|
3467. u = x y , |
x = ln t, |
y = sin t. |
|||||||||||||||||
|
3468. u = arctg |
y |
|
, x = e2t +1, |
y = e2t −1. |
|||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3469. u = x4 + y 4 |
− 4x2 y 2 , |
x = e2t , y = e2t . |
|||||||||||||||||
|
3470. u = xy + |
x |
, |
x = tgt, |
y = ln t. |
|||||||||||||||
|
y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3471. u = |
x |
, |
|
|
|
x = arctg2t, |
y = arcsin t. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3472. u = |
x |
|
|
|
|
, |
x = 5t2 , |
y = arccos 2t. |
|||||||||||
|
|
|
x2 |
|
+ y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3473. u = x sin(x + y), |
x = |
|
1 |
, |
y = (t −1)2 . |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3 |
|
|
|
||
|
3474. u = |
cos x2 |
|
, |
x = ln(t + 2), |
y = tgt. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3475. u = tg |
x2 |
|
, |
|
|
|
x = cos2 t, y = sin 2t. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
данных |
|
|
|
|
|
z = f (x; y), |
x = x(u; v) y = y(u;v) найти |
|||||||||||
∂z |
, ∂z |
и dz: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
3476. z = x3 + y3 , где x = uv, |
y = |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
353 |
ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
3477. z = |
|
|
|
x2 − y2 , |
где x = uv , |
y = u ln v. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3478. z = cos xy, где x = uev , |
y = v ln u. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3479. z = arctgxy, |
где x = |
u2 +v2 , |
y = u −v. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3480. z = |
|
|
|
x + y, |
где x = utgv, |
y = uctgv. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3481. z = ln 7 |
x2 +3y5 , где x = u cos v, |
y = u sin v. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Найти |
производные |
′ |
|
неявных |
функций, |
заданных |
|||||||||||||||||||||||
y (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||
уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3482. xe2 y |
− y ln x =8. |
|
|
3483. e y |
+ 9x2 e−y − 26x = 0. |
||||||||||||||||||||||||
3484. ln |
|
|
|
x2 + y 2 |
= arctg |
y . |
3485. x2 |
ln y − y 2 ln x = 0. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3486.1 + xy − ln(e xy + e−xy )= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3487. Найти |
∂z |
, |
∂z |
и dz для неявной функции z = f (x; y), |
|||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
определенной уравнением z3 + 3x2 y + xz + y 2 z 2 |
+ y − 2x = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||
3488. Найти z′x |
и z′y , если x + y + z = e−(x+y+z ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Найти |
∂z |
, |
|
∂z |
|
|
и dz для неявных функций z = f (x; y), опре- |
||||||||||||||||||||||
∂x |
∂y |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
деляемых следующими уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3489. z3 − 3xyz = R2 . |
3490. x + y + z = e z . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3491. |
x2 |
|
+ |
|
y 2 |
|
|
+ |
|
z |
2 |
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a 2 |
|
b2 |
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3492. Найти |
|
|
|
∂z |
, |
∂z |
, |
если |
z = u 2 ln v , |
где |
u = |
y |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
v = x2 + y2 .
354
§ 10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВfl‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ
3493. Найти dz, если z = f (u, v), где u = |
|
2 y |
|
, v = x2 |
−3y. |
|||||||||
|
x + y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3494. Найти |
∂z |
, |
∂z |
, если |
z = f (u, v), |
где |
u = ln(x2 |
− y 2 ), |
||||||
∂x |
∂y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v = xy2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти dz, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3495. z = u 2 v − uv2 , |
где u = x sin y, |
v = y cos x. |
|
|
||||||||||
3496. z = f (u, v), где u = cos xy, |
v = x5 − 7 y. |
|
|
|
||||||||||
3497. z = f (u, v), где u = sin |
x |
, |
v = |
x . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
§10.6. д‡Т‡ЪВО¸М‡fl Л МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ
Пусть M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) фиксированная точка на поверхности σ, заданной функцией z = f (x; y) или уравнением F(x; y; z)= 0.
Определение 1. Касательной плоскостью к σ в точке M 0 называется плоскость α, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на σ черезM 0 .
Определение 2. Нормалью называется прямая n, проходящая через M 0 перпендикулярно α.
Из определения α и n следует, что нормальный вектор касательной плоскости α и направляющий вектор прямой n совпадают.
Если α задана функцией z = f (x; y), то уравнения α и n со-
ответственно имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 = z′x (x0 ; y0 )(x − x0 )+ z′y (x0 ; y0 )(y − y0 ), |
(10.6.1) |
||||||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
(10.6.2) |
|
z′x (x0 ; y0 ) |
z′y (x0 ; y0 ) |
−1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
355 |
ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
Если α задана уравнением: F(x; y; z)= 0, то уравнения α и
n соответственно имеют вид: |
|
|
|
||||
|
Fx′(x0 ; y0 ; z0 )(x − x0 )+ Fy′(x0 ; y0 |
; z0 )(y − y0 )+ |
|||||
|
|
|
|
|
(10.6.3) |
||
|
+ Fz′(x0 ; y0 ; z0 )(z − z0 )= 0, |
||||||
|
x − x0 |
y − y0 |
|
z − z0 |
|||
|
|
= |
|
= |
|
|
. (10.6.4) |
|
Fx′(x0 ; y0 ; z0 ) |
Fy′(x0 ; y0 ; z0 ) |
Fz′(x0 ; y0 ; z0 ) |
бДСДзаь
Составить уравнение касательной прямой и нормали к кривой y = y(x), заданной уравнением F(x; y)= 0 в точке
M 0 (x0 ; y0 ):
3498. x3 + 2xy3 − yx4 −2 = 0 , M0 (1;1). 3499. x3 y − y3 x = 6 , M0 (2;1).
3550. x2 y2 − x4 − y4 +13 = 0 , M0 (2;1).
3501. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = f (x; y), определенной неявно уравне-
нием x2 + 3y 2 − 4z 2 =15 в точке M0 (2; −3; 2).
3502. На сфере x2 + y 2 + z 2 = 676 найти точки, где касательные плоскости параллельны плоскости 3x + 4 y +12z =15 .
3503. К поверхности x2 + 2 y 2 + 3z 2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x + 4 y + 6z = 0 .
3504. К эллипсоиду |
x2 |
+ |
y 2 |
+ |
z 2 |
=1 провести касатель- |
|
a 2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
ные плоскости, отсекающие на координатных плоскостях равные по величине отрезки.
356
§ 10.6. д‡Т‡ЪВО¸М‡fl Л МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ
3505. На поверхности x2 + y 2 − z 2 = 2x найти точки, в ко-
торых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
b2 + c2 |
2 |
|
|
3506. Показать, |
что |
|
сфера |
x |
|
+ y |
|
+ z − |
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
b2 |
(b2 + c2 ) и конус |
|
x2 |
+ |
|
y 2 |
− |
z 2 |
= 0 касаются друг друга в |
|||||||
c2 |
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точках (0, ± b, c).
Доказать, что уравнение касательной плоскости α, проведенной к данной поверхности в данной точке M 0 (x0 ; y0 ; z0 ), имеет указанный вид:
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
z 2 |
|
x |
x + |
|
|
y |
|
y + |
z |
0 |
|
z =1. |
|||||||||||||||||||
3507. |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
=1 , (α): |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
a 2 |
b2 |
c2 |
a2 |
|
b2 |
c |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
z 2 |
|
x |
x + |
|
|
y |
|
y − |
|
z |
0 |
|
z =1. |
||||||||||||||||||
3508. |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
=1 , (α): |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
a 2 |
b2 |
|
c2 |
a2 |
|
b2 |
|
c |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
z 2 |
|
|
|
x |
|
|
x |
+ |
|
y |
y − |
|
z |
0 |
z = −1. |
||||||||||||||||
3509. |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
= −1 , (α): |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
c2 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
c2 |
||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
z 2 |
|
x |
x + |
|
|
y |
|
y − |
z |
0 |
|
z = 0. |
|||||||||||||||||||
3510. |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
= 0 , (α): |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
a2 |
b2 |
|
c2 |
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y 2 |
, (α): z + z0 |
= |
|
2x |
|
|
|
x |
+ |
|
2 y |
|
|
|
y. |
||||||||||||||||
3511. |
z = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
p2 |
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y 2 |
, (α): z + z0 |
= |
|
2x |
|
|
|
x |
− |
2 y |
|
|
|
y. |
|||||||||||||||||
3512. |
z = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
p2 |
|
q2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§10.7. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В
ˉЛЩЩВрВМˆЛ‡О˚ ‚˚Т¯Лı ФУрfl‰НУ‚
Пусть задана дифференцируемая функция z =f(x; y).
357
ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı
Определение 1. Второй частной производной по х называется функция:
∂2 z |
= |
∂ |
∂z |
, |
(10.7.1) |
||
∂x |
2 |
|
|
|
|||
|
|||||||
|
|
∂x |
∂x |
|
|
если существует.
Определение 2. Второй частной производной по y называется функция:
∂ |
2 |
z2 = |
∂ |
|
∂z |
|
|
|
|
, |
(10.7.2) |
||||
∂y |
|
|
|||||
|
∂y |
∂y |
|
если существует.
Определение 3. Смешанной частной производной второго порядка называется функция:
∂2 z |
= |
∂ |
∂z |
|
∂2 z |
= |
∂ |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
(10.7.3) |
||
∂x∂y |
|
∂y∂x |
|
||||||||
|
∂y |
∂x |
|
|
∂x |
∂y |
|
Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой.
Определение 4. Выражение
d 2 z = d (dz)= ∂2 z dx2 + 2 ∂2 z dxdy + ∂2 z dy2 (10.7.4)
∂x2 ∂x∂y ∂y2
называется дифференциалом второго порядка для функции z. По аналогии можно определить частные и смешанные производные высших порядков, часть которых, в случае не-
прерывности производных, равны между собой.
Число разных частных производных порядка n от функции двух переменных равно n +1:
∂n z |
, |
∂n z |
, |
|
∂n z |
|
,..., |
|
∂n z |
, |
∂n z |
, |
∂n z |
. (10.7.5) |
|||||||
∂x |
n |
∂x |
n−1 |
∂x |
n−2 |
∂y |
2 |
∂x |
2 |
∂y |
n−2 |
∂x∂y |
n−1 |
∂y |
n |
||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:
358
§ 10.7. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В Л ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О˚ ‚˚Т¯Лı ФУрfl‰НУ‚
d |
3 |
z = d(d |
2 |
z) = |
∂3 z |
dx |
3 |
+3 |
∂3 x |
dx |
2 |
dy + |
|||||
|
|
∂x3 |
|
∂x2∂y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.7.6) |
||||
|
|
|
∂3 z |
|
|
|
|
|
∂3 z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+3 |
dxdy |
2 |
+ |
dy |
3 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
∂x∂y2 |
|
∂y3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение для d ′′z формально можно записать в виде
′′ |
|
∂ |
|
∂ |
n |
|
|
|
|
dx + |
|
dy |
(z). |
(10.7.7) |
|
d z = |
∂x |
∂y |
|||||
|
|
|
|
|
|
по аналогии с формулой бинома Ньютона.
бДСДзаь
3513. Найти все частные производные первого, второго и третьего порядка для функции z = x3 − x2 y − y3 .
3514. |
Для функции z = e xy2 . |
Найти: |
∂4 z , |
∂4 z |
|
, |
|
∂4 z |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
∂x2∂y2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x4 |
|
|
∂x3∂y |
|
|
|
|
||||||
3515. |
Найти d 2 z, |
если z = arctg |
|
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3516. |
Найти d 2 z, |
если z = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3517. |
Найти d 3 z, |
если z = |
|
xy |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3518. |
Найтиd 2 z, |
если z = ln(x2 + y2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для данных функций найти требуемую частную производ- |
||||||||||||||||||||||||
ную или дифференциал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3519. z = sin x sin y, d |
2 |
z. 520. z = 4x |
3 |
+3x |
2 |
y +3xy |
2 |
− y |
3 |
, |
∂2 z |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
359 |