Kretov_vse
.pdf§ 9.6. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФУ‚ВрıМУТЪЛ ‚р‡˘ВМЛfl
Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности вращения:
3077. |
Дуга параболы y2 = 2x, x [0; 4] вокруг оси Ох. |
|||||
3078. |
Эллипс |
x2 |
+ |
y2 |
=1 вокруг оси Оу. |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|||
3079. |
Окружность r = 4sinϕ вокруг полярной оси. |
|||||
3080. |
Окружность r = 2cosϕ вокруг полярной оси. |
|||||
3081. Дуга кривой |
y = 1 x3 от x = −1 до x =1 вокруг оси |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
Ох.
3082. Отрезок с началом в точке О(0; 0) и концом в точке A(R; H) вокруг оси Оу.
3083. Дуга кривой y = sin 3x, 0 ≤ x ≤ π |
вокруг оси Ох. |
|||||||||||||
|
1 y2 |
|
1 ln y, 1 ≤ y ≤ e |
3 |
|
|
|
|||||||
3084. Кривая |
− |
вокруг оси Оy. |
|
|||||||||||
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
sin t |
|
|
|
|
π |
|
||
|
|
x = e |
|
, |
от t1 |
= 0 |
до t2 = |
вокруг |
||||||
3085. Дуга линии |
|
|
t |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
y = e cost |
|
|
|
|
|
|
||||||
оси Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
, |
0 ≤ t |
≤ 2 |
2 вокруг оси Ох. |
|||||
3086. Дуга кривой |
|
|
|
|
t2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
, |
0 ≤ t ≤ 4 2 вокруг оси Ох. |
|||
3087. Дуга кривой |
|
|
|
|
|
t2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 |
− |
|
|
|
|
|||
16 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3088. Кардиоида r =10(1+cosϕ) вокруг полярной оси.
311
§ 9.7. лЪ‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУПВМЪ˚ Л ПУПВМЪ˚ ЛМВрˆЛЛ
Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y = f (x), (a ≤ x ≤ b) вычисляются по формулам:
M x |
= ∫b |
ydl , |
M y = ∫b |
xdl; |
(9.7.4) |
|
a |
|
a |
|
|
|
b |
|
Iy = b∫ x2dl, |
|
|
I x |
= ∫ y2 dl , |
(9.7.5) |
|||
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
где dl — дифференциал дуги кривой, который определяется по формулам:
1) dl = 1+ y '2 dx, если дуга задана уравнением y = f (x);
2)dl = (xt ')2 +( yt ')2 dt, если дуга задана параметрически;
3)dl = r2 +(rϕ ')2 dϕ, если дуга задана в полярной сис-
теме координат.
Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью Ох, и двумя прямыми х = a и x = b, вычисляются по формулам:
|
|
|
|
2 |
|
∫a |
|
|
2 |
∫a |
|
|
|
||
M x = |
1 |
b |
ydS = |
1 |
b |
y2dx ; |
(9.7.6) |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
M y |
= ∫b |
xdS = ∫b |
xydx ; |
(9.7.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 b |
|
2 |
|
1 b |
|
3 |
|
|||||
I x |
= |
|
|
∫a |
y dS = |
|
|
∫a |
y dx ; |
(9.7.8) |
|||||
|
3 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 b |
|
2 |
1 b |
2 |
|
|
|||||||
I y |
= |
|
∫a |
x dS = |
|
∫a |
|
|
(9.7.9) |
||||||
3 |
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x ydx . |
В формулах (9.7.6—9.7.9) dS = ydx — дифференциал площади криволинейной трапеции.
313
§ 9.7. лЪ‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУПВМЪ˚ Л ПУПВМЪ˚ ЛМВрˆЛЛ
3100. Вычислить момент инерции окружности радиуса r относительно оси, находящейся с ней в одной плоскости и отстоящей от центра ее на расстоянии b (b > r) .
3101. Вычислить момент инерции сектора круга радиуса r, соответствующего центральному углу α , относительно одного из крайних его радиусов.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непод-
вижной оси, равна 12 Iω2 , где ω — угловая скорость, а I —
момент инерции относительно оси вращения.
3102. Вычислить кинетическую энергию прямоугольной пластинки, стороны которой равны а см и b см (a > b) , вра-
щающейся с постоянной угловой скоростью ω с– 1 вокруг оси, проходящей через ее центр параллельно большей стороне.
3103. Пластинка, имеющая форму круга радиуса r см, вращается с постоянной угловой скоростью ω с– 1 вокруг оси, находящейся с ней в одной плоскости и отстоящей от ее центра на расстоянии d (d > r) . Вычислить кинетическую энергию
этой пластинки.
3104. Пластинка, имеющая форму треугольника с основанием а см и высотой h см, вращается с постоянной угловой скоростью ω с– 1 вокруг стороны а. Вычислить кинетическую энергию этой пластинки.
3105. Доказать, что момент инерции Ix дуги M1M2 , взятый относительно оси х, равен моменту инерции It этой дуги, взятому относительно оси t, параллельной оси х и проходящей через центр тяжести дуги M1M2 , сложенному с произведе-
нием длины дуги на квадрат расстояния между осями.
3106. Найти статический момент и момент инерции треугольника с основанием а и высотой h относительно его основания.
3107. Найти момент инерции параболического сегмента, ограниченного параболой y = 4 − x2 и прямой у = 3 относительно оси Ох.
315
§ 9.8. з‡ıУК‰ВМЛВ НУУр‰ЛМ‡Ъ ˆВМЪр‡ ЪflКВТЪЛ
где dl — дифференциал дуги кривой, который определяется по формулам:
1) dl = 1+ y '2 dx, если дуга задана уравнением y = f (x);
2)dl = (xt ')2 +( yt ')2 dt, если дуга задана параметрически;
3)dl = r2 +(rϕ ')2 dϕ, если дуга задана в полярной систе-
ме координат; а l — длина дуги.
Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам:
|
|
|
|
S |
∫a |
S ∫a |
|
|
|||
x |
|
= |
1 |
b |
xdS = |
1 b |
xydx , |
(9.8.2) |
|||
|
|
|
|||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yc |
= |
1 |
b |
ydS = |
1 |
b |
y2dx , |
(9.8.3) |
|||
2S |
∫a |
2S |
∫a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
где dS = ydx, a S — площадь фигуры.
Координаты центра тяжести однородного тела (с объемной плотностью ρ =1 ), образованного вращением криволинейной
трапеции, ограниченной кривой y = f (x), f (x) ≥ 0, |
осью х-ов |
|||||||||
и прямыми x1 = a, |
x2 = b (b > a) , |
вокруг оси х-ов опреде- |
||||||||
ляются по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
∫b |
y2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
a |
|
; y |
c |
= z |
c |
= 0 . |
(9.8.4) |
||
b |
|
|||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫y2dx |
|
|
|
|
|
|
a
Теоремы Гульдина.
Теорема 1 . Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кри-
317
§ 9.8. з‡ıУК‰ВМЛВ НУУр‰ЛМ‡Ъ ˆВМЪр‡ ЪflКВТЪЛ
3124. Найти центр тяжести трапеции, ограниченной параболой y = −ax2 +b (a > 0,b > 0) и осью х-ов.
3125. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной косинусоидой от точки x1 = −π2 до точки x2 = π2 и осью х-ов.
3126. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной полукубической параболой ay2 = x3 и прямой x = a (a > 0).
3127. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной параболами y2 = 2 px и x2 = 2 py.
3128. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной косинусоидой y = cosx от точки x1 = −π2 до точки x2 = π2 и
прямой |
y = |
1 . |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3129. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной |
||||||||
прямой |
y = |
2 |
x, синусоидой y = sin x и осью х-ов (x > 0). |
|||||
|
||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
||
3130. Найти центр тяжести плоской фигуры, |
лежащей в |
|||||||
первом квадранте и ограниченной эллипсом |
x2 |
+ |
y2 |
=1, ок- |
||||
a2 |
b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ружностью x2 + y2 = a2 и осью у-ов.
3131. Пользуясь теоремой Гульдина, вычислить величину поверхности и объем тела, полученного вращением равностороннего треугольника со стороной, равной а, вокруг оси, отстоящей от его центра тяжести на расстоянии d (d > a).
3132. Пользуясь теоремой Гульдина вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением круга радиуса r около непересекающей его оси, если расстояние центра круга от оси вращения равно h (h > r).
3133. Пользуясь теоремой Гульдина, вычислить объем тела, полученного вращением эллипса с осями 2а и 2b (a>b) вокруг прямой, параллельно большой оси эллипса и отстоящей
319