Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov_vse

.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5022 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

y = ex .

§ 7.1. ирУЛБ‚У‰М‡ﬂ ЩЫМНˆЛЛ

2) y = ln x в точке пересечения с осью Ох;

3)	y =	x3	в точке х= 1;
		3

4)	y = e2 x		в точке пересечения с осью Оу.

Найти производные второго порядка от функций:

1674. y = e−x2 .			1675. y = tgx.
1677. y = arc sin	x	.	1678. y = sin2 x.
1677. y = arc sin	2	.	1678. y = sin2 x.
	2

1676. y = ctgx.

1679. y = cos2 x.

1680. y = 1+ x2 . 1681. y = arctg	1	. 1682. y = ln(2x −3).
	x

Найти производные 3-го порядка от функций:

1683. y = arctg 2x . 1684. y = xe−x . 1685. y = excosx.

1686. y = x2 sin x. 1687. y = x3 2x. 1688. y = x ln x.

Найти производные n-го порядка от функций:

1689. y = sin x. 1690. y = cosx. 1691. 1692. y = ln x. 1693. y = 3x. 1694. y = xm , где m > 0 — целые.

			y = e		x
1695.	y = sin 3x.	1696.			2	.	1697.			y = ln(1+ x).
1698.	y = 23x.	1699.	y = sin2 x.					1700. y = cos2 x.
1701.	y = ln(2 −3x).	1702.		y = (4x +1)n .						1703.	y = xcosx.
1704.	y = x3ex .	1705.		y = x2 sin				x	.	1706.	y = x2 ln x.

							3

211

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

Найти yx ' , если:

1707. x

+ y

= a

. 1708. y

= 2 px.

1709.

=1.

1710.

−

=1.

1711. ctgy = xy.

1712. e−x sin y −e− ycosx = 0.

1713. exy − x2 + y3 = 0.

1714. arctg

ln(x2

+ y2 ).

1715. arctgy = x + y.

1716. x2

y − x

x + 2 y

Найти

d 2 y

dx2

x = a cost

x = t2

x = e

1717.

sin t.

1718.

y = t

−t.

1719.

= e3t .

y = b

x = a(t −sin t)

x = t

1722.

= a cos

1720.

1721.

= a

sin3 t.

y = a(1−cost).

y = t

3 +t.

1−t

x =

(t +1)

1723.

t(1−t)

1724.

y =

(t +1)

212

§ 7.2. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О ЩЫМНˆЛЛ

Определение 1. Дифференциалом функции y = f(x) называется произведение ее производной на приращение независимой переменной:

dy = f '(x) ∆x .	(7.2.1)
В частности, при f (x) = x получаем:
∆x =1∆x; dx = ∆x ,	(7.2.2)

то есть дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Формулу (7.2.1) можно, следовательно, написать так:

dy = f '(x)dx ,	(7.2.3)
откуда
f '(x) = dy .	(7.2.4)
dx

Дифференциал функции y = f(x) равен приращению LN ординаты касательной ML, проведенной к графику этой функции в точке M, когда аргумент получает приращение ∆х(рис. 7.1, а, б).

а		б
а		б

Рис. 7.1

213

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

Из определения производной и дифференциала следует, что ∆y = dy +ε∆x , где ε →0, когда ∆x →0, то есть дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с чем ∆x = dx.

При малых ∆х справедлива приближенная формула f (x + ∆x) − f (x) ≈ f '(x)∆x

или

f (x + ∆x) ≈ f '(x)∆x + f (x).

(7.2.5)

Если u, v, w — дифференцируемые функции от х, а с — постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов:

dc = 0 ;

d (u + c) = du ;

d (u −v + w) = du − dv + dw ;

d (cu) = cdu ;	(7.2.6)
d (uv) = udv + vdu ;

u		vdu −udv
d	=			;
d	=	v	2	;
v		v
df (u) = f '(u)du ; u =ϕ(x) .
	бДСДзаь
Найти дифференциалы функций:
1725. y = x3 +3x2 +3x. 1726. y = 1 x5				+ x4	+ 2x3 + 2x2 + x.
			5
1727. y = (ax2 −b)2 . 1728. y = (ax +b)3.					1729. y =		1	.
1727. y = (ax2 −b)2 . 1728. y = (ax +b)3.					1729. y =	1	+ x	.
						1	+ x
214

§ 7.2. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О ЩЫМНˆЛЛ

1730. y =	x2 −1	.	1731. y = sin2 2x.	1732. y = tg2 2x.

	x2
1733. y = 9 − x2 .			1734. y = x3 +6x2 .	1735. y = acos3x .
1736. y = esin 4 x .			1737. y = ln(x2 + a2 ).	1738. y = ln2 x.
1739. r =ϕ sinϕ.			1740. r =ϕcosϕ −sin ϕ. 1741. s = acos3t.
1742. s = b sin3 t.			1743. y = x2 , x = 2t −t2 .

1744. y = x3 , x = t2 −1.

1745. Дана функция y = x4 + 4x. Найти ∆у и dy, сравнить

их между собой, если: 1) х= 1, ∆х= 1; 2) х= 1, ∆х= 0,1.

1746. Вычислить приближенное приращение функции y = x2 + 2x +3, когда х изменяется от 2 до 1,98.

1747. Сторона квадрата х= 10 см. На сколько приближенно увеличится площадь этого квадрата, если сторона удлинится на 2 мм?

1748. Заменив приращение функции дифференциалом,

приближенно найти: 1) sin 31º; 2) arc tg 1,05; 3) e0,2; 4) ln 1,01.

Найти дифференциалы функций:
1749. y = xn . 1750. y = tgx.				1751. y = sin3 2x.		1752. y = ln x.
1753. y =\| x \| .			1754. y = ln(sin x).		1755. y = arc sin		1	.
1753. y =\| x \| .			1754. y = ln(sin x).		1755. y = arc sin			.
							x
1
1756. y = e−		.	1757. y = 2−x2 .
1756. y = e−	cosx	.	1757. y = 2−x2 .
1758. y = x2 . Найти приближенно ∆у, если х= 2 и ∆х= 0,01.
1759. Вывести приближенную формулу						a2 + h ≈a +			h	.
1759. Вывести приближенную формулу						a2 + h ≈a +				.
									2a
Найти приближенно 101,				1, 04,	41, 3 9,	5 33.
						215

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

Найти дифференциал функции:

1760. y = arctg

1761. y = (x3 − x)tgx.

1762. y = x2 ln x.

1763. y =

x − 2

1764. y = 2cosx.

1765. y = ln3 sin x.

x2 +1

1766. f (x) = 3 x5 −1.

1767. s(t) =

1768. y =

−1

1769. y =

1770. y = arc sin

1771. y = arctg

1− x

1772. y = e−x2 .

1773. y = x ln x − x.

1774. y = ln

− x

+ x

1775. s = arctg et .

Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:

			−	x
1776. (x + y)2 (2x + y)3 =1.			1777. y = e y .
1778. ln x2 + y2 = arctg	y	.	1779. y3 − y = 6x2 .

	x

1780. Вычислить d2y, если y = cos 5x.

1781. u = 1− x2 , найти d 2u.

1782. y = arccosx, найти d 2 y.

1783. y = sin x ln x, найти d 2 y.

1784. z = lnxx , найти d 2 z.

1785. z = x2e−x , найти d 3 z.

216

§ 7.2. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О ЩЫМНˆЛЛ

1786.	z =		x4	, найти d 4 z.
		2	− x

1787.	u = 3sin(2x +5), найти d nu.
Вычислить приближенно:
1788. sin 29º.			1789. (0,99)4.		1790. ln 1,0.	1791. 24.
1792. tg 44º.			1793. (1,02)5.		1794. cos 61º.	1795. 3 26.
1796. lg 0,9.			1797. 4 17.		1798. arc sin 0,54.


1799. tg 45º3′20″.
1800. Вывести приближенную			формулу	3 x + ax ≈
≈ 3 x +	ax	. Найти приближенно 3 10, 3 70, 3 200.

	33 x
		§ 7.3. нВУрВП˚ У ТрВ‰МВП
Теорема ( Ролля) . Если			f (a) = f (b) и	функция
f (x) непрерывна на отрезке [a,b]			и дифференцируемая в

каждой внутренней точке этого отрезка, то найдется такая внутренняя точка с отрезка [a,b], в которой f '(c) = 0 .

Теорема ( Лагранжа) . Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируемая в каждой внут-

ренней точке этого отрезка, тогда найдется такая внутренняя точка с этого отрезка, в которой f (b) − f (a) = f '(c)(b − a) .

Теорема ( Коши). Если функции f (x) и ϕ(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы в каждой внутренней точке этого отрезка, причем ϕ '(x) ≠ 0 (a<x<b), то су-

ществует такая точка с (a<с<b), что	f (b) − f (a)	=	f '(c)	.
	ϕ(b) −ϕ(a)
			ϕ '(c)
			217

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

бДСДзаь

1801.

Проверить справедливость теоремы Ролля для функ-

ции f (x) на данном отрезке,

найти соответствующее значе-

ние с (если оно существует):

а)

f (x) =| x | −2,

[−2;2];

б)

f (x) = −x2 +4x −3, [0;4];

f (x) = cosx,

f (x) =

, [−1;1].

в)

;

π ;

г)

1802.

Проверить

справедливость

теоремы Лагранжа для

функции

f (x)

на данном отрезке,

найти соответствующее

значение с (если оно существует):

а) f (x) = e

, [0;1];

б) f (x) =

;

в) f (x) =| x −1|, [0;3];

г) f (x) = 2 − 3

x2 ,

[−1;1];

д) f (x) = 4x3 −5x2 + x −2,

[0;2].

1803. Найти точку

М,

в которой

касательная

к кривой

y = f (x) параллельна хорде, соединяющей точки A и B:

а) y = x2 −4x, A(1; −3), B(5;5) ; б) y = ln x, A(1;0),

B(e;1) .

1804. Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции f (x) на заданном отрезке, найти значение с (если оно

существует):		[1;3];							f (x) = x3 −16x, [−4;4];
а)	f (x) = x2 ,	[1;3];						б)	f (x) = x3 −16x, [−4;4];
	f (x) = sin	1			4		4		f (x) = x −[x], [−3; −1].
в)			,	−		;		; г)
в)		x	,	−	π	;	π	; г)
		x			π		π
218

§ 7.3. нВУрВП˚ У ТрВ‰МВП

1805. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для

функции	f (x)	на данном отрезке,					найти соответствующее
значение с (если оно существует):
а) f (x) = x3 , [−3;0];					б)	f (x) = 3	x, [−2;1];
			2
в) f (x) = ln x, e;e				.
1806.	Найти	точку			М,	в которой касательная к кривой
y = f (x)	параллельна хорде AB, если:
а) y = x, A(1;1), B(4; 2) ;						б) y = −x2 + x, A(0;0), B(2; −2) .

§ 7.4. ир‡‚ЛОУ гУФЛЪ‡Оﬂ

Первое правило. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой этой точки и g '(x) ≠ 0 для всех х из рассматриваемой

окрестности, x ≠ x0 .		Тогда		если	lim f (x) = lim g(x) = 0 и
					x→x0			x→x0
существует lim	f '(x)	, то существует и lim						f (x)	, причем
	g '(x)
x→x0						x→x0		g(x)
	lim		f (x)	= lim		f '(x)	.	(7.4.1)
			g(x)
	x→x0			x→x0		g '(x)

Второе правило. Если при перечисленных выше условиях

lim

x→x0

вует

f (x)

lim

x→x0

= lim g(x) = ∞ и существует lim
x→x0				x→x0
f (x)	, причем
g(x)	, причем
g(x)
	lim	f (x)	= lim	f '(x)	.
	lim	g(x)	= lim		.
	x→x0	g(x)	x→x0	g '(x)

f '(x) , то сущест- g '(x)

(7.4.2)

219

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

Если отношение gf '('(xx)) в свою очередь представляет со-

бой неопределенность типа	0	или	∞	, то правила Лопиталя
	0		∞

можно применять второй раз при выполнении соответствую-

щих ограничений на функции

f '(x)

и g '(x) .

бДСДзаь

Найти пределы:

1807.

lim sin 7x .

1808.

lim 3x −sin 3x . 1809. lim tgx −sin x .

x→π

tg5x

x→0

x −sin x

1810.

lim

tgx −1

1811. lim

tgx −1+ cos3x

sin 4x

x→0

−e

−x

x→ 4

1812.

lim

ex −e−x

−2x

1813. lim

x −arstgx

sin x − x

x→0

1814.

1817.

1820.

1822.

1825.

lim	1− 2sin x			.	1815. lim	x5
		cos3x
x→π					x→+∞ e3x
6
lim		ln x	.	1818. lim x ln x.

x→+∞		e2 x			x→0+


. 1816.	lim		ln x	.

	x→+∞		x
1819. lim		2x +1			.

x	→∞ x +sin x

		3x + 2sin	x

lim tgx ln x.	1821. lim	2		.

x→0+	x→∞	x +1

lim ln x ln(x −1).

x→1+

lim log2 (1+ x) . x→+∞ log3 (1+ 2x)

1823. lim xx .	1824.		lim xsin x .
x→0+			x→0+
	1
	1
1826. lim (x +3)e		x	− x .
x→∞

220

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5022 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025127 Кб2KR_Expluatatsia_zdany_2015.doc
#
24.09.2019615 Кб16Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
01.07.202559 Кб3Kravtsov_Alexandr_Kursovaya_rabota.docx
#
01.07.2025317 Кб4Kravtsov_Alexandr_kursovaya.rtf
#
01.07.202524 Кб8Kravtsov-_praktika (1).docx
#
23.03.20163 Мб133Kretov_vse.pdf
#
23.03.20161 Мб131Kretov1.pdf
#
01.04.2025135 Кб4krov.doc
#
01.05.20251 Мб7KRYLOVA_DIPLOM.doc
#
01.04.2025280 Кб5KS1.docx
#
01.05.2025407 Кб3KSE_ZAChET_1.doc