Kretov_vse
.pdfЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ
Найти yx ' , если:
1707. x |
2 |
+ y |
2 |
= a |
2 |
. 1708. y |
2 |
= 2 px. |
1709. |
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1710. |
|
x2 |
− |
y2 |
|
=1. |
|
|
1711. ctgy = xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1712. e−x sin y −e− ycosx = 0. |
|
1713. exy − x2 + y3 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1714. arctg |
y |
|
= |
1 |
|
ln(x2 |
+ y2 ). |
1715. arctgy = x + y. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1716. x2 |
= |
|
|
y − x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти |
dy |
и |
|
d 2 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dx |
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x = a cost |
|
|
|
x = t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = e |
|
|
|||||||||||||||
1717. |
|
|
|
|
|
sin t. |
|
1718. |
y = t |
3 |
−t. |
|
1719. |
|
= e3t . |
|||||||||||||||||
|
y = b |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = a(t −sin t) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t |
||||||||||||||
|
|
|
x = t |
|
|
|
1722. |
x |
= a cos |
|||||||||||||||||||||||
1720. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1721. |
|
|
|
|
|
|
|
= a |
sin3 t. |
|||||||||
|
y = a(1−cost). |
|
y = t |
3 +t. |
|
y |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(t +1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1723. |
|
|
|
t(1−t) |
|
|
1724. |
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
y = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(t +1) |
2 |
|
|
|
t |
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
212
§ 7.2. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О ЩЫМНˆЛЛ
§ 7.2. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О ЩЫМНˆЛЛ
Определение 1. Дифференциалом функции y = f(x) называется произведение ее производной на приращение независимой переменной:
dy = f '(x) ∆x . |
(7.2.1) |
В частности, при f (x) = x получаем: |
|
∆x =1∆x; dx = ∆x , |
(7.2.2) |
то есть дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Формулу (7.2.1) можно, следовательно, написать так:
dy = f '(x)dx , |
(7.2.3) |
откуда |
|
f '(x) = dy . |
(7.2.4) |
dx |
|
Дифференциал функции y = f(x) равен приращению LN ординаты касательной ML, проведенной к графику этой функции в точке M, когда аргумент получает приращение ∆х(рис. 7.1, а, б).
а |
|
б |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.1
213
ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ
Из определения производной и дифференциала следует, что ∆y = dy +ε∆x , где ε →0, когда ∆x →0, то есть дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с чем ∆x = dx.
При малых ∆х справедлива приближенная формула f (x + ∆x) − f (x) ≈ f '(x)∆x
или
f (x + ∆x) ≈ f '(x)∆x + f (x). |
(7.2.5) |
Если u, v, w — дифференцируемые функции от х, а с — постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов:
dc = 0 ;
d (u + c) = du ;
d (u −v + w) = du − dv + dw ;
d (cu) = cdu ; |
(7.2.6) |
d (uv) = udv + vdu ; |
|
u |
vdu −udv |
|
|
|
|
|
|
||||
d |
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
||||
df (u) = f '(u)du ; u =ϕ(x) . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
бДСДзаь |
|
|
|
|
|
|
|||
Найти дифференциалы функций: |
|
|
|
|
|
|
|||||
1725. y = x3 +3x2 +3x. 1726. y = 1 x5 |
+ x4 |
+ 2x3 + 2x2 + x. |
|||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1727. y = (ax2 −b)2 . 1728. y = (ax +b)3. |
1729. y = |
|
|
1 |
. |
||||||
1 |
+ x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
214 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 7.2. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О ЩЫМНˆЛЛ
1730. y = |
x2 −1 |
. |
1731. y = sin2 2x. |
1732. y = tg2 2x. |
|
||||
|
x2 |
|
|
|
1733. y = 9 − x2 . |
1734. y = x3 +6x2 . |
1735. y = acos3x . |
||
1736. y = esin 4 x . |
1737. y = ln(x2 + a2 ). |
1738. y = ln2 x. |
||
1739. r =ϕ sinϕ. |
1740. r =ϕcosϕ −sin ϕ. 1741. s = acos3t. |
|||
1742. s = b sin3 t. |
1743. y = x2 , x = 2t −t2 . |
1744. y = x3 , x = t2 −1.
1745. Дана функция y = x4 + 4x. Найти ∆у и dy, сравнить
их между собой, если: 1) х= 1, ∆х= 1; 2) х= 1, ∆х= 0,1.
1746. Вычислить приближенное приращение функции y = x2 + 2x +3, когда х изменяется от 2 до 1,98.
1747. Сторона квадрата х= 10 см. На сколько приближенно увеличится площадь этого квадрата, если сторона удлинится на 2 мм?
1748. Заменив приращение функции дифференциалом,
приближенно найти: 1) sin 31º; 2) arc tg 1,05; 3) e0,2; 4) ln 1,01.
Найти дифференциалы функций: |
|
|
|
|
|
|
||||
1749. y = xn . 1750. y = tgx. |
1751. y = sin3 2x. |
1752. y = ln x. |
||||||||
1753. y =| x | . |
1754. y = ln(sin x). |
1755. y = arc sin |
1 |
. |
|
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1756. y = e− |
|
. |
1757. y = 2−x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
||||
1758. y = x2 . Найти приближенно ∆у, если х= 2 и ∆х= 0,01. |
||||||||||
1759. Вывести приближенную формулу |
a2 + h ≈a + |
h |
. |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
Найти приближенно 101, |
1, 04, |
41, 3 9, |
5 33. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
215 |
ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ
Найти дифференциал функции:
1760. y = arctg |
x. |
1761. y = (x3 − x)tgx. |
1762. y = x2 ln x. |
||||||||||||||
1763. y = |
x − 2 |
. |
|
1764. y = 2cosx. |
|
|
1765. y = ln3 sin x. |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1766. f (x) = 3 x5 −1. |
1767. s(t) = |
|
|
|
t |
. |
1768. y = |
1 |
|
. |
|
||||||
|
t |
−1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
|||||||
1769. y = |
x |
. |
|
1770. y = arc sin |
x |
. |
1771. y = arctg |
x |
. |
||||||||
1− x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
||||||
1772. y = e−x2 . |
|
|
1773. y = x ln x − x. |
|
1774. y = ln |
1 |
− x |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
1775. s = arctg et .
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
|
|
|
− |
x |
|
1776. (x + y)2 (2x + y)3 =1. |
1777. y = e y . |
||||
1778. ln x2 + y2 = arctg |
y |
. |
1779. y3 − y = 6x2 . |
||
|
|||||
|
x |
|
|
|
1780. Вычислить d2y, если y = cos 5x.
1781. u = 1− x2 , найти d 2u.
1782. y = arccosx, найти d 2 y.
1783. y = sin x ln x, найти d 2 y.
1784. z = lnxx , найти d 2 z.
1785. z = x2e−x , найти d 3 z.
216
§ 7.2. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О ЩЫМНˆЛЛ
1786. |
z = |
|
x4 |
, найти d 4 z. |
|
|
2 |
− x |
|
||||
|
|
|
|
|
||
1787. |
u = 3sin(2x +5), найти d nu. |
|
||||
Вычислить приближенно: |
|
|
||||
1788. sin 29º. |
|
1789. (0,99)4. |
1790. ln 1,0. |
1791. 24. |
||
1792. tg 44º. |
|
1793. (1,02)5. |
1794. cos 61º. |
1795. 3 26. |
||
1796. lg 0,9. |
|
1797. 4 17. |
1798. arc sin 0,54. |
1799. tg 45º3′20″. |
|
|
||
1800. Вывести приближенную |
формулу |
3 x + ax ≈ |
||
≈ 3 x + |
ax |
. Найти приближенно 3 10, 3 70, 3 200. |
|
|
|
|
|||
|
33 x |
|
|
|
|
|
§ 7.3. нВУрВП˚ У ТрВ‰МВП |
|
|
Теорема ( Ролля) . Если |
f (a) = f (b) и |
функция |
||
f (x) непрерывна на отрезке [a,b] |
и дифференцируемая в |
каждой внутренней точке этого отрезка, то найдется такая внутренняя точка с отрезка [a,b], в которой f '(c) = 0 .
Теорема ( Лагранжа) . Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируемая в каждой внут-
ренней точке этого отрезка, тогда найдется такая внутренняя точка с этого отрезка, в которой f (b) − f (a) = f '(c)(b − a) .
Теорема ( Коши). Если функции f (x) и ϕ(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы в каждой внутренней точке этого отрезка, причем ϕ '(x) ≠ 0 (a<x<b), то су-
ществует такая точка с (a<с<b), что |
f (b) − f (a) |
= |
f '(c) |
. |
ϕ(b) −ϕ(a) |
|
|||
|
|
ϕ '(c) |
||
|
|
|
217 |
ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ
|
|
|
|
|
|
|
бДСДзаь |
|
|
|
|
|
||
|
1801. |
Проверить справедливость теоремы Ролля для функ- |
||||||||||||
ции f (x) на данном отрезке, |
найти соответствующее значе- |
|||||||||||||
ние с (если оно существует): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
f (x) =| x | −2, |
[−2;2]; |
б) |
f (x) = −x2 +4x −3, [0;4]; |
||||||||||
|
f (x) = cosx, |
|
π |
|
3 |
|
|
f (x) = |
5 |
x |
2 |
, [−1;1]. |
||
в) |
|
|
; |
|
π ; |
г) |
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1802. |
Проверить |
|
справедливость |
теоремы Лагранжа для |
|||||||||
функции |
f (x) |
на данном отрезке, |
найти соответствующее |
значение с (если оно существует):
а) f (x) = e |
x |
, [0;1]; |
б) f (x) = |
1 |
, |
|
1 |
; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
x |
3 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) f (x) =| x −1|, [0;3]; |
г) f (x) = 2 − 3 |
x2 , |
[−1;1]; |
|
||||||||
д) f (x) = 4x3 −5x2 + x −2, |
[0;2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1803. Найти точку |
М, |
в которой |
касательная |
к кривой |
||||||||
y = f (x) параллельна хорде, соединяющей точки A и B: |
||||||||||||
а) y = x2 −4x, A(1; −3), B(5;5) ; б) y = ln x, A(1;0), |
B(e;1) . |
1804. Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции f (x) на заданном отрезке, найти значение с (если оно
существует): |
[1;3]; |
|
|
|
|
|
f (x) = x3 −16x, [−4;4]; |
||||
а) |
f (x) = x2 , |
|
|
|
|
б) |
|||||
|
f (x) = sin |
1 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
f (x) = x −[x], [−3; −1]. |
|
в) |
|
, |
− |
|
; |
|
|
; г) |
|||
x |
π |
π |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
218 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|