Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

следовательно, равномерно сходится по признаку Вейерштрасса

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию f :

тельно, ряд можно почленно интегрировать в этом круге, получая сходящийся ряд. Поэтому функцию f (z) можно представить в виде

80

В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши (см. подразд. 1.6.7) получим

Отметим, что в той же форме записывался ряд Тейлора для функции действительного переменного:

Таким образом, показано, что функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказывается рядом Тейлора для данной функции. Коэффициенты разложения вычисляют однозначно по формуле

Теорема доказана.

81

2.2.4. Неравенства Коши

Оценим коэффициенты ряда Тейлора, используя свойства интегралаотфункциикомплексного переменного(см. подразд. 1.5.2):

Таким образом, справедливы неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора разложения функции в окрестности

точки z0 :

По следствию из интегральной теоремы Коши для многосвязной области (см. подразд. 1.6.3) в этой формуле радиус R можно выбрать любым, лишь бы радиус R не превышал расстояния от точки

z0 до границы области G.

2.2.5. Ряд Лорана

Рядом Лорана называется ряд

Второе слагаемое в этой сумме представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге z z0 R. Это

слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда, аналитической функцией.

82

Первое слагаемое в сумме называется главной частью ряда

Относительно переменного t это выражение – степенной ряд, сходящийся в некотором круге t 1r . Возвращаясь к переменному z,

получаем, что главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга радиусом r:

z z0 1t r.

Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. По-

этому область сходимости ряда Лорана представляет собой кру-

говое кольцо r z z0 R. Радиусы сходимости r и R опре-

деляются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца исследуется так же, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, может представлять собой окружность, если r = R, или пустое множество, если r > R.

2.2.6. Теорема Лорана

Теорема. Функция f z , аналитическая в круговом кольце r z z0 R и на его границе, разлагается в нем в сходящийся

ряд Лорана.

Доказательство. Рассмотрим круговое кольцо радиусами r, R r z z0 R , построим внутри него еще одно круговое кольцо

центром в точке z0 . Рассмотрим произвольную точку z во внутреннем кольце, проведем из нее, как из центра, окружность ра-

диусом , так, чтобы она лежала целиком внутри внутреннего кольца.

Рис. 2.2

Из теоремы Коши для многосвязной области (см. подразд. 1.6.3) следует равенство

вторим все выкладки из доказательства теоремы Тейлора (см.

84

сходится по признаку Вейерштрасса (см. подразд. 2.1.3) в круге

R: z0 R, следовательно, она непрерывна и ограничена на окружности R (т. е. существует число M , такое, что выполняется неравенство f M R на окружности R ).

Умножим ряд (2.2) на непрерывную ограниченную функцию

f :

его можно почленно интегрировать в этом круге, получая сходящийся ряд. Проведя почленное интегрирование в первом слагаемом соотношения (2.1), получим

85

По следствию из теоремы Коши для многосвязной области (см. подразд. 1.6.3) интегрирование по окружности r можно заменить

Складывая разложения (2.2) и (2.3) для первого и второго слагаемых соотношения (2.1), получаем разложение функции в ряд Лорана:

Теорема Лорана доказана.

Для коэффициентов ряда Лорана аналогично выводятся нера-

кое, что, определяя f (z0 ) A, удается сделать функцию аналитической в окрестности точки z0 (включая точку z0 ), то точка z0 называется правильной точкой функции f z . Если такого числа не существует, то точка z0 называется изолированной особой точкой функции f z (однозначного характера).

Если z0 – правильная точка функции f z , то существует конечный предел limz z0 f z .

Теорема. Для того чтобы точка z0 была правильной точкой функции f z , необходимо и достаточно, чтобы функция f z была ограниченной в окрестности точки z0 .

88

сделаем функцию аналитической и, следовательно, непрерывной, тогда

limz z0 f z f z0 .

Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точкиz0 .

Докажем достаточность. Пусть функция f z – аналитическая в

разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана:

Справедливы неравенства Коши

cn Mn ,

где 0 ; M max | f z | M .

Оценим коэффициенты ряда Лорана cn при n 0:

cn M 0.

n 0

Следовательно, cn 0 при n 0. Тогда ряд Лорана для функции f z превращается в ряд Тейлора:

89