Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

v(x, y) Im f (z) части. Они называются действительными и мнимыми частямифункции w f (z), которые являются функциямиx, y.

Пример. Выделить действительную и мнимую части функции f (z) ez.

Имеем

ez ex iy exeiy ex cos y isin y ex cos y iex sin y; u x, y ex cos y; v x, y ex sin y.

К элементарным функциям комплексного переменного относятся экспонента, тригонометрические и гиперболические синус и косинус, логарифмическая, степенная и показательная функции.

Экспонента ez при комплексных значениях аргумента z сохраняет свое основное свойство: ez1 z2 ez1 ez2 , ez 0, z . Формула Эйле-

ра eiz cos z isin z справедлива и для комплексных чисел z. Это будет показано в подразд. 2.2.2. Используя четность функций cos z, ch z и нечетность функций sin z, sh z, получаем формулы

связи экспоненты с тригонометрическими и гиперболическими

Выведем формулы связи тригонометрических и гиперболических косинусов и синусов:

sin z1 z2 sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 ; cos z1 z2 cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 ; sh z1 z2 shz1chz2 chz1shz2 ;

ch z1 z2 chz1chz2 shz1shz2 ; sh z1 z2 shz1chz2 chz1shz2 ; ch z1 z2 chz1chz2 shz1shz2 ,

используя свойства экспоненты и формулы (1.1) связи тригонометрических и гиперболических функций.

Пример. Вычислить sin ( 2 + 5i), tg( i ). Имеем

sin ( 2 + 5i) = sin 2 cos5i + cos 2 sin5i = sin5i = ish5;

Пример. Вычислить ln(–1), Ln(–1), ln(1 + i).

Имеем

Ln(—1) = ln |—1| + iarg (—1) + 2 ki = i + 2 ki , ln(—1) = i ;

В символах это определение можно записать так: limz z0 f z b,

Это точно такое же определение, что и определение предела функции действительной переменной, с тем лишь различием, что модуль здесь имеет смысл расстояния на комплексной плоскости, а не на действительной прямой. Поэтому окрестность точки — не интервал с центром в этой точке, а круг без границы с центром в этой точке. Если центр круга не принадлежит окрестности, то такая окрестность называется проколотой. В определении предела, например, аргумент принадлежит проколотой окрестности.

ли z1, z2 M f z1 f z2 . В области однолистности можно сконструировать обратную функцию, так как для каждого образа f z можно указать соответствующий ему прообраз z.

23

1.3.4. Отображения посредством элементарных функций

Линейная функция f z az осуществляет линейное отображе-

ние комплексной плоскости на себя. Поскольку модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения комплексных чисел равен сумме их аргументов,

да следует, что линейное отображение сводится к растяжению в a раз и повороту на arg a комплексной плоскости. Здесь область

то инверсия переводит все точки, лежащие вне единичной окружности z 1, внутрь окружности и наоборот. Точки z 1 остаются на месте, единичная окружность отображается на себя.

действительной оси ( x 0, y 0 ) и верхнюю полуплоскость на

на всю плоскость. Здесь две области однолистности. Поэтому обратная функция f z z двузначна.

Упражнение. Показать, что в случае отображения посред-

прямую, параллельную мнимой оси (ее уравнение z x it ), в окружность с центром в начале координат, радиусом ex (ее уравне-

24

ние ez ex (cost isin t) ). Прямая, параллельная действительной оси (z t iy) , переводится посредством экспоненты в луч, исходящий из начала координат под углом y к действительной оси

( ez et (cos y isin y) ).

Полоса размером 2 вдоль действительной оси переводится экспонентой во всю плоскость. Она представляет собой область одноли-

стности экспоненты f z ez, так как каждый отрезок в полосе, параллельный мнимой оси (его уравнение x = a), отобразится в

окружность радиусом ea с центром в начале координат. Изменяя параметр a, заполним этими окружностями всю плоскость. Следовательно, имеем бесконечное количество областей однолистности экс-

поненты, аобратнаякней функция f z Ln z бесконечнозначна.

1.4. Производная функции и аналитичность

1.4.1. Производная и дифференциал

Производная функции комплексного переменного в точке z0

вводится так же, как производная функции действительного переменного:

где z z z0.

Функция f z называется дифференцируемой в точке z0 , ес-

ли ее приращение в этой точке можно представить в виде

f z0 f z0 z f z0 A z0 z z, z0 z,

где z, z0 — бесконечно малая величина при z z0 . Главная линейная относительно z часть приращения функции A z0 z в

25

точке z0 называется дифференциалом функции в точке z0 и обо-

значается

df (z0 ) ( df (z0 ) A(z0 ) z) .

Теорема. Для того чтобы функция f z была дифференци-

руема в точке z0 , необходимо и достаточно, чтобы существовала

ее конечная производная в этой точке.

Доказательство. Доказательство проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой величины.

Докажем необходимость. Пусть функция f z дифференцируема в точке z0 , тогда

f z0 f z0 z f z0 A z0 z z, z0 z,

где limz z0 z, z0 0.

Разделим обе части равенства на приращение аргумента z:

f z0 A z0 z, z0 .

z

Так как z, z0 — бесконечно малая величина при z z0 , то по

теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой величины имеем равенство

Поэтому справедлива формула для вычисления дифференциала df z0 f z0 z.

26

Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой величины имеем

f z0 f z0 z, z0 .

z

Умножаяобечастиэтогосоотношенияна z, получаемравенство

f z0 f z0 z z, z0 z,

где limz z0 z, z0 0. Следовательно, функция дифференцируе-

ма в точке z0 . Достаточность доказана.

Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Замечание. Функция двух переменных x, y называется

дифференцируемой в точке ( x0 , y0 ), если ее приращение в этой точке можно представить в виде

2 x, y, x0 , y0 — бесконечномалыевеличиныпри x 0, y 0,

1.4.2. Условия Коши — Римана

Теорема Коши — Римана. Для того чтобы функция f z была

x, y и вэтойточке выполнялисьусловияКоши— Римана

27

Производную функции можно найти по формуле

Замечание. С учетом условий Коши — Римана производная функции в точке может быть записана так:

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке z0. Тогда ее приращение можно пред-

ставить в виде

f z0 f z0 z f z0 f z0 z z, z0 z,

то бесконечно малые величины 1, 2 являются бесконечно малыми при x 0 , y 0 . Запишем приращение функции f(z):

f z0 u x0 , y0 iv x0 , y0 a bi x i y

1 i 2 x i y a x b y i b x a y

1 x 2 y i 2 x 1 y .

Отделяя действительную и мнимую части приращения функции, имеем

u a x b y 1 x 2 y ; v b x a y 2 x 1 y .

28